$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Matriisin transpoosi¶

Määritelmä 3.5.1

Oletetaan, että $$A$$ on $$m \times n$$ -matriisi. Sen transpoosi $$\tp{A}$$ on $$n \times m$$ -matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin $$A$$ rivit ja sarakkeet keskenään.

Esimerkiksi matriisin

$\begin{split}A = \begin{augmatrix}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}$

transpoosi on

$\begin{split}\tp{A} = \begin{augmatrix}{cc} 1 & 5 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{augmatrix}.\end{split}$

Pistetuloa voidaan ajatella matriisin ja vektorin tulona. Näin saadaan pistetulolle toisenlainen kirjoitustapa. Jotta vektorit voi kertoa keskenään, täytyy ensimmäisestä vektorista ottaa transpoosi. Oletetaan, että $$\bx, \by \in \R^n$$. Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla

\begin{split}\begin{aligned} \tp{\bx}\by &= \begin{augmatrix}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n \end{augmatrix}\\ &=\begin{augmatrix}{c} x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} \bx\cdot\by \end{augmatrix}. \end{aligned}\end{split}

Kun samastetaan $$1\times 1$$-matriisit ja reaaliluvut, saadaan $$\tp{\bx}\by=\bx \cdot \by$$.

Symmetrinen matriisi on symmetrinen lävistäjänsä suhteen. Tämä voidaan ilmaista transpoosin avulla.

Määritelmä 3.5.2

Neliömatriisin $$A$$ sanotaan olevan symmetrinen, jos $$\tp{A} = A$$. Neliömatriisin $$A$$ sanotaan olevan antisymmetrinen, jos $$\tp{A} = -A$$.

Esimerkki 3.5.3

Merkitään

$\begin{split}B = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad C = \begin{augmatrix}{rcr} 0&4&-5 \\ -4&0&-6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix}.\end{split}$

Tällöin

$\begin{split}\tp{B} = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} = B \quad \text{ja} \quad \tp{C} = \begin{augmatrix}{rrc} 0&-4&5 \\ 4&0&6 \\ -5&-6&0 \end{augmatrix} = -C.\end{split}$

Siis $$B$$ on symmetrinen ja $$C$$ on antisymmetrinen.

Transpoosioperaation käyttäytymistä matriisien laskutoimitusten kanssa valottaa seuraava lause.

Lause 3.5.4

Seuraavat säännöt pätevät matriiseille $$A$$ ja $$B$$ sekä reaaliluvulle $$t$$, jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa kokoa):

1. $$\tp{(\tp{A})}=A$$
2. $$\tp{(A+B)}=\tp{A}+\tp{B}$$
3. $$\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}$$
4. $$\tp{(tA)} = t(\tp{A})$$.

Erityisesti kannattaa huomata tulon tekijöiden järjestyksen vaihtuminen kohdassa 3.

Piilota/näytä todistus

Osoitetaan todeksi kohta 3 ja jätetään loput kohdat lukijalle. Olkoot $$A \in \R^{m \times n}$$ ja $$B \in \R^{n \times p}$$. Nyt sekä $$\tp{(AB)}$$ että $$\tp{B}\tp{A}$$ ovat molemmat $$p \times m$$ -matriiseja. On osoitettava, että kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot $$i\in\{1,2,\dots,p\}$$ ja $$j\in\{1,2,\dots,m\}$$. Nähdään, että

\begin{split}\begin{aligned} \tp{(AB)}(i,j) & =\bigl(AB\bigr)(j,i)=\sum_{k=1}^n A(j,k)\cdot B(k,i) =\sum_{k=1}^n\tp{A}(k,j)\cdot\tp{B}(i,k) \\ & =\sum_{k=1}^n\tp{B}(i,k)\cdot\tp{A}(k,j)=(\tp{B}\tp{A})(i,j). \end{aligned}\end{split}

Siten $$\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}$$.

Valitse paikkansa pitävät väitteet.
Palautusta lähetetään...