\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Ristitulo

Avaruuden \(\R^3\) vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden \(\R^3\) vektori. Ristitulosta on hyötyä esimerkiksi silloin, kun tarvitaan vektori, joka on kohtisuorassa jotakin tasoa vastaan.

Ristitulo poikkeaa kurssilla tähän mennessä määritellyistä käsitteistä siinä, että sen määritelmää ei voida yleistää kaikkiin avaruuksiin \(\R^n\). Ristitulo on vain avaruuden \(\R^3\) laskutoimitus.

Määritelmä 1.5.1

Vektorien \(\bv = (v_1, v_2,v_3)\in \R^3\) ja \(\bw = (w_1, w_2, w_3)\in \R^3\) ristitulo on vektori

\[\bv \times \bw = (v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1).\]

Ristitulon \(\bv \times \bw\) laskemiseen voi käyttää kuvassa 1 esitettyä laskusääntöä. Yhtenäisellä viivalla yhdistettyjen komponenttien tulosta vähennetään katkoviivalla yhdistettyjen komponenttien tulo.

../_images/kuva32.svg

Kuva 1. Ristitulon \(\bv \times \bw\) laskeminen.

Esimerkki 1.5.2

Merkitään \(\ba = (2,1,4)\) ja \(\bb = (3,-1,-3)\). Kuvan 2 perusteella voidaan laskea

\[\begin{split} \ba \times \bb &= (1 \cdot (-3)- 4 \cdot (-1), \ 4 \cdot 3 - 2 \cdot (-3), \ 2 \cdot (-1)- 1 \cdot 3) =(1, 18, -5). \end{split}\]
../_images/kuva44.svg

Kuva 2. Ristitulon \(\ba \times \bb\) laskeminen.

Eräs ristitulon sovelluksista on, että sen avulla voidaan löytää vektori, joka on kohtisuorassa kahta vektoria vastaan.

Lause 1.5.3

Oletetaan, että \(\bv,\bw \in \R^3\). Tällöin \((\bv \times \bw) \perp \bv\) ja \((\bv \times \bw) \perp \bw\).

Todistus

Laskemalla huomataan, että

\[\begin{split}\begin{split} (\bv \times \bw) \cdot \bv&=(v_2w_3-v_3w_2,\ v_3w_1-v_1w_3,\ v_1w_2-v_2w_1) \cdot (v_1,v_2,v_3) \\ &=(v_2w_3-v_3w_2)v_1+(v_3w_1-v_1w_3)v_2+(v_1w_2-v_2w_1)v_3 \\ &=v_2w_3v_1-v_3w_2v_1+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3=0. \end{split}\end{split}\]

Siten vektorit \((\bv \times \bw)\) ja \(\bv\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Väitteen toinen osa osoitetaan samalla tavalla.

../_images/kuva72.svg

Kuva 3. Ristitulo \(\bv \times \bw\) on kohtisuorassa vektoria \(\bv\) ja vektoria \(\bw\) vastaan.

Seuraavassa lauseessa on lueteltu ristituloon liittyviä laskusääntöjä. Erityisesti sääntöihin 1, 5 ja 7 on hyvä kiinnittää huomiota, sillä ne poikkeavat monista tutuista laskusäännöistä. Esimerkiksi säännön 1 mukaan ristitulo ei ole vaihdannainen laskutoimitus.

Lause 1.5.4

Oletetaan, että \(\bu\), \(\bv\), \(\bw \in \R^3\) ja \(c \in \R\). Tällöin

  1. \(\bv \times \bw = -(\bw \times \bv)\) (antikommutointi)
  2. \(\bu \times (\bv + \bw) = \bu \times \bv + \bu \times \bw\) (osittelulaki)
  3. \((\bv + \bw) \times \bu = \bv \times \bu + \bw \times \bu\) (osittelulaki)
  4. \(c(\bv \times \bw) = (c\bv) \times \bw = \bv \times (c\bw)\)
  5. \(\bv \times \bv = \nv\)
  6. \(\nv \times \bv = \nv\) ja \(\bv \times \nv = \nv\)
  7. \(\bu \cdot (\bv \times \bw) = (\bu \times \bv) \cdot \bw\).
Todistus
Lauseen todistus on suoraviivainen ja käyttää ainoastaan ristitulon määritelmää. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.5.5

Jos avaruuden \(\R^3\) vektorit ovat yhdensuuntaiset, niiden ristitulo on nolla.

Todistus

Oletetaan, että \(\bv, \bw \in \R^3\). Oletetaan lisäksi, että \(\bv\) ja \(\bw\) ovat yhdensuuntaisia. Tällöin on olemassa \(c \in \R\setminus{0}\), jolle pätee \(\bw=c\bv\). Edellisen lauseen nojalla

\[\bv \times \bw=\bv \times (c\bv)=c(\bv \times \bv)=c\cdot 0=0.\qedhere\]

Lauseen 1.5.3 perusteella tiedetään, että kahden vektorin ristitulo on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan, joten ristitulovektorin suunnalla on vain kaksi mahdollisuutta. Ristitulovektorin pituus puolestaan määräytyy seuraavasta lauseesta.

