\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Reaaliluvut eivät riitä!
Palautetaan mieleen luonnolliset luvut \(1, 2, 3, \ldots\), joihin viitataan myös kirjaimella \(\N\). Näitä lukuja voidaan laskea yhteen ja kertoa keskenään, sillä kahden luonnollisen luvun summa ja tulo on aina myös luonnollinen luku. Vähennyslasku puolestaan ei onnistu kaikilla luonnollisilla luvuilla, sillä esimerkiksi \(2 - 7\) ei ole esitettävissä luonnollisena lukuna. Tämän puutteen korjaamiseksi otetaan käyttöön kokonaisluvut \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\), joita edustaa kirjain \(\Z\). Jokainen luonnollinen luku on kokonaisluku, ja nyt myös erotus \(2 - 7 = -5\) on esitettävissä negatiivisena kokonaislukuna.
Kokonaislukujen ongelmana on, että niitä ei voi aina jakaa keskenään. Tiedetään, että \(4 : 2 = 2\), mutta esimerkiksi \(1 : 3\) ei ole kokonaisluku. Rationaaliluvut, \(\Q\), muodostuvat kokonaislukujen osamääristä, ja tällöin merkitään \(1 : 3 = \frac{1}{3}\). Jokainen kokonaisluku on myös rationaaliluku, ja näillä luvuilla voidaan suorittaa kaikkia neljää peruslaskutoimitusta.
Seuraavaksi halutaan ottaa käyttöön myös luvun potenssiin korottaminen ja sen juuren ottaminen. Ensimmäinen ei tuota ongelmia, sillä esimerkiksi potenssi \(5^3\) määritellään asettamalla \(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5\). Rationaalilukujen kertolasku tuottaa aina rationaaliluvun, jolloin (kokonaisluku)potenssiin korotus toimii samoin. Juuren ajatus on käänteinen: esimerkiksi luvun \(\frac{16}{9}\) neliöjuuren ottaminen tuottaa sen luvun, jonka toinen potenssi on \(\frac{16}{9}\). Koska \(\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\), merkitään \(\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}\).
Jo neliöjuuren avulla päädytään kahteen hankaluuteen. On mahdollista osoittaa, että \(\sqrt{2}\) ei ole rationaaliluku, ts. minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei ole \(2\). Tämä kierretään laajentamalla rationaaliluvut reaaliluvuiksi, \(\R\), joihin kuuluu myös muita tuttuja irrationaalilukuja, kuten \(\pi\) ja \(e\). Toinen ongelma koskee negatiivisten lukujen neliöjuuria. Niin ikään voidaan todistaa, että \(\sqrt{-1}\) ei ole edes reaaliluku. Tämän ongelman kiertämiseksi määritellään kompleksiluvut, \(\C\), joiden ominaisuuksia käsitellään tässä osiossa.
Ydinsisältö