\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Matriisin transpoosi¶

Määritelmä 3.5.1

Oletetaan, että \(A\) on \(m \times n\) -matriisi. Sen transpoosi \(\tp{A}\) on \(n \times m\) -matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin \(A\) rivit ja sarakkeet keskenään.

Esimerkiksi matriisin

\[\begin{split}A = \begin{augmatrix}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \\ \end{augmatrix}\end{split}\]

transpoosi on

\[\begin{split}\tp{A} = \begin{augmatrix}{cc} 1 & 5 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{augmatrix}.\end{split}\]

Pistetuloa voidaan ajatella matriisin ja vektorin tulona. Näin saadaan pistetulolle toisenlainen kirjoitustapa. Jotta vektorit voi kertoa keskenään, täytyy ensimmäisestä vektorista ottaa transpoosi. Oletetaan, että \(\bx, \by \in \R^n\). Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \tp{\bx}\by &= \begin{augmatrix}{cccc} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n \end{augmatrix}\\ &=\begin{augmatrix}{c} x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \end{augmatrix} =\begin{augmatrix}{c} \bx\cdot\by \end{augmatrix}. \end{aligned}\end{split}\]

Kun samastetaan \(1\times 1\)-matriisit ja reaaliluvut, saadaan \(\tp{\bx}\by=\bx \cdot \by\).

Symmetrinen matriisi on symmetrinen lävistäjänsä suhteen. Tämä voidaan ilmaista transpoosin avulla.

Määritelmä 3.5.2

Neliömatriisin \(A\) sanotaan olevan symmetrinen, jos \(\tp{A} = A\). Neliömatriisin \(A\) sanotaan olevan antisymmetrinen, jos \(\tp{A} = -A\).

Esimerkki 3.5.3

Merkitään

\[\begin{split}B = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad C = \begin{augmatrix}{rcr} 0&4&-5 \\ -4&0&-6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix}.\end{split}\]

Tällöin

\[\begin{split}\tp{B} = \begin{augmatrix}{ccc} 1&4&5 \\ 4&2&6 \\ 5&6&0 \end{augmatrix} = B \quad \text{ja} \quad \tp{C} = \begin{augmatrix}{rrc} 0&-4&5 \\ 4&0&6 \\ -5&-6&0 \end{augmatrix} = -C.\end{split}\]

Siis \(B\) on symmetrinen ja \(C\) on antisymmetrinen.

Transpoosioperaation käyttäytymistä matriisien laskutoimitusten kanssa valottaa seuraava lause.

Lause 3.5.4

Seuraavat säännöt pätevät matriiseille \(A\) ja \(B\) sekä reaaliluvulle \(t\), jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa kokoa):

\(\tp{(\tp{A})}=A\)
\(\tp{(A+B)}=\tp{A}+\tp{B}\)
\(\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}\)
\(\tp{(tA)} = t(\tp{A})\).

Erityisesti kannattaa huomata tulon tekijöiden järjestyksen vaihtuminen kohdassa 3.

Piilota/näytä todistus

Osoitetaan todeksi kohta 3 ja jätetään loput kohdat lukijalle. Olkoot \(A \in \R^{m \times n}\) ja \(B \in \R^{n \times p}\). Nyt sekä \(\tp{(AB)}\) että \(\tp{B}\tp{A}\) ovat molemmat \(p \times m\) -matriiseja. On osoitettava, että kyseisten matriisien alkiot ovat samoja. Olkoot \(i\in\{1,2,\dots,p\}\) ja \(j\in\{1,2,\dots,m\}\). Nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \tp{(AB)}(i,j) & =\bigl(AB\bigr)(j,i)=\sum_{k=1}^n A(j,k)\cdot B(k,i) =\sum_{k=1}^n\tp{A}(k,j)\cdot\tp{B}(i,k) \\ & =\sum_{k=1}^n\tp{B}(i,k)\cdot\tp{A}(k,j)=(\tp{B}\tp{A})(i,j). \end{aligned}\end{split}\]

Siten \(\tp{(AB)}=\tp{B}\tp{A}\).