\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Määritelmä ja perusominaisuudet

Olkoon \(s(t)\) kuljettu matka ajan \(t\) funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä \((t, t+\Delta t)\) on

\[\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.\]

Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta \(\Delta t\) saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun \(\Delta t \to 0\) päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta

\[v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.\]

Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion \(f\) derivaatan käsite, joka voidaan ymmärtää funktion arvon hetkellisenä muutosnopeutena.

Määritelmä 5.2.1

Funktion \(f : I\to\R\) derivaatta (derivative) määrittelyvälin \(I\) pisteessä \(a\) on

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan, että \(f\) on derivoituva (differentiable) pisteessä \(a\). Funktion \(f\) oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä \(a\) on

\[f'(a+)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

ja vasemmanpuoleinen derivaatta

\[f'(a-)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa.

Funktio \(f\) on derivoituva (differentiable) välillä \(I\), mikäli se on derivoituva koko välillä \(I\). Lisäksi vaaditaan, että välille mahdollisesti kuuluvassa päätepisteessä on olemassa toispuoleinen derivaatta: oikeanpuoleisessa päätepisteessä vasemmanpuoleinen derivaatta ja vasemmanpuoleisessa päätepisteessä oikeanpuoleinen. Tällöin derivaatat joukon \(I\) pisteissä \(x\) määrittelevät funktion \(f'(x)\), jota kutsutaan funktion \(f\) derivaataksi.

Kysymys 1

Merkintä \(f(a+h)\) tarkoittaa sitä, että funktion \(f\)

muuttujan paikalle sijoitetaan \(a+h\),

lauseke kerrotaan lausekkeella \(a+h\),

kotitontulle jätetään lahjaksi \(a+h\), jotta se antaisi hyvää derivointionnea.

Kysymys 2

Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion \(f(x)=3x+1\) derivaatta pisteessä \(2\)?

\(f'(2)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(3x+1)\cdot(2+h) - (3x+1)\cdot 2}{h}\)

\(f'(2)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{3\cdot 2+1+h - 3\cdot 2 +1}{h}\)

\(f'(2)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{3\cdot(2+h)+1 - (3\cdot 2+1)}{h}\)

\(f'(2)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{3\cdot(2+1)+h - 3\cdot(2+1)}{h}\)

Tarkastellaan funktiota

\[\begin{split}g(x)= \begin{cases} x^2-2x, & \text{jos } x \ge 1 \\ 3x+2, & \text{jos } x<1 \end{cases}\end{split}\]

Kiinnitä seuraavissa kysymyksissä erityisesti huomiota siihen, millä puolella ykköstä ollaan minkäkin termin kohdalla.

Kysymys 3

Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion \(g\) oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä \(1\)?

\(g'(1+)=\lim\limits_{h\to 0+} \dfrac{(1+h)^2-2(1+h)-(1^2-2\cdot 1)}{h}\)

\(g'(1+)=\lim\limits_{h\to 0+} \dfrac{(1+h)^2-2(1+h)-(3\cdot 1-2)}{h}\)

\(g'(1+)=\lim\limits_{h\to 0+} \dfrac{3(1+h)+2-(1^2-2\cdot 1)}{h}\)

\(g'(1+)=\lim\limits_{h\to 0+} \dfrac{3(1+h)+2-(3\cdot 1-2)}{h}\)

Kysymys 4

Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion \(g\) vasemmanpuoleinen derivaatta pisteessä \(1\)?

\(g'(1-)=\lim\limits_{h\to 0-} \dfrac{(1+h)^2-2(1+h)-(1^2-2\cdot 1)}{h}\)

\(g'(1-)=\lim\limits_{h\to 0-} \dfrac{(1+h)^2-2(1+h)-(3\cdot 1-2)}{h}\)

\(g'(1-)=\lim\limits_{h\to 0-} \dfrac{3(1+h)+2-(1^2-2\cdot 1)}{h}\)

\(g'(1-)=\lim\limits_{h\to 0-} \dfrac{3(1+h)+2-(3\cdot 1-2)}{h}\)

Huomaa että derivaatan määritelmä tässä muodossa sisältää oletuksen, että funktio \(f\) on määritelty pisteen \(a\) jossakin ympäristössä. Oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen luonnehdinnasta havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä \(a\) jos ja vain jos sillä on pisteessä \(a\) sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin \(f'(a)=f'(a-)=f'(a+)\).

