\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Sarake- ja nolla-avaruus¶

Kun matriisilla \(A\) kerrotaan vektoreita, saadaan tulokseksi toisia vektoreita. Kaikki mahdolliset tulosvektorit muodostavat matriisin \(A\) sarakeavaruuden.

Määritelmä 4.7.1

Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\). Matriisin \(A\) sarakeavaruus on joukko

\[\cR(A) = \{\by \in \R^m \mid \by = A\bx, \text{ jollakin } \bx \in \R^n\}.\]

Sarake-avaruutta kutsutaan myös kuva-avaruudeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu sarakeavaruus kaikista niistä maalijoukon vektoreista, joille kuvautuu jotain. Kyseessä on siis matriisia vastaavan kuvauksen kuvajoukko. Tämän alaluvun lopussa näemme, että sarakeavaruuden vektorit ovat matrisiin sarakkeiden lineaarikombinaatioita. Tästä juontaa nimi sarakeavaruus.

Esimerkki 4.7.2

Tutkitaan sarakeavaruuden käsitettä matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}\]

avulla. Kertomalla mitä tahansa avaruuden \(\R^4\) vektoria matriisilla \(A\), saadaan aikaiseksi sarakeavaruuden alkio. Merkitään \(\bx=(1,-1,3,2)\). Nyt \(A\bx\) on matriisin \(A\) sarakeavaruuden alkio. Lasketaan vielä tulo \(A\bx\):

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} 1 \\ -1\\ 3\\ 2 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 5\\ 8 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen vektori \((5,8)\) on matriisin \(A\) sarakeavaruudessa. Voidaan siis kirjoittaa \((5,8) \in\cR(A)\).

Kun vektorin \(\bx\) tilalle laittaa minkä tahansa avaruuden \(\R^4\) alkio, saa aina tulokseksi sarakeavaruuden alkion. Jos esimerkiksi valitaan \(\bx=(1,1,1,1)\), saadaan

\[\begin{split}\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} 1 \\ 1\\ 1\\ 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 5\\ 1 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Toisin sanoen vektori \((5,1)\) on matriisin \(A\) sarake-avaruudessa eli \((5,1) \in\cR(A)\).

Laittamalla vektorin \(\bx\) tilalle eri vektoreita, voidaan tuottaa äärettömän paljon erilaisia sarakeavaruuden \(\cR(A)\) alkioita.

Esimerkki 4.7.3

Jos matrisiit tulkitsee kuvauksiksi kuten aiemmassa luvussa, voi sarakeavaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkin 3.3.4 projektiomatriisi \(P\) kuvaa tason vektorit vaaka-akselille ja jokaiselle vaaka-akselin pisteelle projisoituu jotakin. Siten sarakeavaruus on vaaka-akseli, eli \(\cR(P)=\{(a,0) \mid a \in \R\}\).

Esimerkin 3.3.3 kiertomatriisin \(C\) sarakeavaruus on puolestaan koko avaruus \(\R^2\), sillä jokaiselle tason vektorille kuvautuu kiertossa jokin toinen vektori. Siten \(\cR(C)=\R^2\).

Matriisin \(A\) nolla-avaruus koostuu kaikista niistä vektoreista, joita kertomalla saadaan aikaiseksi nollavektori. Toisin sanoen nolla-avaruus muodostuu yhtälön \(A\bx=\nv\) ratkaisuista.

Määritelmä 4.7.4

Oletetaan, että \(A \in \R^{m \times n}\). Matriisin \(A\) nolla-avaruus on joukko

\[\cN(A) = \{\bx \in \R^n \mid A\bx = \bzero\}.\]

Nolla-avaruutta kutsutaan myös ytimeksi. Jos matriisia ajattelee kuvauksena, koostuu nolla-avaruus kaikista niistä lähtöjoukon vektoreista, jotka kuvautuvat nollavektorille.

Esimerkki 4.7.5

Tutkitaan, onko vektori \(\bx=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4},1,0\right)\) on matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \end{augmatrix}\end{split}\]

nolla-avaruudessa laskemalla tulo \(A\bx\):

\[\begin{split}A\bx=\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{r} -\frac{3}{2} \\ -\frac{1}{4}\\ 1\\ 0 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 0\\ 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Koska tulokseksi tulee nollavektori, on vektori \(\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4},1,0\right)\) matriisin \(A\) nolla-avaruudessa eli \(\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4},1,0\right) \in \cR(A)\).

Valitaan sitten \(\bx=\left(1,2,0,1\right)\) ja tutkitaan, onko kyseinen vektori matriisin \(A\) nolla-avaruudessa. Nähdään, että

\[\begin{split}A\bv=\begin{augmatrix}{crcc} 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} 1 \\ 2\\ 0\\ 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{r} 5\\ -2 \end{augmatrix}\neq \begin{augmatrix}{c} 0\\ 0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Koska tulokseksi ei tule nollavektoria, ei vektori \(\left(1,2,0,1\right)\) ole matriisin \(A\) nolla-avaruudessa eli \(\left(1,2,0,1\right) \notin \cR(A)\).

Esimerkki 4.7.6

Jos matriisit tulkitsee kuvauksiksi, voi nolla-avaruuden päätellä kuvan avulla. Esimerkiksi esimerkin 4.3.3 projektiomatriisi \(P\) kuvaa nollavektoriksi kaikki pystyakselin pisteet eli muotoa \((0,a)\) olevat vektorit, missä \(a \in \R\). Siten \(\cN(P)=\{(0,a) \mid a \in \R\}\).

Kiertomatriisin \(C\) nolla-avaruudessa puolestaan ei ole mitään muuta kuin nollavektori, sillä mikään nollavektorista poikkeava vektori ei kuvaudu kierrossa nollavektorille. Siten \(\cN(C)=\{(0,0)\}\).

Jos \(m \times n\)-matriisi \(A\) esitetään sarakkeidensa \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) avulla ja \(\bx \in \R^n\), niin

\[\begin{split}A\bx = \begin{augmatrix}{cccc} \ba_1 & \ba_2 & \cdots & \ba_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{augmatrix} = x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n.\end{split}\]

Vektori \(\bx\) on matriisin \(A\) nolla-avaruudessa täsmälleen silloin, kun sen komponentit toteuttavat vektoriyhtälön

\[x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n = \nv.\]

Vektori \(\by\) on puolestaan matriisin \(A\) sarakeavaruudessa täsmälleen silloin, kun

\[\by = x_1\ba_1 + x_2\ba_2 + \cdots + x_n\ba_n\]

jollakin \(\bx \in \R^n\). Sen täytyy siis olla matriisin \(A\) sarakkeiden lineaarikombinaatio. Matriisin \(A\) sarakeavaruus koostuukin kaikista sarakkeiden \(\ba_1, \ba_2, \ldots, \ba_n\) lineaarikombinaatioista.