\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Suorat

Tässä luvussa sovelletaan vektoreita suorien ja tasojen ilmaisemiseen. Kaikille luvun väitteille ei anneta tarkkoja todistuksia.

Pohdi 2.1.1

Marty McFly lentää leijulaudallaan, jota voi ohjailla vektorin \((-3,1)\) suuntaisesti (eteen ja taaksepäin).

  1. Marty lähtee kotoaan, joka on koordinaatiston pisteessä \((0,0)\). Minne kaikkialle Marty voi laudallaan päästä? Hahmottele tilanteesta kuva.
  2. Marty lähtee kaverinsa kotoa, jonka koordinaatit ovat \((1,2)\). Minne kaikkialle Marty voi tällä kertaa laudallaan päästä? Hahmottele tilanteesta kuva.

Koulussa suoria kirjoitettiin useimmiten muotoa \(y=kx+b\) olevien yhtälöiden avulla. Myös vektoreita voi käyttää suorien ilmaisemiseen. Tällöin monet suoria koskevat ongelmat kuten pisteen etäisyys suorasta muuttuvat helpommiksi käsitellä.

Vektorin \((-3,1)\) kanssa yhdensuuntaiset vektorit ovat muotoa \(t(-3,1)\), missä \(t\) on reaaliluku. Jos vektoreita ajattelee koordinaatiston pisteinä, nämä pisteet sijaitsevat samalla suoralla. Suora kulkee origon kautta kulkevan suoran, joka on yhdensuuntainen vektorin \((-3,1)\) kanssa.

../_images/kuva1271.svg

Kuva 1. Muotoa \(t(-3,1)\) olevat vektorit muodostavat origon kautta kulkevan suoran.

Jos halutaan muodostaa vektorimerkintöjen avulla suora, joka ei kulje origon kautta, on suora ensin “siirrettävä” haluttuun paikkaan. Esimerkiksi vektorit, jotka ovat muotoa \((1,2)+t(3,-1)\), muodostavat suoran, joka on vektorin vektorin \((-3,1)\) kanssa yhdensuuntainen ja kulkee pisteen \((1,2)\) kautta. Tämän suoran pisteet saadaan lisäämällä vektoriin \((1,2)\) vektoreita, jotka ovat yhdensuuntaisia vektorin \((3,-1)\) kanssa. Tilannetta on havainnollistettu kuvassa 2.

../_images/kuva128.svg

Kuva 2. Suora, jonka alkiot ovat muotoa \((1,2)+t(3,-1)\), missä \(t \in \R\).

Kuvan 2 suora on joukko \(\{(1,2)+t(3,-1) \mid t \in \R\}\). Suoran voi myös ilmaista yhtälön \(\bx=(1,2)+t(3,-1)\) avulla. Tällöin ajatellaan, että suoran alkioita ovat täsmälleen ne vektorit \(\bx\), jotka ovat muotoa \((1,2)+t(3,-1)\) jollakin \(t \in \R\).

Määritelmä 2.1.2

Vektoriavaruuden \(\R^n\) suora on joukko

\[\{\bp+t\bv \mid t \in \R\},\]

missä \(\bp \in \R^n\) ja \(\bv \in \R^n \setminus \{\nv\}\). Vektoria \(\bp\) kutsutaan suoran paikkavektoriksi ja vektoria \(\bv\) suoran suuntavektoriksi. Suoran yhtälö on

\[\bx=\bp+t\bv.\]

Huomaa, että yllä ei ole annettu mitä tahansa suoran kuvailua, vaan suoran määritelmä. Emme siis ole lähteneet esimerkiksi jostakin suoran geometrisestä muotoilusta ja ilmaisseet saman asian vektoreilla, vaan määritelleet suoran käsitteen tämän kurssin tarpeita varten.

Suorien alkiot ovat vektoreita. Vektoreita voi kuitenkin ajatella myös pisteinä, ja suorien tapauksessa tämä ajattelutapa on yleensä hyödyllinen. Sanotaan, että piste \((a,b)\) on suoralla \(S\) tai että suora \(S\) kulkee pisteen \((a,b)\) kautta, jos \((a,b) \in S\). Vastaavia ilmauksia käytetään vektoriavaruudessa \(\R^n\).

Esimerkki 2.1.3

Esimerkiksi joukko

\[S=\{(-1,2)+t(-2,-1) \mid t \in \R\}\]

on suora vektoriavaruudessa \(\R^2\). Tämän suoran yhtälö on

\[\bx=(-1,2)+t(-2,-1),\]

eli suoralla ovat kaikki pisteet, jotka toteuttavat kyseisen yhtälön jollakin reaaliluvulla \(t\).

