$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Determinantin ominaisuuksia¶

Kuten lauseessa 3.6.9 todettiin, determinantin merkitys näkyy siinä, että se kertoo matriisin kääntyvyydestä.

Lause 6.3.1

Oletetaan, että $$A$$ on $$n \times n$$ -matriisi. Matriisi $$A$$ on kääntyvä, jos ja vain jos $$\det(A) \neq 0$$.

Lauseen todistus on esitetty tämän luvun loppupuolella.

Esimerkki 6.3.2

Esimerkissä 6.1.1 saatiin matriisin

$\begin{split}N=\begin{augmatrix}{rrr} 2 & 3 & 8 \\ -4 & 5 & 9 \\ 0 & -7 & -8 \end{augmatrix}\end{split}$

determinantiksi $$174$$. Koska determinantti ei ole nolla, matriisi $$N$$ on kääntyvä.

Esimerkki 6.3.3

Tutkitaan, onko joukko $$\{(2,1,-1),(0,1,-3),(-2,1,-5)\}$$ avaruuden $$\R^3$$ kanta. Kyseessä on kanta, mikäli jokainen vektori $$\bw\in\R^3$$ voidaan ilmaista yksikäsitteisesti annettujen vektorien lineaarikombinaationa. Tutkittava yhtälöryhmä voidaan ilmaista matriisimuodossa yhtälönä $$A\bx=\bw$$, missä

$\begin{split}A=\begin{augmatrix}{rrr} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -5 \end{augmatrix}.\end{split}$

Yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, jos ja vain jos kerroinmatriisi $$A$$ on kääntyvä (lause 4.6.6). Toisaalta lauseen 6.3.1 nojalla $$A$$ on kääntyvä, jos ja vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Lasketaan determinantti:

\begin{split}\begin{aligned} \det(A)=\begin{vaugmatrix}{rrr} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -5 \end{vaugmatrix} & =2\bigl(1\cdot(-5)-1\cdot(-3)\bigr)-0-2\bigl(1\cdot(-3)-1\cdot(-1)\bigr) \\ & =2\cdot(-2)-2\cdot(-2)=0. \end{aligned}\end{split}

Koska determinantti on $$0$$, matriisi $$A$$ ei ole kääntyvä. Tästä syystä tutkittavan yhtälöryhmän ratkaisua ei ole olemassa tai se ei ole yksikäsitteinen. Annettu vektorijoukko ei siis muodosta kantaa.

Determinantin merkitystä voidaan tulkita visuaalisesti kuvausten avulla. Jos matriisia ajatellaan kuvauksena, determinantti kertoo, kuinka paljon kuvaus muuttaa kuvioiden pinta-aloja. Jos matriisilla kuvaa tason yksikköneliötä, tuloksena on suunnikas. Seuraavan lauseen mukaan determinantin itseisarvo on tuon suunnikkaan pinta-ala.

Lause 6.3.4

Oletetaan, että $$A \in \R^{2 \times 2}$$. Tällöin $$\left|\det(A)\right|$$ on vektoreiden $$A\be_1$$ ja $$A\be_2$$ määrittämän suunnikkaan pinta-ala.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että

$\begin{split}A= \begin{augmatrix}{cc} a & b \\ c & d \end{augmatrix},\end{split}$

missä $$a,b,c,d \in \R$$. Palautetaan mieleen, että $$\be_1=(1,0)$$ ja $$\be_2=(0,1)$$. Matriisikertolaskun määritelmän mukaan $$A\be_1=(a,c)$$ ja $$A\be_2=(b,d)$$. Ajatellaan tasoa $$\R^2$$ tason $$\R^3$$ osajoukkona siten, että tason $$\R^2$$ vektori $$(a,c)$$ vastaa vektoria $$(a,c,0)$$ ja $$(b,d)$$ vektoria $$(b,d,0)$$. Nyt voidaan hyödyntää ristituloa suunnikkaan pinta-alan laskemiseen. Suunnikkaan pinta-ala on ristituloa käsittelevän luvun perusteella

\begin{split}\begin{aligned} \norm{(a,c,0) \times (b,d,0)} &=\norm{(c \cdot 0-0\cdot d, 0 \cdot b-a\cdot 0, ad-cb)}\\ &=\norm{(0,0,ad-cb)}\\ &=\sqrt{0^2 + 0^2 + (ad-cb)^2}\\ &=|ad-cb|=\left|\det(A)\right|. \end{aligned}\end{split}