Merkintöjä ja nimityksiä

Funktion \(f\) derivaattaa merkitään myös

\[f'(x)=D_xf(x)=Df(x)=\frac{\d}{\d x}f(x)=\frac{\d f}{\d x}.\]

Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla \(x=a+h\) funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(a\) voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona

\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Koska pisteiden \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on

\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\]

erotusosamäärää ja sen raja-arvoa voidaan havainnollistaa seuraavalla kuvalla.

Geometrisesti erotusosamäärä on \(xy\)-koordinaatiston pisteiden \((a,f(a))\) ja \((x,f(x))\) kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Sekantti on piiretty kuvaan katkoviivalla. Kun pisteiden \((a,f(a))\) ja \((x,f(x))\) vaakasuuntaista etäisyyttä \(h = x - a\) pienennetään, sekantti lähestyy funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \((a, f(a))\) piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä \(a\) syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen \((a, f(a))\) piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktion \(f\) derivoituvuus pisteessä \(a\) tarkoittaa näin ollen geometrisesti sitä, että kuvaajalla \(y=f(x)\) on pisteessä \((a,f(a))\) yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella \(f'(a)\). Pisteen \((x_1, y_1)\) kautta kulmakertoimella \(k\) kulkevan suoran yhtälö on

\[y = k(x - x_1) + y_1,\]

joten funktion \(f\) kuvaajalle kohtaan \(a\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

(1)\[y=f'(a)(x-a) + f(a).\]

Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä \(a\) terävää kärkeä.

Kysymys 1

Käyrän sekantti on sen

yhtä pistettä sivuava suora, joka ei leikkaa käyrää muissa pisteissä,

yhtä pistettä sivuava suora, joka saa leikata käyrää muissakin pisteissä,

korkeintaan kahden pisteen kautta kulkeva suora,

vähintään kahden pisteen kautta kulkeva suora.

Kysymys 2

Käyrän tangentti on sen

yhtä pistettä sivuava käyrä, joka ei leikkaa käyrää muissa pisteissä,

yhtä pistettä sivuava suora, joka saa leikata käyrää muissakin pisteissä,

korkeintaan kahden pisteen kautta kulkeva suora,

vähintään kahden pisteen kautta kulkeva suora.

Kysymys 3

Mitä tiedät kohdasta, jossa suora \(y=kx+b\) ohittaa \(y\)-akselin? Tässä kohdassa on voimassa

\(x=b\),

\(x=k\),

\(y=b\),

\(y=k\).

Kysymys 4

Mitä tiedät kohdasta, jossa tangentti \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\) ohittaa \(y\)-akselin? Tässä kohdassa on voimassa

\(x=f(a)\),

\(y=f(a)\),

\(x=f'(a)\),

\(y=f'(a)\),

\(x=f(a)-af'(a)\),

\(y=f(a)-af'(a)\),

\(x=f'(a)-af(a)\),

\(y=f'(a)-af(a)\).

Esimerkki 5.2.2

Lasketaan funktion \(f(x)=3x^2-7x+5\) derivaatta pisteessä \(3\) määritelmän avulla.

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{(3(3+h)^2-7(3+h)+5)-(3\cdot3^2-7\cdot3+5)}{h}\\ &=\frac{3h^2+11h}{h}=3h+11\to11, \end{aligned}\end{split}\]

kun \(h \to 0\), joten \(f'(3)=11\).

Derivaatan perusominaisuuksia

Käydään seuraavaksi läpi, mitä perusominaisuuksia derivaatalla on. Näitä ominaisuuksia hyödynnetään jatkossa runsaasti. Erityisesti derivaatan laskusäännöt sekä yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivaatan laskeminen ovat tämän osion tärkeimpiä tuloksia. Aloitetaan kuitenkin tuloksesta, joka yhdistää funktion derivoituvuuden ja jatkuvuuden.

