\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Virittäminen

Pohdi 5.2.1

Marty McFly voi ohjata leijulautaansa vektoreilla \((3,-1)\) ja \((-2,-1)\). Tutkitaan, voiko Marty päästä mihin tahansa tason \(\R^2\) pisteeseen. Voidaan olettaa, että Marty lähtee origosta \((0,0).\)

1. Halutaan selvittää, voiko Marty päästä pisteeseen \((b_1,b_2)\in \R^2.\) Millaista yhtälöä pitää tutkia?
2. Millainen yhtälöryhmä yhtälöstä saadaan?
3. Onko yhtälöryhmällä ratkaisuja? Vaikuttavatko lukujen \(b_1\) ja \(b_2\) arvot siihen, onko yhtälöryhmällä ratkaisuja?
4. Pääseekö Marty pisteeseen \((b_1,b_2)?\)
5. Voiko Marty päästä mihin tahansa tason \(\R^2\) pisteeseen?

Olemme oppineet selvittämään, onko jokin vektori toisten vektoreiden lineaarikombinaatio. Tässä luvussa tutkitaan, milloin jokainen vektoriavaruuden vektori voidaan kirjoittaa joidenkin tiettyjen vektoreiden lineaarikombinaationa. Esimerkiksi avaruuden \(\R^2\) jokainen vektori voidaan kirjoittaa vektorien \((1,0)\) ja \((0,1)\) lineaarikombinaationa. Avaruuden vektorit ovat nimittäin muotoa \((x,y)\), missä \(x,y \in \R\). Jokainen tätä muotoa oleva alkio voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa

\[(x,y)=x(1,0)+y(0,1).\]

Sanotaan, että vektorit \((1,0)\) ja \((0,1)\) virittävät avaruuden \(\R^2\). Asian voi ilmaista epämuodollisesti sanomalla, että vektoreilla \((1,0)\) ja \((0,1)\) pääsee jokaiseen avaruuden \(\R^2\) pisteeseen.

Määritelmä 5.2.2

Vektorit \(\bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n\) virittävät vektoriavaruuden \(\R^n\), jos jokainen vektoriavaruudenavaruuden \(\R^n\) alkio voidaan kirjoittaa vektoreiden \(\bv_1,\dots,\bv_k\) lineaarikombinaationa.

Virittämisen määritelmä voidaan ilmaista myös toisin sanoin: vektorit \(\bv_1,\dots,\bv_k \in \R^n\) virittävät vektoriavaruuden \(\R^n\), jos

\[\R^n=\{a_1\bv_1+a_2\bv_2+\dots +a_k\bv_k \mid a_1,a_2,\dots,a_k \in \R\}.\]

Vektoreita \(\bv_1,\dots,\bv_k\) kutsutaan vektoriavaruuden \(\R^n\) virittäjiksi. Huomaa, että määritelmässä on oleellista, että avaruuden virittäjävektorit ovat avaruuden alkioita. Ei voida esimerkiksi sanoa, että jotkin avaruuden \(\R^3\) vektorit virittäisivät avaruuden \(\R^2\), sillä \(\R^3\) ja \(\R^2\) ovat kaksi eri joukkoa, joilla ei ole yhteisiä alkioita.

Samalla tavalla kuin luvun alussa osoitettiin, että vektorit \((1,0)\) ja \((0,1)\) virittävät avaruuden \(\R^2\), voidaan osoittaa, että vektorit \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) ja \((0,0,1)\) virittävät avaruuden \(\R^3\). Kyseiset kolme vektoria eivät kuitenkaan ole avaruuden \(\R^3\) ainoat virittäjät kuten seuraavasta esimerkistä näkyy.

Esimerkki 5.2.3

Osoitetaan, että vektorit \(\bv_1 = (1,1,1)\), \(\bv_2=(1,1,0)\) ja \(\bv_3=(1,0,0)\) virittävät avaruuden \(\R^3\).

On siis osoitettava, että jokainen avaruuden \(\R^3\) vektori voidaan esittää vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaationa. Oletetaan tätä varten, että \(\bw \in \R^3\). Nyt \(\bw=(w_1,w_2,w_3)\) joillakin \(w_1,w_2,w_3 \in \R\).

Jotta vektori \(\bw\) olisi vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio, täytyy löytyä luvut \(x_1\), \(x_2\), \(x_3 \in \R\), joille pätee

\[x_1\bv_1+x_2\bv_2+x_3\bv_3 = \bw.\]

Osoitetaan, että tällaisia lukuja on olemassa eli että yhtälöllä on ratkaisuja.

Yhtälöä vastaa yhtälöryhmä

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcrcrcr} x_1&+&x_2&+&x_3&=&w_1 \\ x_1&+&x_2&&&=&w_2 \\ x_1&&&&&=&w_3, \end{array} \right.\end{split}\]

jonka matriisi on

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & w_1\\ 1 & 1 & 0 & w_2\\ 1 & 0 & 0 & w_3 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Yhtälöryhmän matriisista saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|c} 1 & 1 & 1 & w_1\\ 0 & -1 & -1 & -w_1+w_3\\ 0 & 0 & -1 & -w_1+w_2 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tavoitteena on siis selvittää, onko yhtälöryhmällä ratkaisuja. Tämä voidaan lukea suoraan porrasmatriisista. Koska porrasmatriisissa ei näy epätosia yhtälöitä, yhtälöryhmällä on ratkaisuja. Siten etsityt reaaliluvut \(x_1\), \(x_2\) ja \(x_3\) ovat olemassa, ja \(\bw\) on vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio.

