\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Itseisarvoepäyhtälöistä ja yhtälöryhmistä

Tässä osiossa perehdytään tarkemmin itseisarvoepäyhtälöihin ja yhtälöryhmiin sekä niiden ratkaisemiseen. Itseisarvoepäyhtälöitä ja yhtälöryhmiä esiintyy tällä kurssilla erityisesti kompleksilukujen yhteydessä, mutta niiden hallitseminen on tärkeää monessa muussakin sovelluskohteessa.

Itseisarvo ja sen ominaisuudet

Alkuun määritellään itseisarvo ja siihen liittyvät ominaisuudet.

Määritelmä 1.4.1

Reaaliluvun \(x\) itseisarvo (absolute value) määritellään seuraavasti

\[\begin{split}\abs{x} = \begin{cases} x & \text{jos } x \ge 0 \\ -x & \text{jos } x < 0. \end{cases}\end{split}\]

Huomautus 1.4.2

Kaikilla \(x \in \R\) pätee \(\abs{x} \ge 0\) ja \(\abs{x} = 0\) täsmälleen silloin kun \(x = 0\). Itseisarvo voitaisiin myös määritellä potenssin ja neliöjuuren avulla \(\abs{x} = \sqrt{x^{2} }\). Yleisesti ottaen itseisarvo voidaan ajatella reaaliluvun etäisyytenä nollasta. Tästä nähdään, että itse asiassa jos \(x,y \in \R\), niin silloin \(\abs{x-y}\) kuvaa lukujen etäisyyttä toisiinsa nähden. Nimittäin

\[\begin{split}\abs{x -y} = \begin{cases} x - y &\text{jos } x \ge y \\ y - x &\text{jos } y \ge x. \end{cases}\end{split}\]

Jos lisäksi \(d \in \R_{+}\), niin silloin

\[\abs{x - y} \le d \ \text{jos ja vain jos } \ y - d \le x \le y + d.\]

Toisin sanoen luvun \(x\) etäisyys luvusta \(y\) on pienempi tai yhtäsuuri kuin \(d\).

Lause 1.4.3

Olkoot \(x,y \in \R\). Itseisarvo toteuttaa seuraavat ominaisuudet.

1. \(\abs{-x} = \abs{x}\).
2. \(\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}\) ja \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{\abs{x}}{\abs{y}}\).

Ominaisuuksien todistaminen sivuutetaan. Yllä mainittuja ominaisuuksia ja tulkintoja käyttäen voidaan ratkoa itseisarvoihin liittyviä yhtälöitä ja epäyhtälöitä.

Esimerkki 1.4.4

Ratkaise \(\abs{2x -12} < 4\) ja \(\left| \frac{4 - 2x}{3} \right| \le 3\).

Piilota/näytä ratkaisu

Ensimmäisestä saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{2x -12} < 4 &\Leftrightarrow 12 - 4 < 2x < 12 + 4 \\ &\Leftrightarrow 8 < 2x < 16 \\ &\Leftrightarrow 4 < x < 8 \end{aligned}\end{split}\]

hyödyntämällä aluksi ominaisuutta \(|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b\) ja sitten jakamalla yhtälön molemmat puolet positiivisella luvulla 2.

Toiselle saadaan ratkaisu muuten vastaavasti, mutta aluksi hyödynnetään osamäärän itseisarvoa, minkä jälkeen yhtälön molemmat puolet kerrotaan positiivisella nimittäjällä:

\[\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{4 - 2x}{3} \right| \le 3 &\Leftrightarrow \frac{\abs{4 - 2x} }{\abs{3} } \le 3 \\ &\Leftrightarrow \frac{\abs{4 - 2x} }{3} \le 3 \\ &\Leftrightarrow \abs{4 - 2x} \le 9 \\ &\Leftrightarrow -4 - 9 \le -2x \le -4 + 9 \\ &\Leftrightarrow -13 \le -2x \le 5 \\ &\Leftrightarrow \frac{-5}{2} \le x \le \frac{13}{2} .\end{aligned}\end{split}\]

Ensimmäinen epäyhtälö olisi voitu myös ratkaista geometrisesti. Nimittäin

\[\abs{2x -12} < 4 \Leftrightarrow \abs{x -6} < 2.\]

Tämä tarkoittaa, että lukujen \(x\) ja \(6\) etäisyys on aidosti vähemmän kuin \(2\), joka ilmenee suoraan kuvasta.

Kysymys 1

Ratkaise yhtälö \(|5-3x|=2x+1\).

\(x=6 \vee x=\frac{4}{5}\)

\(x=4 \vee x=\frac{6}{5}\)

\(x=-6 \vee x=\frac{4}{5}\)

\(x=-4 \vee x=\frac{6}{5}\)

\(x=\frac{4}{5} \vee x=\frac{6}{5}\)

\(x=6 \vee x=-4\)

Kysymys 2

Ratkaise epäyhtälö \(|4x-5|\geq 7\).