Lause 5.2.3

Jos \(f\) on derivoituva pisteessä \(a\), niin \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Piilota/näytä todistus

On osoitettava, että \(f(x)\to f(a)\), kun \(x\to a\). Näin on, sillä

\[f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot0=0,\]

kun \(x \to a\). Huomaa, että \(x \not= a\), jolloin luvulla \(x - a\) laventaminen ei tuota ongelmia.

Yhtäpitävä muotoilu lauseelle on seuraava: jos funktio \(f\) ei ole jatkuva pisteessä \(a\), niin se ei ole myöskään derivoituva pisteessä \(a\). Huomaa, että tälle lauseelle käänteinen väite ei kuitenkaan ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion \(f(x)=|x|\) käyttäytyminen pisteessä \(x=0\).

Lause 5.2.4

Olkoot \(f\) ja \(g\) pisteessä \(x\) derivoituvia funktioita ja olkoon \(c\) reaaliluku. Tällöin

1. \(D(cf(x))=cf'(x)\),
2. \(D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)\),
3. \(D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) ja
4. \(D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), jos \(g(x)\ne0\).

Piilota/näytä todistus

Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion \(cf\) erotusosamäärää, jolle

\[\frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = c\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \to cf'(x),\]

kun \(h \to 0\), sillä \(f\) on derivoituva pisteessä \(x\). Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.

Kohdan 3 funktion \(f(x)g(x)\) erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi \(f(x)g(x + h)\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &\qquad=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &\qquad=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &\qquad\to f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \end{aligned}\end{split}\]

kun \(h \to 0\). Tässä \(\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)\), sillä \(g\) on derivoituvana funktiona myös jatkuva pisteessä \(x\).

Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion \(1/g(x)\) erotusosamäärää. Lavennetaan termillä \(g(x+h)g(x)\), missä \(g(x) \not= 0\), jolloin

\[\begin{aligned} \frac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h} =\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\,\frac{1}{g(x+h)g(x)} \to-g'(x)\frac{1}{g(x)^2}, \end{aligned}\]

kun \(h\to0\). On siis osoitettu, että

\[D\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2},\]

kun \(g(x) \not= 0\). Nyt kohdasta 3 seuraa

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &=D\left(f(x)\dfrac{1}{g(x)}\right) =f'(x)\dfrac{1}{g(x)}+f(x)\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{aligned}\end{split}\]

Lause 5.2.5

Vakiofunktion \(f(x)=c\) derivaatta on \(f'(x) = 0\).

Piilota/näytä todistus

Määritelmän mukaan

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.\qedhere\]

Edellinen lause perustelee derivointisäännön, jonka mukaan vakion derivaatta on \(0\). Muutosnopeuden kautta ajatellen tulos on järkevä: vakio ei muutu, joten sen muutosnopeus on \(0\). Myös muita yksinkertaisia derivaattoja voidaan laskea derivaatan määritelmän avulla, kuten seuraavassa esimerkissä on tehty.

Esimerkki 5.2.6

Laske \(D\left(x^{-1}\right)\), \(D\left(x\right)\) ja \(D\left(x^2\right)\) määritelmän avulla.

Piilota/näytä ratkaisu

Sovelletaan derivaatan määritelmää.

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(x^{-1}\right) &=D\left(\frac1x\right) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x} =-\frac{1}{x^2} =-x^{-2}\\ D\left(x\right)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1\\ D(x^2)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x \end{aligned}\end{split}\]

Laske määritelmän mukaisesti \(D(x^3)\). Kirjoita välivaiheita laatikoihin seuraavien järjestyksessä annettujen ohjeiden mukaan.