Olemme nyt osoittaneet, että jokainen vektoriavaruuden \(\R^3\) vektori on vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio. Näin ollen kyseiset kolme vektoria virittävät vektoriavaruuden \(\R^3\).

Esimerkki 5.2.4

Tutkitaan, virittävätkö vektorit

\[\bv_1=(3,2,-1), \quad \bv_2=(2,-2,6) \quad \text{ja} \quad \bv_3=(3,4,-5)\]

vektoriavaruuden \(\R^3\).

Oletetaan, että \(\bw \in \R^3\). Nyt \(\bw=(w_1,w_2,w_3)\) joillakin \(w_1,w_2,w_3 \in \R^3\). Tutkitaan, onko \(\bw\) vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio. Täytyy siis selvittää, onko olemassa lukuja \(x_1\), \(x_2\), \(x_3 \in \R\), joille pätee

\[x_1\bv_1+x_2\bv_2+x_3\bv_3 = \bw.\]

Tätä yhtälöä vastaa yhtälöryhmä

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 3x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&w_1 \\ 2x_1&-&2x_2&+&4x_3&=&w_2 \\ -x_1&+&6x_2&-&5x_3&=&w_3. \end{array} \right.\end{split}\]

Yhtälöryhmän matriisista saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrr|c} 1 & -6 & 5 & -w_3\\ 0 & 10 & -6 & w_2+2w_3\\ 0 & 0 & 0 & w_1-2w_2-w_3 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Porrasmatriisista nähdään, että yhtälöryhmällä on ratkaisuja, jos ja vain jos alinta riviä vastaava yhtälö \(0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = w_1-2w_2-w_3\) on tosi eli \(w_1-2w_2-w_3=0\). Siten vektori \(\bw = (w_1,w_2,w_3)\) on vektoren \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio, jos ja vain jos \(w_1-2w_2-w_3=0\).

Näin ollen esimerkiksi vektori \((1,0,0)\) ei ole vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio, sillä se ei toteuta edellä saatua yhtälöä. On siis olemassa vektoriavaruuden \(\R^3\) vektori, joka ei ole vektoreiden \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) lineaarikombinaatio. Siten vektorit \(\bv_1\), \(\bv_2\) ja \(\bv_3\) eivät viritä avaruutta \(\R^3\).

Esimerkki 5.2.5

Tutkitaan, virittävätkö vektorit

\[\bu_1=(1,1,0), \quad \bu_2=(1,0,1), \quad \bu_3=(0,1,1) \quad \text{ja} \quad \bu_4=(-2,1,1)\]

avaruuden \(\R^3\). Oletetaan, että \(\bw=(w_1,w_2,w_3) \in \R^3\). On selvitettävä, onko olemassa lukuja \(x_1,x_2,x_3,x_4 \in \R\), joille pätee

\[x_1\bu_1+x_2\bu_2+x_3\bu_3+x_4\bu_4=\bw.\]

Saadaan yhtälöryhmä, jonka matriisi on

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr|c} 1 & 1 & 0 & -2 & w_1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & w_2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & w_3 \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tästä saadaan alkeisrivimuunnoksilla porrasmatriisi

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{rrrr|c} 1 & 1 & 0 & -2 & w_1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & w_1-w_2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2}(w_3+w_2-w_1) \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Yhtälöryhmällä on ratkaisuja, sillä porrasmatriisissa ei näy epätosia yhtälöitä. Tämä ei riipu mitenkään luvuista \(w_1\), \(w_2\) ja \(w_3\). Siten \(\bw\) on vektoreiden \(\bu_1\), \(\bu_2\), \(\bu_3\) ja \(\bu_4\) lineaarikombinaatio. Näin ollen kyseiset vektorit virittävät avaruuden \(\R^3\).

Sekä esimerkissä 5.2.3 että esimerkissä 5.2.5 annetut vektorit virittävät avaruuden. Esimerkit poikkeavat toisistaan siinä suhteessa, että ensin mainitussa jokainen vektori voidaan kirjoittaa virittäjävektoreiden lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla ja jälkimmäisessä kirjoitustapoja on äärettömän monta. Tällä ei ole väliä, jos vain tutkitaan, virittävätkö vektorit avaruuden. Usein kuitenkin halutaan sellaiset virittäjävektorit, joiden lineaarikombinaatioina avaruuden vektorit voidaan kirjoittaa vain yhdellä tavalla. Tähän palataan luvussa 5.4.

Jokaisessa tämän luvun esimerkissä muodostettiin ensin vektoriyhtälö. Tuo yhtälö kirjoitettiin sitten yhtälöryhmänä ja edelleen matriisina. Huomataan, että näin muodostuvan matriisin sarakkeet ovat aina esimerkissä tutkitut virittäjävektorit. Vektoriyhtälö

\[c_1\bv_1+c_2\bv_2+\cdots+c_k\bv_k=\bw\]

voidaankin aina kirjoittaa matriisina

\[\begin{augmatrix}{cccc|c} \bv_1 & \bv_2 & \cdots & \bv_k & \bw \end{augmatrix}.\]

Tämä merkintä tarkoittaa, että sarakkeiden alkiot ovat vektoreissa \(\bv_1, \bv_2,\dots,\bv_k\) olevat luvut. Ei ole kuitenkaan tarpeen opetella ulkoa, että virittäjävektorit laitetaan matriisin sarakkeiksi. Jos olet asiasta epävarma, voit aina tarkistaa sen laskemalla kuten esimerkeissä on tehty.

Palautusta lähetetään...