\(-3 \leq x \leq \frac{1}{2}\)

\(x \leq -3 \vee x \geq \frac{1}{2}\)

\(-2 \leq x \leq \frac{1}{3}\)

\(x \leq -2 \vee x \geq \frac{1}{3}\)

\(-\frac{1}{2} \leq x \leq 3\)

\(x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq 3\)

Seuraava lause on tärkeä ymmärtää ja hallita, sillä se on erittäin hyödyllinen työkalu.

Lause 1.4.5 (Kolmioepäyhtälö)

Olkoot \(x,y \in \R\). Tällöin \(\abs{x \pm y} \le \abs{x} + \abs{y}\).

Piilota/näytä todistus

Itseisarvon määritelmän mukaan \(x = \abs{x}\) tai \(x = - \abs{x}\), joten

\[-\abs{x} \leq x \leq \abs{x}\]

ja vastaavasti

\[-\abs{y} \leq y \leq \abs{y} .\]

Laskemalla nämä epäyhtälöt puolittain yhteen saadaan

\[-(\abs{x} + \abs{y}) \leq x + y \leq \abs{x} + \abs{y},\]

joten

\[\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y} .\]

Yllä olevan avulla saadaan, että

\[\abs{x-y} = \abs{x + (-y)} \leq \abs{x} + \abs{-y} \leq \abs{x} + \abs{y}.\]

Siis

\[\abs{x \pm y} \leq \abs{x} + \abs{y}.\]

Lause 1.4.6 (Käänteinen kolmioepäyhtälö)

Olkoot \(x, y \in \R\). Tällöin \(\abs{\abs{x} - \abs{y} } \le \abs{x \pm y}\).

Piilota/näytä todistus

Kolmioepäyhtälön mukaan saadaan

\[\abs{x} = \abs{\left( x + y \right) - y} \le \abs{x + y} + \abs{y}\]

ja

\[\abs{y} = \abs{\left( x + y \right) -x} \le \abs{x + y} + \abs{x},\]

josta edelleen

\[\begin{split}\begin{aligned} \abs{x} - \abs{y} &\le \abs{x + y} \\ -\left( \abs{x} - \abs{y} \right) &\le \abs{x + y}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis itseisarvon määritelmän nojalla

\[\abs{\abs{x} - \abs{y} } \le \abs{x + y}.\qedhere\]

Lause 1.4.7

Olkoot \(x, y \in \R\). Tällöin \(\abs{x} < \abs{y}\) jos ja vain jos \(x^{2} < y^{2}\).

Piilota/näytä todistus

Jos \(\abs{x} < \abs{y}\), niin \(\abs{x}^{2} < \abs{y}^{2}\) huomautuksen 1.2.4 viimeisen kohdan nojalla. Siis \(x^{2}< y^{2}\). Vastaavasti saadaan kontrapositiolla. Jos \(\abs{x} \ge \abs{y}\), niin \(\abs{x}^{2} \ge \abs{y}^{2}\), joten \(x^{2} \ge y^{2}\). Siis \(\abs{x} < \abs{y}\) täsmälleen silloin kun \(x^{2} < y^{2}\).

Esimerkki 1.4.8

Ratkaise \(\left| \dfrac{x - 1}{x + 1} \right| < 1\).

Piilota/näytä ratkaisu

Aluksi huomataan, että kun \(x=-1\), yllä oleva lauseke ei ole määritelty. Edellistä lausetta voidaan käyttää tehtävän ratkaisemiseen. Korottamalla epäyhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \left( \frac{x -1}{x + 1} \right)^{2} < 1^{2} &\Leftrightarrow \frac{\left( x -1 \right)^{2}}{\left( x + 1 \right)^{2}} < 1 \\ &\Leftrightarrow \left( x -1 \right)^{2} < \left( x + 1 \right)^{2} \\ &\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 < x^{2} + 2x + 1 \\ &\Leftrightarrow 0 < 4x \\ &\Leftrightarrow 0 < x .\end{aligned}\end{split}\]

Koska nimittäjän nollakohta \(x=-1\) ei kuulu ratkaisualueeseen, on ratkaisu \(x>0\).

Yhtälöryhmät ja niiden ratkaiseminen

Edellä esitettyjen itseisarvoepäyhtälöiden lisäksi tulee osata ratkaista yhtälöryhmiä. Ratkaisemisen kannalta on oleellista hahmottaa, onko yhtälöryhmä lineaarinen vai epälineaarinen. Lineaarinen yhtälöryhmä koostuu tietystä määrästä lineaarisia eli ensimmäisen asteen yhtälöitä, joissa esiintyvät termit ovat joko vakiota tai vakiolla kerrottuja muuttujia. Lineaarisessa yhtälössä ei siten esiinny toiseen eikä korkeampiin potenssiin korotettuja muuttujia eikä myöskään muuttujilla kerrottuja muuttujia. Jos yhtälöryhmä ei ole lineaarinen, sitä kutsutaan epälineaariseksi.