1. Mikä on funktioon \(x^3\) liittyvä erotusosamäärän lauseke? Tee tässä vaiheessa vain sopivat sijoitukset. Kirjoita vain erotusosamäärä, älä ota siitä raja-arvoa.
2. Sievennä edellisessä kohdassa antamasi erotusosamäärän lauseke niin pitkälle kuin mahdollista. Kirjoita välivaiheita eroteltuna yhtäsuuruusmerkillä =.
3. Oleta, että \(h \to 0\) ja kirjoita näin saatava derivaatan lauseke.

Huomaa, että muutamassa kohdassa koko osoittaja tarvitsee kirjoittaa sulkuihin, koska se koostuu useammasta kuin yhdestä yhteenlasketusta termistä. Muista myös käyttää aina kertomerkkejä, eli esimerkiksi kirjoita 2*x, kun tarkoitat lauseketta \(2x\).

Vastausten tarkastamiseen käytetään erillistä ohjelmistoa, jonka antamia palautteita ei valitettavasti voi helposti räätälöidä tämän tehtävän tarpeisiin. Vastausyritteesi pyyhkiyy pois tarkastuksen aikana, joten saattaisi olla hyvä avata jokin muistio-ohjelma ja leikata vastaus talteen ennen vastausnapin painamista. Olethan vähintään avannut yllä olevan esimerkin 5.2.6 ratkaisut esimerkkipalkin alla olevasta linkistä ja katsonut sieltä jonkinlaista mallia?

Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään vielä edellä esitettyjen derivaatan perusominaisuuksien lisäksi muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.

Lause 5.2.7

Jos \(n\in\Z\), ja \(x\ne0\), niin \(D(x^n) = nx^{n - 1}\).

Piilota/näytä todistus

Jos \(n = 0\), niin väite on \(D(1) = 0\), joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.

1. Alkuaskel. Jos \(n = 1\), niin väite on \(D(x) = 1\), mikä osoitettiin edellä.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan \(D(x^k) = kx^{k - 1}\), kun \(k\) on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että \(D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k\). Tulon derivointisäännön nojalla

   \[D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,\]

   eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla \(D(x^n) = nx^{n - 1}\) aina, kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku.

Negatiivisia kokonaislukuja \(n\) varten oletetaan, että \(x \not= 0\) ja merkitään \(m = -n\). Tällöin \(m\) on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla

\[D(x^n) = D\left(\frac{1}{x^m}\right) = \frac{D(1)x^m - D(x^m)}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n - 1}.\]

Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki 5.2.8

1. Funktion \(f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}\) derivaatta on

   \[f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.\]

2. Funktion \(f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}\) derivaatta on

   \[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 5.2.9

Mikä on käyrän \(y=x^3-4x^2+7\) pisteeseen \((3,-2)\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö?

Piilota/näytä ratkaisu

Kyseessä on funktion \(y=y(x)\) kuvaaja, joten tangenttisuoran kulmakertoimen antaa derivaatan arvo pisteessä \(3\). Nyt \(y(3) = -2\) ja \(y'(x)=3x^2-8x\), joten \(y'(3)=3\) ja tangenttisuoran yhtälö on

\[y=-2+3(x-3)=3x-11.\]

Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.

Lause 5.2.10 (Ketjusääntö)

Olkoon funktio \(g\) derivoituva pisteessä \(x\) ja funktio \(f\) derivoituva pisteessä \(g(x)\). Tällöin yhdistetty funktio \(f \circ g\) on derivoituva pisteessä \(x\) ja

\[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\]

Piilota/näytä todistus

Koska \(g\) on derivoituva pisteessä \(x\), erotusosamäärä

\[\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x) \Leftrightarrow \frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Merkitään tässä

\[\frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) = \varepsilon_g(h),\]

jolloin siis \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\). Ratkaisemalla nähdään, että

\[g(x + h) = g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h).\]

Vastaavasti, koska \(f\) on derivoituva pisteessä \(y = g(x)\), erotusosamäärä

\[\frac{f(y + k) - f(y)}{k} \to f'(y) \Leftrightarrow \frac{f(y + k) - f(y)}{k} - f'(y) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Voidaan määritellä rinnakkainen \(\varepsilon_f(k)\), joka toteuttaa ehdot

\[f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k)\]

ja \(\varepsilon_f(k) \to 0\), kun \(k \to 0\).

Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion \(f \circ g\) arvoa pisteessä \(x + h\).

\[(f \circ g)(x + h) = f(g(x + h)) = f\Big(g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\Big),\]

missä \(g(x) = y\) ja \(0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k\) on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että

\[f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k) = f(g(x)) + f'(g(x))k + k\varepsilon_f(k).\]

Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan \(k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} - f'(g(x))g'(x) \\ &= f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) = \varepsilon_{f \circ g}(h). \end{aligned}\end{split}\]

Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että

\[\varepsilon_{f \circ g}(h) = f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\), ja luvut \(f'(g(x))\) ja \(g'(x)\) ovat vakioita. Täten

\[(f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = f'(g(x))g'(x).\qedhere\]

Merkintöjä \(u=f(g(x))\) ja \(y=g(x)\) käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon

\[D_x(u) = D_y(u)D_x(y)\qquad\text{tai}\qquad\frac{\d u}{\d x}=\frac{\d u}{\d y}\,\frac{\d y}{\d x}.\]

Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin \(u = f(g(h(x)))\), \(v = g(h(x))\), \(y = h(x)\) ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa

\[(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\qquad\text{tai}\qquad \frac{\d u}{\d x} = \frac{\d u}{\d v}\,\frac{\d v}{\d y}\,\frac{\d y}{\d x}.\]

Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.

Esimerkki 5.2.11

Derivoi \(h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Tulkitaan \(h\) funktioksi \(h(x)=f(g(x))\), missä \(f(y)=y^{11}\) ja \(g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}\). Koska \(f'(y)=11y^{10}\), niin

\[h'(x)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}D\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}\Big(2x-\dfrac{1}{x^2}\Big).\qedhere\]

Tarkastellaan ketjusääntöä \((f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)\). Oletetaan, että sinulla on jossain harjoitustehtävässä käsillä yhdistetty funktio \(h(x)=(f \circ g)(x)\), jossa funktioiden \(f\) ja \(g\) lausekkeita ei ole eroteltu, vaan olet tunnistanut sen yhdistetyksi jotenkin muuten. Nyt funktio pitää derivoida. Laita seuraavat vaiheet oikeaan järjestykseen. Kirjoita laatikkoon viisinumeroinen luku, jossa alla numeroidut vaiheet ovat oikeassa järjestyksessä vasemmalta oikealle. Jos esimerkiksi uskot, että vaiheet ovat jo oikeassa järjestyksessä, vastaa 12345.

1. Derivoin funktion \(g(x)\) muuttujan \(x\) suhteen ja funktion \(f(t)\) muuttujan \(t\) suhteen.
2. Kerron funktion \(f'(g(x))\) lausekkeen funktion \(g'(x)\) lausekkeella.
3. Päätän, mitä funktion \(h(x)\) lausekkeen osaa merkitsen funktiona \(f\) ja mitä funktiona \(g\).
4. Sijoitan funktion \(f'(t)\) lausekkeeseen muuttujan \(t\) paikalle funktion \(g(x)\) lausekkeen.
5. Korvaan funktiossa \(h(x)\) funktion \(g(x)\) lausekkeen muuttujalla \(t\), jolloin saan funktion \(f(t)\).

Kysymys 1

Oikea järjestys on

Tarkastellaan ketjusäännön muotoa

\[\displaystyle \frac{\d u}{\d x}=\frac{\d u}{\d y}\frac{\d y}{\d x}.\]

Kysymys 1

Valitse seuraavista kaikki ne väitteet, jotka ovat tosia.

Funktio \(u\) derivoidaan muutujan \(y\) suhteen ja saatu derivaatta derivoidaan muuttujan \(x\) suhteen.

Funktion \(u\) muuttujana on \(y\).

Funktion \(y\) muuttujana on \(x\).

\(\d y\) osoittajassa tarkoittaa samaa asiaa kuin \(\d y\) nimittäjässä ja voidaan supistaa pois.

Kahta derivaattaa kerrotaan keskenään.