Edellisen lauseen avulla voi hahmottaa uudella tavalla, miksi determinantti liittyy matriisin kääntyvyyteen. Jos determinantti on nolla, matriisi kuvaa tason yksikköneliön suunnikkaaksi, jonka pinta-ala on nolla. Tuloksena on siis vain viiva. Tällaisessa kuvauksessa eri vektorit kuvautuvat samaksi vektoriksi, joten kuvausta ei ole mahdollista peruuttaa. Kuvauksella ei siis ole käänteiskuvausta eikä matriisilla käänteismatrisiia.

Kolmiulotteisessa avaruudessa yksikkökuutio kuvautuu matriisilla kuvattaessa suuntaissärmiöksi. Tuon suuntaissärmiön tilavuus on determinantin itseisarvo.

Lause 6.3.5

Oletetaan, että $$A \in \R^{3 \times 3}$$. Tällöin $$\left|\det(A)\right|$$ on vektoreiden $$A\be_1$$, $$A\be_2$$ ja $$A\be_3$$ määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.

Piilota/näytä todistus
Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.

Tarkastellaan seuraavaksi, miten determinantti suhtautuu matriisien alkeisrivimuunnoksiin sekä laskutoimituksiin. Seuraavan tuloksen voi todistaa pienille matriiseille suoraan laskemalla, ja yleisen tapauksen voi johtaa determinanttien kehityskaavoista.

Lause 6.3.6

Oletetaan, että $$A$$ on neliömatriisi. Jos matriisi $$B$$ saadaan matriisista $$A$$

1. vaihtamalla kaksi riviä keskenään, niin $$\det(B)=-\det(A)$$.
2. kertomalla jokin rivi nollasta poikkeavalla reaaliluvulla $$t$$, niin $$\det(B)=t\det(A)$$.
3. lisäämällä johonkin riviin jokin toinen rivi reaaliluvulla $$k$$ kerrottuna, niin $$\det(B)=\det(A)$$.

Koska determinantit voidaan kehittää yhtä hyvin sarakkeiden kuin rivienkin suhteen, transponointi ei vaikuta matriisin determinanttiin:

Lause 6.3.7

Oletetaan, että $$A$$ on neliömatriisi. Tällöin $$\det(\tp{A}) = \det(A)$$.

Lauseesta 6.3.7 seuraa, että determinantin sarakkeet käyttäytyvät täsmälleen samalla tavalla kuin sen rivit. Lauseesta 6.3.6 saadaan siis seuraavat muistisäännöt:

1. Jos matriisin kaksi riviä (tai saraketta) vaihtaa keskenään, determinantin etumerkki muuttuu:

$\begin{split}\begin{vaugmatrix}{ccc} 3&2&7\\ 1&6&0\\ 5&8&4 \end{vaugmatrix} =-\begin{vaugmatrix}{ccc} 1&6&0\\ 3&2&7\\ 5&8&4 \end{vaugmatrix}.\end{split}$
2. Jos matriisin rivillä (tai sarakkeessa) kaikilla alkioilla on yhteinen nollasta poikkeava tekijä, tuon yhteisen tekijän voi ottaa determinantin eteen kertoimeksi:

