\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Determinantin yleinen määritelmä ja kehityskaavat¶

Määritellään seuraavaksi determinantti yleisesti kaikille neliömatriiseille. Determinantin määritelmän voi kirjoittaa monessa erilaisessa muodossa. Tähän lukuun on valittu eräs melko yksinkertainen määritelmä. Kaikki luvussa esitellyt tulokset voitaisiin johtaa valitusta määritelmästä, mutta useimmat todistukset olisivat niin työläitä, että niistä tyydytään antamaan vain perusidea. Käytettäessä hieman kehittyneempiä määritelmiä monet todistukset helpottuisivat huomattavasti, mutta itse määritelmän esittäminen olisi työläämpää.

Yleinen määritelmä mukailee tapaa, jolla laskettiin \(3 \times 3\)-matriisin determinantti.

Määritelmä 6.2.1

Olkoon \(A\) jokin \(n \times n\) -matriisi. Merkitään

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{augmatrix}.\end{split}\]

Jos \(n=1\), niin \(\det(A)=a_{11}\). Jos taas \(n>1\), niin

\[\det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}),\]

missä \(A_{1j}\) on matriisi, joka on saatu matriisista \(A\) poistamalla ensimmäinen rivi ja \(j\):s sarake.

Määritelmässä olevat kertoimet \(a_{1j}\) otetaan matriisin ensimmäiseltä riviltä. Sanotaan, että determinantti on tällöin kehitetty ensimmäisen rivin suhteen. Yhtä hyvin voidaan käyttää muita rivejä tai jopa muita sarakkeita.

Lause 6.2.2

Oletetaan, että \(A\in\R^{n\times n}\), ja merkitään \(A(i,j)=a_{ij}\) kaikilla \(i,j \in \{1,\dots, n\}\).

Olkoon \(i \in \{1, \dots ,n\}\). Tällöin

\[\det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}),\]

missä \(A_{ij}\) on matriisi, joka on saatu matriisista \(A\) poistamalla \(i\):s rivi ja \(j\):s sarake. Kyseessä on kehitys rivin \(i\) suhteen.
Olkoon \(j \in \{1, \dots ,n\}\). Tällöin

\[\det(A)=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}),\]

missä \(A_{ij}\) on matriisi, joka on saatu matriisista \(A\) poistamalla \(i\):s rivi ja \(j\):s sarake. Kyseessä on kehitys sarakkeen \(j\) suhteen.

Piilota/näytä todistus

Hahmotellaan todistuksen ideaa. Lause voidaan todistaa tarkastelemalla, millaiseen lausekkeeseen määritelmän 6.2.1 kehityskaava lopulta johtaa. Syntyvä lauseke on summa tuloista

\[\pm a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n},\]

missä \(k_1,\dots,k_n\) ovat sarakkeiden indeksit jossakin järjestyksessä. Esimerkiksi tyypin \(3\times 3\) matriisin determinantin laskeminen johtaa näillä merkinnöillä lausekkeeseen

\[a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.\]

Kunkin termin etumerkki määräytyy siitä, onko sarakkeiden järjestys \(k_1,\dots,k_n\) alkuperäisen järjestyksen \(1,\dots,n\) niin sanottu parillinen vai pariton permutaatio. Tämän havainnon jälkeen on suoraviivaista tarkistaa, että jokainen kehityskaava johtaa itse asiassa täsmälleen samaan lausekkeeseen.

Kehityskaavojen etumerkkien vaihtelu (eli kaavoissa muotoa \((-1)^{i+j}\) oleva kerroin) saadaan shakkilautaa muistuttavasta kuviosta

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{ccccc} + & - & + & - & \cdots\\ - & + & - & + & \\ + & - & + & - & \\ \vdots & & & & \end{augmatrix}.\end{split}\]

Matriisin tilalle ajatellaan plus- ja miinusmerkeistä koostuva ruudukko, jonka vasemmassa yläkulmassa on plusmerkki. Jos matriisin alkion kohdalla on plusmerkki, tulee kehityskaavassa alkion eteen plusmerkki. Vastaavasti jos alkion kohdalla on miinusmerkki, tulee kehityskaavaankin miinusmerkki. Kunkin alkion omaa etumerkkiä ei myöskään sovi unohtaa.

Esimerkki 6.2.3

Toisinaan voi säästää vaivaa, jos valitsee viisaasti rivin tai sarakkeen, jonka suhteen determinantin kehittää. Lasketaan matriisin

\[\begin{split}D=\begin{augmatrix}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5& 6 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 8 & 9 & -4 & -2 \end{augmatrix}\end{split}\]

determinantti kehittämällä se aluksi kolmannen rivin suhteen:

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{vaugmatrix}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5& 6 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 8 & 9 & -4 & -2 \end{vaugmatrix} &= 0 \cdot \begin{vaugmatrix}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 0 \\ 9 & -4 & -2 \end{vaugmatrix} - 0 \cdot \begin{vaugmatrix}{rrr} 1 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & 0 \\ 8 & -4 & -2 \end{vaugmatrix}\\ &\qquad\qquad+(-1) \cdot \begin{vaugmatrix}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \\ 8 & 9 & -2 \end{vaugmatrix} - 0 \cdot \begin{vaugmatrix}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & -4 \end{vaugmatrix} \\ &=\, -\begin{vaugmatrix}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \\ 8 & 9 & -2 \end{vaugmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Saatu \(3\times 3\)-determinantti voidaan kehittää kolmannen sarakkeen suhteen:

\[\begin{split}\begin{aligned} -\begin{vaugmatrix}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \\ 8 & 9 & -2 \end{vaugmatrix} &= -\left(4 \cdot \begin{vaugmatrix}{rr} 5&6\\ 8&9 \end{vaugmatrix} - 0 \cdot \begin{vaugmatrix}{rr} 1&2\\ 8&9 \end{vaugmatrix} + (-2) \cdot \begin{vaugmatrix}{rr} 1&2\\ 5&6 \end{vaugmatrix} \right)\\ &= -\bigl(4 \cdot (45-48) - 0 -2\cdot (6-10)\bigr) = -(-12-0+8) =-(-4) = 4. \end{aligned}\end{split}\]

Siis \(\det(D) = 4\).