Suora \(S\) on piirretty kuvaan 3. Määritelmän mukaan mikä tahansa suoran \(S\) piste voidaan kirjoittaa summana vektorista \(\bp = (-1,2)\) ja jostakin vektorin \(\bv = (-2,-1)\) skalaarimonikerrasta. Esimerkiksi \((-5,0)=\bp+2\bv\) ja \((3,4)=\bp-2\bv\), joten \((-5,0) \in S\) ja \((3,4) \in S\).

../_images/kuva24.svg

Kuva 3. Suoran \(S\) paikkavektori on \(\bp = (-1,2)\) ja suuntavektori \(\bv = (-2,-1)\).

Toisaalta piste \((4,2)\) ei ole suoralla \(S\). Jos nimittäin \((4,2)=(-1,2)+t(-2,-1)\) jollakin \(t \in\R\), niin \(4=-1-2t\) ja \(2=2-t\). Ensimmäisen yhtälön perusteella \(t=-5/2\) ja toisen perusteella \(t=0\). Tämä on mahdotonta, joten ei ole olemassa sellaista lukua \(t \in \R\), jolle pätee \((4,2)=(-1,2)+t(-2,-1)\). Siispä \((4,2) \notin S\).

Huomaa, että myöskään suuntavektori \((-2,-1)\) ei ole suoran \(S\) alkio. Toisin sanoen piste \((-2,-1)\) ei ole suoralla \(S\).

Suoran yhtälön voi myös kirjoittaa parametrimuodossa, jossa listataan yhtälöt, jotka pätevät suoran alkioiden komponenteille. Esimerkiksi edellisen esimerkin suoran \(\bx=(-1,2)+t(-2,-1)\) parametrimuotoinen yhtälö on

\[\begin{split}\begin{cases} x_1=-1-2t \\ x_2=2-t. \end{cases}\end{split}\]

Suorien suuntavektoreita käsiteltäessä on hyödyllistä ottaa käyttöön uudenlainen merkintä vektoreille. Oletetaan, että \(A=(a_1,a_2,...,a_n)\) ja \(B=(b_1,b_2,...,b_n)\) ovat avaruuden pisteitä. Vektori \(\pv{AB}\) on vektori, jota vastaavan suuntajanan alkupiste on \(A\) ja päätepiste on \(B\). Tällöin

\[\begin{split}\pv{AB}=\begin{augmatrix}{c} b_1-a_1\\ b_2-a_2\\ \vdots\\ b_n-a_n \end{augmatrix},\end{split}\]

eli vektorin \(\pv{AB}\) komponentit ovat pisteiden \(B\) ja \(A\) komponenttien erotukset. Usein vektorille \(\pv{AB}\) näkee myös käytettävän merkintää \(\overrightarrow{AB}\).

Esimerkiksi tason pisteitä \(A=(3,1)\) ja \(B=(1,4)\) yhdistää vektori

\[\begin{split}\pv{AB}= \begin{augmatrix}{c} 1 - 3 \\ 4 - 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} -2 \\ 3 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tämä vektori on piirretty kuvaan 4.

Origoa \((0,0,...,0)\) on tapana merkitä kirjaimella \(O\). Siten origosta lähtevälle vektorille, jonka kärki on pisteessä \(A\), saadaan merkintä \(\pv{OA}\). Vektoria \(\pv{OA}\) kutsutaan pisteen \(A\) paikkavektoriksi.

Lisäksi pätee \(\pv{AB}=\pv{OB}-\pv{OA}\). Tätä on havainnollistettu kuvassa 4.

../_images/kuva65.svg

Kuva 4. Vektorit \(\pv{OA}\), \(\pv{OB}\) ja \(\pv{AB}\).

Ryhdytään seuraavaksi määrittämään suoraa, joka kulkee annettujen pisteiden kautta.

Esimerkki 2.1.4

Määritetään pisteiden \(A=(-1,5)\) ja \(B=(2,2)\) kautta kulkeva suora. Tätä varten suoralle täytyy löytää paikkavektori ja suuntavektori. Paikkavektoriksi käy minkä tahansa suoran pisteen paikkavektori, esimerkiksi vektori \(\pv{OA}=(-1,5)\). Suuntavektoriksi käy mikä tahansa suoran kanssa yhdensuuntainen vektori, esimerkiksi vektori

\[\pv{AB}=\pv{OB}-\pv{OA}=(2,2)-(-1,5)=(3,-3).\]

Näin saadaan suora \(S = \{(-1,5)+t(3,-3) \mid t \in \R\}\). Sitä vastaava yhtälö on

\[\bx=(-1,5)+t(3,-3).\]

Suora on esitetty kuvassa 5.

