$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Polynomin sovittaminen pisteistöön¶

Palataan tarkastelemaan luvun alun esimerkkiä, jossa sovitettiin mittaustuloksiin suora ja paraabeli. Tutkitaan pienimmän neliösumman menetelmän avulla, kuinka tämä tehdään. Mittaustuloksina saatiin pisteet $$(-1,2)$$, $$(1,2)$$, $$(3,4)$$ ja $$(5,6)$$. Sovitetaan tähän pisteistöön ensin suora ja sitten paraabeli.

Olkoon etsityn suoran yhtälö $$y=ax+b$$. Koska suoran pitäisi kulkea annettujen pisteiden kautta, halutaan seuraavien yhtälöiden pätevän:

$\begin{split}\begin{cases} y(-1)=-a+b=2\\ y(1)=a+b=2\\ y(3)=3a+b=4 \\ y(5)=5a+b=6, \end{cases}\end{split}$

$\begin{split}\begin{cases} -a+b=2\\ a+b=2\\ 3a+b=4 \\ 5a+b=6. \end{cases}\end{split}$

Ratkaistavana on siis yhtälö

$\begin{split}\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$

Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, mutta sille voidaan etsiä pienimmän neliösummnan ratkaisu.

Merkitään

$\begin{split}V=\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} \quad \text{ja} \quad \by=\begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$

Pienimmän neliösumman ratkaisu on yhtälön $$\tp{V}V\bx = \tp{V}\by$$ ratkaisu. Nähdään, että

$\begin{split}\tp{V}V = \tp{\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix}} \begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{cc} 36 & 8 \\ 8 & 4 \end{augmatrix}\qquad\text{ja}\qquad \tp{V}\by = \tp{\begin{augmatrix}{rc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 5 & 1 \end{augmatrix}} \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 42 \\ 14 \end{augmatrix}.\end{split}$

Ratkaistava yhtälö on siis

$\begin{split}\begin{augmatrix}{cc} 36 & 8 \\ 8 & 4 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 42 \\ 14 \end{augmatrix}.\end{split}$

Tämän yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan esimerkiksi Gaussin–Jordanin eliminointimenetelmällä $$a = 0{,}7$$ ja $$b = 2{,}1$$. Tämä on pienimmän neliösumman ratkaisu.

Sijoitetaan pienimmän neliösumman ratkaisu suoran yhtälöön $$y = ax + b$$. Näin saadaan suora $$y = 0{,}7x + 2{,}1$$. Se on esitetty kuvassa 1.

Kuva 1. Pienimmän neliösumman menetelmällä voi sovittaa pisteistöön polynomeja. Kuvan pisteistöön on sovitettu suora sekä toisen asteen polynomi.

Sovitetaan sitten mittauspisteistöön paraabeli $$y=ax^2+bx+c$$. Tällä kertaa mittauspisteiden avulla saadaan yhtälöryhmä

$\begin{split}\begin{cases} a-b+c=2\\ a+b+c=2\\ 9a+3b+c=4 \\ 25a+5b+c=6, \end{cases}\end{split}$

eli

$\begin{split}\begin{augmatrix}{crc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 25 & 5 & 1 \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} a \\ b \\ c \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \\ 6 \end{augmatrix}.\end{split}$

Tälläkään yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja, mutta sille saadaan pienimmän neliösumman ratkaisu $$a = 0{,}125$$, $$b = 0{,}200$$ ja $$c = 1{,}975$$. Tämän antama sovite on $$y = 0{,}125x^2 + 0{,}200x + 1{,}975$$.

Yleisesti jos sovitetaan pisteistöön $$(x_1,y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_m,y_m)$$ polynomifunktiota

$f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n,$

$\begin{split}\begin{augmatrix}{ccccc} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} & x_1^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_m & \cdots & x_m^{n-1} & x_m^n \end{augmatrix} \begin{augmatrix}{c} c_0 \\ c_1 \\ \vdots \\ c_{n-1} \\ c_n \end{augmatrix} = \begin{augmatrix}{c} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{augmatrix}.\end{split}$