$\begin{split}\begin{vaugmatrix}{ccc} 1&6&0\\ 3&2&7\\ 5&8&4 \end{vaugmatrix} = 2 \cdot\begin{vaugmatrix}{ccc} 1&3&0\\ 3&1&7\\ 5&4&4 \end{vaugmatrix}.\end{split}$
3. Jos matriisin riviin (tai sarakkeeseen) lisätään jokin toinen rivi (tai sarake) vakiolla kerrottuna, matriisin determinantti ei muutu:

$\begin{split}\begin{vaugmatrix}{ccc} 1&3&0\\ 3&1&7\\ 5&4&4 \end{vaugmatrix} = \begin{vaugmatrix}{rrr} 1&3&0\\ 0&-8&7\\ 5&4&4 \end{vaugmatrix}.\end{split}$

Lauseesta 6.3.6 seuraa myös, että joidenkin matriisien determinantti on helppo määrittää.

Lause 6.3.8

Oletetaan, että $$A$$ on neliömatriisi. Tällöin

1. jos matriisissa $$A$$ on nollarivi (nollasarake), niin $$\det(A) = 0$$
2. jos matriisissa $$A$$ on kaksi samaa riviä (samaa saraketta), niin $$\det(A) = 0$$
3. jos $$A$$ on kolmiomatriisi eli kaikki lävistäjän alapuoliset tai yläpuoliset alkiot ovat nollia, niin matriisin $$A$$ determinantti on lävistäjäalkioiden tulo.
Piilota/näytä todistus

Todistetaan vain rivejä koskevat väitteet. Sarakkeita koskevat väitteet voidaan käsitellä samalla tavalla.

1. Kerrotaan matriisin nollarivi luvulla $$-1$$, jolloin matriisi ei muutu. Lauseen 6.3.6 mukaan pätee siis $$\det(A)=-1\cdot\det(A)$$, josta seuraa, että $$\det(A)=0$$.
2. Vaihdetaan matriisin samanlaiset rivit keskenään, jolloin matriisi ei muutu. Lauseen 6.3.6 mukaan $$\det(A)=-\det(A)$$, joten $$\det(A)=0$$.
3. Tulos nähdään suoraan kehittämällä matriisi rivi riviltä alkaen ylimmästä tai alimmasta rivistä, jolla on vain yksi nollasta poikkeava alkio.

Edeltäviä lauseita voidaan käyttää hyväksi determinantin laskemisessa. Kun matriisi muutetaan porrasmatriisiksi alkeisrivimuunnosten avulla, determinantti muuttuu lauseessa 6.3.6 kuvatulla tavalla. Porrasmatriisin determinantti voidaan puolestaan määrittää lauseen 6.3.8 avulla.

Esimerkki 6.3.9

$\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & -5 \end{augmatrix}\end{split}$

determinantti muuntamalla se vaiheittain porrasmatriisiksi. Tarvittavat alkeisrivimuunnokset ovat seuraavat:

\begin{split}\begin{aligned} & \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & -5 \end{augmatrix} \overset{R_2+2R_1}{\longrightarrow} \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & -5 \end{augmatrix} \overset{R_3-2R_1}{\longrightarrow} \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & -1 & -5 \end{augmatrix} \overset{R_4-3R_1}{\longrightarrow} \\ & \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 8 & -1 & -8 \end{augmatrix} \overset{R_4-2R_3}{\longrightarrow} \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & -6 \end{augmatrix} \overset{R_4-3R_2}{\longrightarrow} \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{augmatrix} \overset{R_2\leftrightarrow R_3}{\longrightarrow} \\ & \begin{augmatrix}{rrrr} 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -12 \end{augmatrix}. \end{aligned}\end{split}

Tuloksena on yläkolmiomatriisi, jonka determinantti on lävistäjäalkioiden tulo eli tässä tapauksessa $$-48$$. Lauseen 6.3.6 perusteella ainoastaan viimeinen alkeisrivimuunnos muutti matriisin determinanttia, ja sekin aiheutti vain etumerkin muutoksen. Siispä alkuperäisen matriisin determinantti oli $$48$$.