Lause 1.5.6

Oletetaan, että \(\bv, \bw\in \R^3\). Jos \(\bv \neq \nv\) ja \(\bw \neq \nv\), niin

\[\norm{\bv \times \bw} = \norm{\bv}\norm{\bw}\sin \alpha,\]

missä \(\alpha\) on vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) välinen kulma.

Todistus

Todistus on melko tekninen, joten sen voi ohittaa ensimmäisillä lukukerroilla.

Normin ja ristitulon määritelmien nojalla

\[\|\bv\times\bw\|^2=(v_2w_3-w_2v_3)^2+(v_1w_3-w_1v_3)^2+(v_1w_2-w_1v_2)^2.\]

Kun lasketaan lauseke termeittäin auki, saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\bu\times\bv\|^2&=v_2^2w_3^2-2v_2w_3w_2v_3+_2^2v_3^2+ v_1^2w_3^2-2v_1w_3w_1v_3+w_1^2v_3^2\\ &+v_1^2w_2^2-2v_1w_2w_1v_2+w_1^2v_2^2 \end{aligned}\end{split}\]

Tämä lauseke on mahdollista kirjoittaa muodossa

\[(v_1^2+v_2^2+v_3^2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2)-(v_1w_1+v_2w_2+v_3w_3)^2 = \|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.\]

Nyt on osoitettu, että

\[\|\bv\times\bw\|^2=\|\bu\|^2\|\bv\|^2 - (\bu \cdot \bv)^2.\]

Vektorien välisen kulman määritelmän nojalla \(\bv\cdot\bw=\|\bv\|\|\bw\|\cos(\alpha)\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\bv\times\bw\|^2 &=\|\bv\|^2\|\bw\|^2-\|\bv\|^2\|\bw\|^2\cos^2(\alpha) =\|\bv\|^2\|\bw\|^2(1-\cos^2(\alpha))\\ &=\|\bv\|^2\|\bw\|^2\sin^2(\alpha) = (\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2. \end{aligned}\end{split}\]

Näin ollen

\[\|\bv\times\bw\|^2=(\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha)^2\]

Lisäksi vektorien välisen kulman määritelmän mukaan \(0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}\), mistä seuraa, että \(\sin\alpha\ge 0\). Lisäksi vektorien normit ovat aina epänegatiivisia. Siten \(\norm{\bv \times \bw} \ge 0\) ja \(\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha \ge 0\). Saadusta yhtälöstä voidaan näin ollen päätellä, että

\[\norm{\bv \times \bw}=\norm{\bv}\norm{\bw}\sin\alpha.\]

Tämä todistaa väitteen.

Valitse paikkansa pitävät väittämät. Oletetaan, että \(\ba, \bb \in \R^3\).

Edellisestä lauseesta seuraa, että ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) pituus on yhtä suuri kuin vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) määräämän suunnikkaan ala (kuva 4). Oletetaan nimittäin, että vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) välinen kulma on \(\alpha\). Tällöin suunnikkaan korkeus on \(\norm{\bw}\sin\alpha\). Näin suunnikkaan pinta-alaksi saadaan \(\norm{\bw}\sin\alpha\cdot \norm{\bv}=\norm{\bv \times \bw}\).

../_images/kuva33.svg

Kuva 4. Ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) pituus on yhtä suuri kuin vektorien \(\bv\) ja \(\bw\) määräämän suunnikkaan ala.

Ristitulon avulla voidaan määrittää myös suuntaissärmiön tilavuus. Vektoreiden \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) määräämän suuntaissärmiön tilavuus on pohjan pinta-alan \(\norm{\bv \times \bw}\) ja korkeuden \(h\) tulo (kuva 5). Korkeuden \(h\) selvittämiseksi lasketaan vektorin \(\bu\) projektio ristitulovektorin \(\bv \times \bw\) virittämälle aliavaruudelle:

\[\proj_{\bv \times \bw}(\bu) = \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw) .\]

Korkeus \(h\) on tämän vektorin pituus eli normi:

\[\begin{split}\begin{split} h &= \|\proj_{\bv \times \bw}(\bu)\| = \left\|\frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)}\,(\bv \times \bw)\right\| = \left| \frac{(\bv \times \bw)\cdot \bu}{(\bv \times \bw)\cdot (\bv \times \bw)} \right| \|\bv \times \bw\| \\ & = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|^2}\|\bv \times \bw\| = \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|} \end{split}\end{split}\]

Tilavuudeksi saadaan pohjan pinta-ala kertaa korkeus:

\[\norm{\bv \times \bw}\cdot \frac{\left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|}{\|\bv \times \bw\|}= \left| (\bv \times \bw)\cdot \bu\right|\]

Suuntaissärmiön tilavuus on siis niin kutsutun skalaarikolmitulon \((\bv \times \bw) \cdot \bu\) itseisarvo. Lauseesta 1.5.4 seuraa, että vektorien \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) järjestyksellä tässä kaavassa ei ole väliä.

../_images/kuva34.svg

Kuva 5. Vektoreiden \(\bv\), \(\bw\) ja \(\bu\) määräämän suuntaissärmiön tilavuus.

  1. Avaruudessa \(\R^3\) on määritelty vektoreiden ristitulo. Se tuottaa tulokseksi avaruuden \(\R^3\) vektorin.
  2. Ristitulon avulla on mahdollista löytää kahta vektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori.
Palautusta lähetetään...

Palautus on vastaanotettu.