\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Mitä matriisit ovat?¶

Pohdi 3.1.1

Ruska ja Tuisku ovat lähdössä ruokaostoksille ja vertailevat hintoja kahdessa lähikaupassaan. Alla olevassa taulukossa on heidän kauppalistansa sekä ruokatavaroiden hinnat eri kaupoissa:

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccc} & \text{maitoja} & \text{sämpylöitä} & \text{jogurtteja} \\\hline \text{Ruska} & 6 & 4 & 4 \\ \text{Tuisku} & 6 & 2 & 3 \end{array} \qquad \begin{array}{c|cc} & \text{Y-kauppa} & \text{T-valinta} \\\hline \text{maito} & 1{,}40 \text{ e} & 1{,}30 \text{ e} \\ \text{sämpylä} & 1{,}10 \text{ e} & 1{,}15 \text{ e} \\ \text{jogurtti} & 0{,}50 \text{ e} & 0{,}60 \text{ e} \end{array}\end{split}\]

Kuinka monta jogurttia Tuisku aikoo ostaa?
Mitä kaikkea Ruska on ostamassa ja kuinka paljon?
Mitkä ovat tuotteiden hinnat T-valinnassa?

Kuten Ruskan ja Tuiskun tapauksesta nähdään toisinaan asiat on kätevä kirjoittaa muistiin taulukkoon. Matematiikassa lukutaulukkoja kutsutaan matriiseiksi. Esimerkiksi Ruskan ja Tuiskun kauppalistan voi kirjoittaa matriisina

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{ccc} 6& 4& 4 \\ 6 & 2 & 3 \end{augmatrix}\end{split}\]

ja ruokatavaroiden hinnat matriisiksi

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{cc} 1{,}40& 1{,}30 \\ 1{,}10 & 1{,}15 \\ 0{,}50 & 0{,}60 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Esimerkiksi Tuiskun ostama jogurttimäärä näkyy matriisissa \(A\) rivillä 2 ja sarakkeessa 3. Ruskan ostoslista näkyy matriisin \(A\) ensimmäisellä rivillä. T-valinnan hinnat puolestaan näkyvät matriisin \(B\) toisessa sarakkeessa.

Reaalialkioinen \(m\times n\) -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on \(m\) riviä ja \(n\) saraketta. Esimerkiksi

\[\begin{split}A=\begin{augmatrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{augmatrix}\end{split}\]

on \(m\times n\) -matriisi. Voidaan myös sanoa, että matriisin \(A\) koko on \(m\times n\). Kaikkien reaalikertoimisten \(m \times n\) -matriisien joukkoa merkitään \(\R^{m \times n}\). Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi. Rivillä \(i\) sarakkeessa \(j\) olevalle alkiolle käytetään tässä tekstissä merkintää \(A(i,j)\).

Esimerkki 3.1.2

Esimerkiksi

\[\begin{split}B=\begin{augmatrix}{rcr} 1 & 0 & 5 \\ -3 & 11 & 2 \\ 4 & 0 & 2 \\ 0 & \sqrt{2} & -6 \\ \end{augmatrix}\end{split}\]

on reaalialkioinen \(4 \times 3\) -matriisi eli \(B \in \R^{4 \times 3}\). Siinä \(B(1,3)=5\) ja \(B(2,2)=11\).

Vektorit ovat matriiseja, joissa on yksi sarake. Toisinaan on hyödyllistä ajatella matrisiisi vierekkäin asetettuksi pystyvektoreiksi. Tällöin voidaan kirjoittaa

\[A=\begin{augmatrix}{cccc} \ba_1 & \ba_2 & \cdots & \ba_n \end{augmatrix},\]

missä \(\ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n \in \R^m\). Nyt vektorit \(\ba_1, \ba_2, \dots, \ba_n\) kuvaavat matriisin sarakkeita.

Matriisien alkioille on matematiikassa käytössä monenlaisia merkintöjä. Esimerkiksi matriisin alkiolle voidaan käyttää merkinnän \(A(i,j)\) sijasta merkintää \([A]_{ij}\). Matriisille \(A \in \R^{m\times n}\) puolestaan voidaan käyttää merkintää \(A=[a_{ij}]_{m\times n}\) tai \(A=[a_{ij}]\), joissa on ilmaistu, että matriisin alkiot ovat muotoa \(a_{ij}\).