../_images/kuva68.svg

Kuva 5. Suora \(S=\{(-1,5)+t(3,-3) \mid t \in \R\}\).

Tarkistetaan vielä, että annetut pisteet \(A\) ja \(B\) todellakin ovat suoralla \(S\). Huomataan, että \((-1,5)=(-1,5)+0(3,-3)\) ja \((2,2)=(-1,5)+1(3,-3)\). Siten suora \(S\) kulkee pisteiden \(A\) ja \(B\) kautta.

Edellistä esimerkkiä mukaillen on aina mahdollista määrittää kahden pisteen kautta kulkeva suora. Yleisemmin voidaan osoittaa, että jos suora halutaan kirjoittaa muodossa

\[\{\bp+t\bv \mid t \in \R\},\]

paikkavektoriksi \(\bp\) voidaan valita suoran minkä tahansa pisteen paikkavektori, ja suuntavektoriksi \(\bv\) voidaan valita mikä tahansa suoran suuntainen vektori. Seuraava esimerkki havainnollistaa asiaa.

Esimerkki 2.1.5

Tutkitaan esimerkin 2.1.3 suoraa \(S=\{(-1,2)+t(-2,-1) \mid t \in \R\}\). Sille voidaan valita paikkavektoriksi mikä tahansa suoran alkio, vaikkapa vektori \((3,4)=(-1,2)-2(-2,-1)\). Suuntavektoriksi puolestaan kelpaa mikä tahansa vektorin \((-2,-1)\) kanssa yhdensuuntainen vektori, vaikkapa vektori \((-4,-2)=2(-2,-1)\).

Suora \(S\) voidaan siis kirjoittaa muodossa

\[\{(3,4)+s(-4,-2) \mid s \in \R\}.\]

Vaikka tämä joukko onkin äkkiseltään katsottuna erilainen kuin suoran \(S\) alkuperäinen määritelmä, on joukoissa täsmälleen samat alkiot. Asiaa on havainnollistettu kuvassa 6.

../_images/kuva67.svg
../_images/kuva66.svg

Kuva 6. Suoran paikkavektori ja suuntavektori eivät ole yksikäsitteisiä, vaan ne voidaan valita monella eri tavalla.

Kun suora ilmaistaan vektorimerkinnöillä, helpottuvat monet laskut. Seuraavassa esimerkissä näytetään, kuinka pisteen etäisyyden suorasta voi määrittää vektoriprojektion avulla.

Esimerkki 2.1.6

Pisteen \(X\) etäisyys suorasta \(S=\{\bp+t\bv \mid t \in \R\}\) on kaikkein lyhin välimatka, joka voi olla pisteen \(X\) ja suoran \(S\) jonkin pisteen välillä. Voidaan osoittaa, että tämä etäisyys on sama kuin sellaisen janan pituus, jonka toinen päätepiste on \(X\) ja toinen suoralla \(S\), ja joka muodostaa suoran kulman suoran \(S\) kanssa. Etäisyyden määrittämiseen voidaan siten käyttää projektiota.

Määritetään pisteen \(X = (4,-1,9)\) etäisyys suorasta \(S\), joka kulkee pisteiden \(A = (2,-3,5)\) ja \(B = (4,1,7)\) kautta (ks. kuva 7).

../_images/kuva27.svg

Kuva 7. Pisteiden \(A\) ja \(B\) kautta kulkeva suora \(S\).

Määritetään ensin vektori jostakin suoran pisteestä tutkittavaan pisteeseen. Esimerkiksi vektori \(\pv{AX} = \pv{OX} - \pv{OA} =(2,2,4)\) käy tähän tarkoitukseen. Lisäksi tarvitaan jokin suoran suuntavektori, kuten vaikkapa vektori \(\pv{AB} = (2, 4, 2)\).