Edellisten tulosten avulla voidaan nyt todistaa myös kääntyvän matriisin determinanttiin liittyvä lause 6.3.1. Tehdään se tarkastelemalla alkeisrivimuunnoksia.

Piilota/näytä todistus
Osoitetaan, että neliömatriisi $$A$$ on kääntyvä, jos ja vain jos $$\det(A) \neq 0$$. Tiedetään, että matriisi $$A$$ on kääntyvä täsmälleen silloin, kun se voidaan muuttaa alkeisrivimuunnoksilla ykkösmatriisiksi, muuten porrasmatriisiin tulee nollarivi (lause 4.6.6). Lauseen 6.3.8 nojalla ykkösmatriisin determinantti on $$1$$ ja nollarivin omaavan matriisin determinantti on $$0$$. Toisaalta lauseesta 6.3.6 seuraa, että jokainen alkeisrivimuunnos säilyttää determinantin nollana tai nollasta poikkeavana sen mukaan, mitä se oli alun perin. Täten matriisi $$A$$ on kääntyvä täsmälleen silloin, kun sen determinantti on nollasta poikkeava.

Tarkastellaan vielä matriisien laskutoimituksien vaikutusta determinanttiin.

Lause 6.3.10

Oletetaan, että $$A$$ ja $$B$$ ovat neliömatriiseja. Tällöin $$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$.

Piilota/näytä todistus

Hahmotellaan todistuksen ideaa. Jos jompikumpi tai molemmat matriiseista $$A$$ ja $$B$$ eivät ole kääntyviä, myöskään niiden tulo ei ole kääntyvä. Tällöin väite pätee lauseen 6.3.1 nojalla. Oletetaan sitten, että $$A$$ ja $$B$$ ovat kääntyviä ja kirjoitetaan ne alkeismatriisien tuloina:

$A=E_1\cdots E_r \quad \text{ja} \quad B=F_1\cdots F_s.$

Lauseesta 6.3.6 seuraa, että jos $$E$$ on alkeismatriisi, jokaiselle neliömatriisille $$M$$ pätee

$\det(EM)=\det(E)\det(M).$

Käyttämällä tätä havaintoa toistuvasti yllä esitettyihin tuloihin, nähdään, että

$\det(A)=\det(E_1)\cdots\det(E_r) \quad \text{ja} \quad \det(B)=\det(F_1)\cdots\det(F_s).$

Toisaalta $$AB=E_1\cdots E_r F_1\cdots F_s$$, ja samalla tavoin kuin edellä saadaan

$\det(AB)=\det(E_1)\cdots\det(E_r)\cdot\det(F_1)\cdots\det(F_s).$

Väite seuraa tästä.

Lause 6.3.11

Oletetaan, että neliömatriisi $$A$$ on kääntyvä. Tällöin

$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.$
Piilota/näytä todistus

Oletuksen mukaan matriisi $$A$$ on kääntyvä, joten sillä on käänteismatriisi $$A^{-1}$$. Edellisen lauseen nojalla pätee

$\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1.$

Toisaalta lauseen 6.3.1 mukaan $$\det(A) \neq 0$$, sillä $$A$$ on kääntyvä. Jakamalla puolittain saadaan $$\det(A^{-1})=1/\det(A)$$.

• Matriisi on kääntyvä täsmälleen siinä tapauksessa, että sen determinantti ei ole nolla.
Olkoot $$\ba = (5, 4, 3, 5)$$, $$\bb = (3, 6, 2, 3)$$ ja $$\bc = (21, 24, 13, 21)$$ avaruuden $$\R^4$$ vektoreita.
Ovatko vektorit $$\ba$$, $$\bb$$ ja $$\bc$$ lineaarisesti riippumattomia?
Määritellään vielä yksi vektori $$\bd = (6, -2, -2, 4)$$, sekä matriisi $$A = \begin{augmatrix}{cccc} \ba & \bb & \bc & \bd \end{augmatrix}$$.
Mikä on matriisin $$A$$ determinantti?