\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Polynomi- ja rationaalifunktiot
Huomaa, että nollannen asteen polynomifunktio on \(f(x) = a_0 \not= 0\). Polynomin \(f\) astetta merkitään usein \(\deg f\).
Esimerkki 3.3.2
Funktio \(f(x)=-5x^3+3x-7\) on \(3\). asteen polynomifunktio, jonka kertoimet ovat \(a_3=-5\), \(a_2=0\), \(a_1=3\) ja \(a_0=-7\).
Huomautus 3.3.3 (Lisätietoa)
Nollafunktio on vakiofunktion erikoistapaus, ja sen asteen määrittely on sopimuskysymys. Kirjallisuudessa ei ole yhtä vakiintunutta tapaa määritellä nollafunktion astetta, mutta \(-\infty\) on perusteltavissa esimerkiksi rationaalifunktioiden avulla.
Reaaliluku \(x\) on funktion \(f\) nollakohta (zero), jos \(f(x)=0\). Polynomiyhtälön \(f(x)=0\) ratkaisua kutsutaan myös juureksi (root). Voidaan osoittaa, että asteen \(n\) reaalikertoimisella polynomifunktiolla on korkeintaan \(n\) reaalista nollakohtaa. Kompleksilukujen käsittelyn yhteydessä polynomien määritelmää laajennetaan kattamaan kompleksiset kertoimet ja syötteet. Tällöin nollakohtia on aina täsmälleen \(n\) kappaletta.
Reaalisten polynomifunktioiden nollakohtien lukumäärää havainnollistetaan seuraavissa kuvissa. Kolmannen asteen polynomifunktiolla voi olla \(1\), \(2\) tai \(3\) nollakohtaa, kun taas neljännen asteen polynomfunktiolla voi olla \(0-4\) nollakohtaa. Parittoman asteen polynomifunktioilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta.
Nollakohta vastaa polynomin ensimmäisen asteen tekijää seuraavan lauseen mukaisesti. Tavoitteena on, että opiskelija pystyy nollakohdan löydettyään kirjoittamaan polynomin lauseen mukaiseen muotoon. Nollakohtien etsimisen taas oleteaan onnistuvan lähinnä yksinkertaisissa tilanteissa, joissa nollakohta on joko helppo päätellä suoraan polynomista tai käyttäen toisen asteen polynomin ratkaisukaavaa 1.6. Tämän tutun kaavan käsittely hoidetaan myöhemmin, koska kompleksiluvut liittyvät siihen oleellisesti.
Lause 3.3.4
Jos polynomin \(f\) aste on \(n \geq 1\) ja luku \(z\) sen nollakohta, niin polynomi \(x - z\) jakaa polynomin \(f\). Toisin sanoen
\[f(x) = (x - z)q(x),\]
missä \(q\) on polynomi, jonka aste on \(\deg q = n-1\).
Piilota/näytä todistus
Merkitään \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\). Nyt, koska \(z\) on polynomin \(f\) nollakohta,
\[\begin{aligned}
f(x) &= f(x) - 0 = f(x) - f(z) =a_n(x^n-z^n)+a_{n-1}(x^{n-1}-z^{n-1})+\cdots+(a_0-a_0).
\end{aligned}\]
Lausekkeessa jokaista \(k = 1, 2, \ldots, n\) kohti voidaan kirjoittaa lemman 1.6.6 mukaisesti
\[\begin{aligned}
x^k-z^k&=(x-z)(x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1})=(x-z)q_{k}(x),
\end{aligned}\]
missä kunkin polynomin \(q_k(x) = x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1}\) aste on \(k - 1\). Niinpä polynomin \(f\) esitys voidaan kirjoittaa muodossa
\[f(x)=(x-z)(q_n(x)+q_{n-1}(x)+\cdots+q_2(x)+q_1(x))=(x - z)q(x),\]
missä polynomin \(q = q_n + \cdots + q_1\) aste on \(n-1\).
Edellä mainittu polynomi \(q\) on jakolaskun \(f(x)/(x-z)\) tulos, ja se voidaan etsiä käytännössä jakokulma-algoritmin (long division) avulla. Jos \(z\) on polynomin \(f\) nollakohta, jako menee tasan. Yleisemmin jako ei mene tasan, jolloin voidaan kirjoittaa
\[f(x) = (x - z)q(x) + r(x),\]
missä polynomi \(r(x)\) on jakojäännös (vertaa kokonaislukujen jakoyhtälöön).
Esimerkki 3.3.5
Tarkastellaan polynomia \(p(x)=x^3+3x^2-11x+2\). Sen arvo pisteessä \(2\) on
\[p(2) = 8 + 3 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 2 = 0,\]
joten \(2\) on polynomin \(p\) nollakohta ja \(x-2\) on sen tekijä. Lasketaan osamäärä vaiheittain jakokulmassa.
Koska jakaja \(x - 2\) koostuu kahdesta termistä, jakokulmassa käsitellään kahta termiä kerrallaan. Korkeimman asteen termiksi tulee \(x^2\), sillä tulon \(x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin \(p\) seuraava termi mukaan käsittelyyn.
Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee \(5x\), sillä tulon \(5x(x - 2) = 5x^2 - 10x\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin \(p\) seuraava termi mukaan käsittelyyn.
Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee \(-1\), sillä tulon \(-1 \cdot (x - 2) = -x + 2\) korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on \(0\), eli jako menee tasan ja \(p=(x-2)(x^2+5x-1)\).
Esimerkki 3.3.6
Tutkitaan polynomin \(3x^3 - 2x^2 + 5\) jaollisuutta polynomilla \(x^2 - 1\) jakokulman avulla. Koska jaettavasta ja jakajasta puuttuu ensimmäisen asteen termi, lisätään niille tyhjää tilaa. Laskenta etenee samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.
Viimeisen vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on \(3x + 3\), eli jako ei mene tasan. Tällöin
\[p = (x^2 - 1)(3x - 2) + 3x + 3,\]
kuten laskemalla voi tarkistaa.
Polynomifunktioiden osamäärät muodostavat oman alkeisfunktioiden luokan, jonka alkioita kutsutaan rationaalifunktioiksi.
Esimerkki 3.3.8
Piirretään rationaalifunktion \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-2}\)
kuvaaja.
Kiinnitä huomiota nimittäjän nollakohtien \(x=-2\) ja \(x=1\) ympäristöihin. Kuvaajaan on piirretty kummassakin kohdassa katkoviivalla pystysuora asymptootti, eli suora, jota kuvaaja lähestyy (muttei koskaan saavuta). Lisäksi huomionarvoista on sekin, että funktion nollakohdat sijaitsevat osoittajan nollakohdissa \(x=-1\) ja \(x=2\).