Vektorin \(\pv{AX}\) projektio suoralle \(S\) on

\[\proj_{\pv{AB}}(\pv{AX}) = \frac{\pv{AX} \cdot \pv{AB}}{\pv{AB} \cdot \pv{AB}}\pv{AB} = \frac{20}{24}(2, 4, 2) = \frac{5}{6}(2, 4, 2).\]

Erotus \(\pv{AX} - \proj_{\pv{AB}}(\pv{AX})\) on projektion määritelmän mukaisesti kohtisuorassa suoraa \(S\) vastaan. Lasketaan kyseinen erotus:

\[\begin{split}\begin{split} \pv{AX} - \proj_{\pv{AB}}(\pv{AX}) &=(2,2,4) - \frac{5}{6}(2, 4, 2)=\frac{6}{6}(2,2,4) - \frac{5}{6}(2, 4, 2) \\ &= \frac{1}{6}(12-10,12-20,24-10)= \frac{1}{6}(2,-8,14)= \frac{1}{3}(1,-4,7) \end{split}\end{split}\]

Koska \(\pv{AX} - \proj_{\pv{AB}}(\pv{AX})\) on kohtisuorassa suoraa \(S\) vastaan, antaa erotusvektorin pituus pisteen \(X\) etäisyyden suorasta:

\[\|\pv{AX} - \proj_{\pv{AB}}(\pv{AX})\| = \frac{1}{3}\|(1,-4,7)\| = \frac{1}{3}\sqrt{1 + 16 + 49} = \frac{1}{3}\sqrt{66}.\]

Siten pisteen \(X\) etäisyys suorasta \(S\) on \(\frac{1}{3}\sqrt{66}\). Asiaa on havainnollistettu kuvassa 8.

../_images/kuva36.svg

Kuva 8. Pisteen \(X\) etäisyys suorasta \(S\).

Tasossa suoran yhtälölle saadaan vielä yksi uusi ilmaisutapa pistetulon avulla. Esimerkissä 1.3.15 nähtiin, kuinka vektoria \(\bn=(3, -2)\) vastaan kohtisuorat vektorit muodostavat origon kautta kulkevan suoran. Tämän suoran alkiot ovat täsmälleen ne vektorit \(\bx\), jotka toteuttavat yhtälön

\[\bn \cdot \bx = 0.\]

Vektoria \(\bn\) kutsutaan suoran normaaliksivektoriksi ja yhtälöä suoran normaalimuotoiseksi yhtälöksi.

Määritelmä 2.1.7

Avaruuden \(\R^2\) suoran normaalivektori on mitä tahansa nollavektorista poikkeava vektori \(\bn\), joka on kohtisuorassa suoran suuntavektoria vastaan.

Määritelmänsä mukaan normaalivektori on kohtisuorassa suoran suuntavektoria vastaan. Jos suora kulkee origon kautta, suoran normaalivektori on kohtisuorassa kaikkia tason vektoreita vastaan. Suora koostuu täsmälleen niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa normaalivektoria vastaan.

Jos suora ei kulje origon kautta, tulee normaalimuotoisesta yhtälöstä hiukan monimutkaisempi kuin edellä. Olkoon suoran paikkavektori \(\bp\) ja normaali \(\bb\). Vektori \(\bx\) on suoran alkio täsmälleen siinä tapauksessa, että

\[\bn \cdot (\bx-\bp)=0.\]

Määritelmä 2.1.8

Avaruuden \(\R^2\) suoran yhtälön normaalimuoto on

\[\bn \cdot (\bx - \bp)=0\]

missä \(\bp\) on suoran paikkavektori ja \(\bn\) on suoran normaalivektori.

Kun merkitään \(\bx = (x, y)\), \(\bn = (a, b)\) sekä \(\bn \cdot \bp = c\) ja sijoitetaan nämä normaalimuotoon, saadaan suoran yhtälö muotoon

\[ax + by = c.\]

Tätä kutsutaan suoran yhtälön yleiseksi muodoksi.

Esimerkki 2.1.9

Kirjoitetaan suoran

\[\begin{split}\bx = \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 1 \end{augmatrix} + t \begin{augmatrix}{c} 3 \\ 2 \end{augmatrix}\end{split}\]

yhtälö normaalimuodossa.

Aloitetaan etsimällä suoralle jokin normaalivektori. Merkitään normaalivektoria \(\bn = (a, b)\). Määritelmän perusteella normaalivektorin täytyy olla kohtisuorassa suuntavektoria vastaan eli

\[3a + 2b = 0.\]

Nyt täytyy keksiä jotkin luvut \(a\) ja \(b\), joilla yhtälö toteutuu. Eräs ratkaisu on \(a = 2\) ja \(b = -3\), jolloin normaaliksi saadaan \(\bn = (2, -3)\). Suoran yhtälön normaalimuoto on siis nyt

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{r} 2 \\ -3 \end{augmatrix} \cdot \left(\bx - \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 1 \end{augmatrix} \right) = 0.\end{split}\]
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.