Kysymys 2

Valitse seuraavista kaikki ne funktiot, joiden derivoinnissa tarvitaan ketjusääntöä, koska niitä ei pystytä suoraan derivoimaan muilla derivointisäännöillä.

\(x^9\)

\(\sin(7x)\)

\(\ln(3x)\)

\(\frac{1}{\ln{x}}\)

\(\arctan{x}\)

Tarkastellaan seuraavaksi, miten välillä \(I\) derivoituvan funktion \(f\) käänteisfunktion derivaatta saadaan laskettua. Käänteisfunktio \(f^{-1}\) on ylipäätään olemassa täsmälleen silloin, kun funktio \(f\) on bijektio. Koska derivoituvana funktiona \(f\) on myös jatkuva, pitää sen olla aidosti monotoninen, tai muuten se ei ole bijektio.

Lause 5.2.12 (Käänteisfunktion derivaatta)

Olkoon \(f\) aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä \(I\). Tällöin käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\) on derivoituva niissä välin \(f(I)\) pisteissä \(y = f(x)\), joille \(f'(x)\ne0\), ja derivaatta pisteessä \(y = f(x)\) on

\[D_y(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(x)}.\]

Piilota/näytä todistus

Aikaisemmin todistetun nojalla käänteisfunktio \(f^{-1}\) on jatkuva ja \(f(I)\) on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä \(y_0=f(x_0)\). Merkitään \(y=f(x)\) ja vaaditaan, että \(y\ne y_0\), jolloin myös \(x\ne x_0\).

\[\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \to\frac{1}{f'(x_0)},\]

kun \(y \to y_0\), sillä \(f^{-1}\) on jatkuva ja siten \(x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0\), kun \(y\to y_0\).

Yllä oleva kuva perustelee vielä käänteisfunktion derivaattaa graafisesti. Käänteisfunktion peilikuvaominaisuudesta johtuen sen derivaatan arvo jossakin pisteessä \(y_0\) voidaan laskea alkuperäisen funktion \(f\) derivaatan avulla. Käänteisfunktion kuvaajan piste \((y_0, f^{-1}(y_0))\) on peilikuva suoran \(y=x\) suhteen funktion \(f\) kuvaajan pisteelle \((x_0, f(x_0))\), jos

\[y_0 = f(x_0), \qquad \text{eli} \qquad x_0 = f^{-1}(y_0).\]

Tästä syystä käänteisfunktion derivaatassa derivaatan arvo välin \(f(I)\) pisteessä \(y\) lasketaankin funktion \(f\) derivaatan avulla pisteessä \(x=f^{-1}(y)\). Kuva lisää myös intuitiota siihen, miksi lausekkeessa esiintyy derivaatan \(f'(x)\) käänteisluku.

Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon

\[\frac{\d x}{\d y}=\frac{1}{\,\dfrac{\d y}{\d x}\,}\]

missä \(\d x/\d y\) lasketaan pisteessä \(y=f(x)\) ja \(\d y/\d x\) pisteessä \(x\).

Havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä käänteisfunktion derivaatan kaavan käyttöä.

Esimerkki 5.2.13

Olkoon \(y=f(x)=\sqrt[3]{x}\). Laske \(f'(x)\).

Piilota/näytä ratkaisu

Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion \(f\) käänteisfunktio \(f^{-1}(y) = y^3\) on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja \(D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0\), kun \(y = f(x) \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten funktio \(f\) on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä \(0\), ja

\[f'(x) = \frac{1}{D_yf^{-1}(y)} = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.\qedhere\]

Käänteisfunktion derivointisäännön kaavassa

\[D_y(f^{-1}(y))=\dfrac{1}{f'(x)}\]

ei varsinaisesti näy eräs asia, joka kuitenkin sen käytössä on oleellista silloin, kun kaavan avulla halutaan selvittää derivaatan lauseke, eikä vain arvoa yksittäisessä pisteessä.

Kysymys 1

Seuraavista väitteistä vain yksi on tosi. Valitse se.

Kaavaa saa käyttää vain, jos käänteisfunktion muuttujana on \(y\).

