\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Pienten matriisien determinantit
Seuraavassa videossa tutustutaan determinanttiin:
Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei. Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi. Determinantilla on monia sovelluksia, mutta tässä yhteydessä tarkastelemme erityisesti sen yhteyttä matriisin kääntyvyyteen.
Determinantteihin tutustuttiin jo aiemmin \(2 \times 2\)-matriisin determinantin määritelmän yhteydessä. Tässä luvussa määritelmä laajennetaan koskemaan kaikkia neliömatriiseja.
Tarkastellaan ensin pienten matriisien determinantteja ja esitetään sitten yleinen determinantin määritelmä. Determinantti voidaan laskea vain neliömatriisille.
Palautetaan mieleen, että matriisin
\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cc}
a & b \\
c & d
\end{augmatrix}\end{split}\]
determinantti on \(\det(A)=ad-bc\).
Determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
\[\begin{split}\det(A)=\begin{vaugmatrix}{cc}
a & b \\
c & d
\end{vaugmatrix}.\end{split}\]
Määritetään sitten \(3\times 3\)-matrisiin determinantti. Tämä tapahtuu pienempien, niin kutsuttujen alidetermianttien avulla.
Matriisin
\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{ccc}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{augmatrix}\end{split}\]
determinantti on
\[\begin{split}\begin{aligned}
\det(B) & =
a_1\begin{vaugmatrix}{cc}
b_2 & b_3\\
c_2 & c_3
\end{vaugmatrix}
-a_2\begin{vaugmatrix}{cc}
b_1 & b_3\\
c_1 & c_3
\end{vaugmatrix}
+a_3
\begin{vaugmatrix}{cc}
b_1 & b_2\\
c_1 & c_2
\end{vaugmatrix}.
\end{aligned}\end{split}\]
Kukin alideterminantti saadaan poistamalla alkuperäisestä matriisista se rivi ja sarake, jolla alideterminantin edessä oleva kerroin sijaitsee.
Esimerkki 6.1.1
Matriisin
\[\begin{split}N=\begin{augmatrix}{rrr}
2 & 3 & 8 \\ -4 & 5 & 9 \\ 0 & -7 & -8
\end{augmatrix}\end{split}\]
determinantti on
\[\begin{split}\begin{aligned}
\det(N)&= \begin{vaugmatrix}{rrr}
2&3& 8 \\ -4 & 5 & 9 \\ 0 & -7 & -8
\end{vaugmatrix}
= 2
\begin{vaugmatrix}{rr}
5 & 9 \\ -7 & -8
\end{vaugmatrix} - 3
\begin{vaugmatrix}{rr}
-4 & 9 \\ 0 & -8
\end{vaugmatrix} + 8
\begin{vaugmatrix}{rr}
-4 & 5 \\ 0 & -7
\end{vaugmatrix} \\
&= 2 \cdot (5 \cdot (-8) - 9 \cdot (-7)) - 3 \cdot (-4 \cdot (-8) - 9 \cdot 0) + 8 \cdot (-4 \cdot (-7) - 5 \cdot 0) \\
&= 174.
\end{aligned}\end{split}\]
- Neliömatriisille voidaan laskea determinantti, joka on matriisin alkioiden perusteella määrityvä reaaliluku.
Tiivistelmä