Yhtälöryhmässä esiintyvien muuttujien tai yhtälöiden määrälle ei ole rajoitetta, mutta yksinkertaisimmillaan yhtälöryhmä koostuu kahdesta muuttujasta ja kahdesta yhtälöstä, jotka kuvaavat muuttujien keskinäistä riippuvuutta.

Esimerkki 1.4.9

Seuraavat yhtälöryhmät ovat lineaarisia.

\[\begin{split}\begin{cases} 3x + 6y = -2 \\ -x + 2y = 1 \end{cases} \qquad \text{ja} \qquad \begin{cases} a + b + c = 3 \\ a - b + 2c = \frac{3}{2} \\ b - c = 3a \end{cases}\end{split}\]

Seuraavat yhtälöryhmät ovat epälineaarisia.

\[\begin{split}\begin{cases} 7x^2 - y = 3x \\ 8y = 2 \end{cases} \qquad \text{ja} \qquad \begin{cases} (x-1)y = 0\\ x - y = 2 \end{cases}\end{split}\]

Vasemmanpuolisessa yhtälöparissa esiintyy muuttuja, joka on korotettu toiseen potenssiin. Oikeanpuoleisessa yhtälöparissa esiintyy kahden muuttujan välinen tulo \(xy\), kun ylemmän yhtälön sulut kertoo auki.

Siinä missä epälineaariselle yhtälöryhmälle ei ole yleistä ratkaisumenetelmää, lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu löytyy verrattain helposti sijoitusmenetelmällä, jota demonstroidaan seuraavassa esimerkissä. Suurempien lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisussa on kätevää käyttää hyväksi matriisilaskentaa. Tähän tutustutaan kurssilla Vektorit ja matriisit.

Esimerkki 1.4.10

Ratkaise \(\begin{cases} 3x + 6y = -2 \\ -x + 2y = 1. \end{cases}\)

Piilota/näytä ratkaisu

Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä muuttuja \(x\) muuttujan \(y\) avulla ilmaistuna. Näin saadaan yhteys \(x = 2y - 1\), joka voidaan sijoittaa ylempään yhtälöön muuttujan \(x\) paikalle. Ratkaistaan muodostuneesta yhtälöstä muuttuja \(y\):

\[\begin{split}\begin{aligned} 3( 2y - 1 ) + 6y = -2 &\Leftrightarrow& 6y -3 + 6y &= -2 \\ &\Leftrightarrow& 12y &= 1 \\ &\Leftrightarrow& y &= \frac{1}{12}. \end{aligned}\end{split}\]

Sijoittamalla \(y = \frac{1}{12}\) takaisin lausekkeeseen \(x = 2y - 1\) saadaan \(x = -\frac{5}{6}\). Yhtälöparin ratkaisu on siten \(\begin{cases} x = -\frac{5}{6} \\ y = \frac{1}{12} \end{cases}\).

Epälineaaristen yhtälöryhmien tapauksessa ratkaiseminen perustuu usein tulon nollasäännön hyödyntämiseen ja sen avulla mahdollisten ratkaisuvaihtoehtojen rajaamiseen ja tutkimiseen.

Esimerkki 1.4.11

Ratkaise \(\begin{cases} (x-1)y = 0\\ x - y = 2 \end{cases}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Ylemmästä yhtälöstä voidaan tulon nollasäännön perusteella päätellä kaksi mahdollista tapausta. Ensimmäisessä tapauksessa \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ja toisessa \(y=0\).

Oletetaan aluksi, että \(x = 1\). Sijoittamalla tämä alempaan yhtälöön saadaan

\[1 - y = 2 \Leftrightarrow y = -1.\]

Oletetaan sitten, että \(y = 0\), jolloin vastaavasti alemmasta yhtälöstä saadaan

\[x-0 = 2 \Leftrightarrow x = 2.\]

Siispä epälineaarisen yhtälöparin ratkaisut ovat \(\begin{cases} x = 1\\ y = -1 \end{cases}\) tai \(\begin{cases} x = 2\\ y = 0. \end{cases}\)

Huomautus 1.4.12

Edellä olevissa esimerkeissä löydetään aina äärellinen määrä ratkaisuja. Yhtälöryhmällä voi kuitenkin olla myös ääretön määrä ratkaisuja tai niitä ei välttämättä ole yhtään. Esimerkiksi yhtälöryhmistä

\[\begin{split}\begin{cases} x+y = 1 \\ x+y = 2 \end{cases} \qquad \text{ja} \qquad \begin{cases} x-y = 3 \\ 2x-2y = 6 \end{cases}\end{split}\]

vasemmanpuoleisella ei ole yhtään ratkaisua, kun taas oikeanpuoleisella niitä on äärettömän monta.

Palautusta lähetetään...