Kaavaa saa käyttää vain, jos alkuperäisen funktion muuttujana on \(x\).

Funktion \(f^{-1}(y)\) derivaatta pitää derivointikaavan käytön jälkeen jättää muotoon, jossa muuttuja on \(x\).

Funktion \(f^{-1}(y)\) derivaatta pitää yhtälöstä \(y=f(x)\) saatavan sijoituksen avulla esittää muodossa, jonka muuttuja on \(y\).

Kysymys 2

Voiko käänteisfunktion derivointisääntöä käyttää käänteisfunktion derivaatan yksittäisten arvojen laskemiseen, jos ei tiedetä täsmälleen, mikä on alkuperäisen funktion lauseke?

Ei voi.

Voi, mutta vain jos tiedetään alkuperäisen funktion derivaatan lauseke.

Voi, jos tiedetään alkuperäisen funktion derivaatan yksittäinen arvo tai arvoja sopivassa pisteessä.

Kysymys 3

Tiedetään, että funktio \(f(x)\) on kääntyvä ja \(f(3)=5\) sekä \(f'(3)=\frac{1}{2}\). Onko näiden tietojen perusteella mahdollista laskea \(D_y(f^{-1}(5))\)?

Ei ole.

On, vastaus on \(\frac{1}{5}\).

On, vastaus on \(\frac{1}{3}\).

On, vastaus on \(\frac{1}{2}\).

On, vastaus on \(2\).

On, vastaus on \(3\).

On, vastaus on \(5\).

Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut. Todellisuudessa derivointikaava on voimassa myös silloin, kun eksponenttina on reaaliluku. Tämän todistamiseen tarvitaan kuitenkin tietoa eksponenttifunktion derivaatasta, joten se käsitellään vasta seuraavassa osiossa.

Lause 5.2.14

Jos \(r\in\Q\), \(x \not= 0\) ja potenssilausekkeen \(x^r\) määrittelyehdot ovat voimassa, niin

\[D(x^r)=rx^{r-1}.\]

Piilota/näytä todistus

Tutkitaan ensin funktiota \(y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}\), missä \(n\in\N\). Funktiolla \(f\) on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio \(x=f^{-1}(y)=y^n\), jolle \(D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0\), kun \(y \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten myös \(f\) on derivoituva ja

\[f'(x)=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}.\]

Siten lauseen väite on voimassa, kun \(r=\frac{1}{n}\).

Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan \(r=\frac{m}{n}\), missä \(n\in\N\). Nyt ketjusäännön mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} D(x^r)&=D\left(\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}D\left(x^{\frac{1}{n}}\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=rx^{r-1}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 5.2.15

1. \(\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. \(\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}\).

Huomautus 5.2.16

Käänteisfunktion derivaattaa tarvitaan erityisesti myös tilanteissa, joissa käänteisfunktion lauseke on hankala tai mahdoton muodostaa. Esimerkiksi funktio \(f(x) = x^3+x\) on bijektio, joten sillä on olemassa käänteisfunktio \(f^{-1}\), mutta tämän lauseke on tarpeettoman monimutkainen derivoitavaksi.

Sen sijaan \(f'(x) = 3x^2+1 \not= 0\) kaikilla \(x\in\R\). Näin ollen käänteisfunktion derivaatan arvo esimerkiksi pisteessä \(y=2\) on

\[D_y f^{-1}(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{3\cdot1^2+1} = \frac{1}{4},\]

sillä \(2 = 1^3 + 1 = f(1)\).

Toisaalta jos alkuperäisestä funktiosta \(f\) tiedetään vain joitakin arvoja eri mittapisteissä, voidaan käänteisfunktion derivaattaa silti arvioida olettaen, että käänteisfunktio on olemassa. Nimittäin

\[D_y f^{-1}(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \approx \frac{1}{\frac{f(x_0)-f(x_n)}{x_0-x_n}},\]

missä \(y_0=f(x_0)\) ja \(x_n\) on jokin mittapisteen \(x_0\) lähellä oleva mittapiste.

Palautusta lähetetään...