\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Virhearviointi

Käytännön virhearviointi perustuu differentiaalin käyttöön, koska differentiaali antaa hyvän arvion funktion arvon muutokselle. Differentiaalin avulla voidaan johtaa seuraava tulos.

Funktion \(f\) arvo määritetään mittaustuloksen \(x = x_0 + \Delta x\) avulla. Tällöin funktion arvoon aiheuttuvalle absoluuttisen virheen \(\left( \Delta f \right)\) ylärajalle pätee arvio

\[\Delta f \le \abs{f'( x_0 ) } \cdot \Delta x,\]

jossa virherajat, \(\Delta x\) ja \(\Delta f\), käsitellään aina positiivisena. Koska derivaatan arvo voi olla myös negatiivinen, niin siten kaavasssa vaaditaan itseisarvomerkit.

Esimerkki 3.6.1

Kuution särmäksi mitattiin \(s = \SI[output-decimal-marker={,},separate-uncertainty=true]{10.20+-0.05}{\centi\meter}\). Arvioi differentiaalin avulla, millä tarkkuudella kuution tilavuus tunnetaan.

Ratkaisu

Lasketaan tilavuus, kun \(s = \SI[output-decimal-marker={,}]{10.20}{\centi\meter}\)

\[V = s^3 = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{1061.0\dots}{\centi\meter\cubed}.\]

Differentiaalin avulla saadaan absoluuttiselle virheelle yläraja seuraavasti

\[\Delta V \le \abs{V'( s ) } \cdot \Delta s = \abs{3s^2} \cdot \Delta s = \abs{3 \cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{10.20}{\centi\meter} )^2} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.05}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{15{,}606}{\centi\meter\cubed} < \SI{20}{\centi\meter\cubed}.\]

Virheet pyöristetään yleensä ylöspäin ja esitetään pääsääntöisesti yhden numeron tarkkuudella. Näin pyritään välttämään liian optimistisia tuloksia.

Tilavuus virherajoineen on siten \(V = \SI[separate-uncertainty=true]{1060+-20}{\centi\meter\cubed}\). Suhteellinen virhe olisi

\[\frac{\SI[output-decimal-marker={,}]{15.606}{\centi\meter\cubed}}{\SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{1061.2\dots}{\centi\meter\cubed}} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.0147\dots} \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{1.5}{\%}.\qedhere\]

Virhearvio useammmasta mittaustuloksesta

Jos mittaustuloksia on useampi, niin lasketaan jokaisesta mittaustuloksesta aiheutuvien virheiden itseisarvot yhteen, koska pahimmillaan kaikki virheet vaikuttavat samaan suuntaan. Esimerkiksi kahden mittaustuloksen tapauksessa virhe saataisiin seuraavasti.

Funktion \(f( x,y )\) arvo määritetään mittaustuloksien \(x = x_0 \pm \Delta x\) ja \(y = y_0 \pm \Delta y\) avulla. Tällöin funktion arvoon aiheutuvalle virheella pätee arvio

\[\Delta f \le \left| \frac{\d}{\d x } f( x_0, y_0 ) \right| \cdot \Delta x + \left| \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \right| \cdot \Delta y .\]

Huomautus 3.6.2

Tulos voidaan yleistää, kun mittaustuloksia on useampikin kuin kaksi!

Esimerkki 3.6.3

Ympyrälieriön tilavuuden laskemiseksi määritettiin lieriön pohjan halkaisija \(d = \SI[output-decimal-marker={,},separate-uncertainty=true]{12.5+-0.2}{\centi\meter}\) ja korkeus \(h = \SI[output-decimal-marker={,},separate-uncertainty=true]{23.80+-0.15}{\centi\meter}\). Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, millä tarkkuudella lieriön tilavuus tunnetaan.

Ratkaisu

Lasketaan tilavuuden arvo kyseisillä mittaustuloksilla

\[V = \frac{\pi}{4}d^2 \cdot h = \frac{\pi}{4}( \SI[output-decimal-marker={,}]{12.5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{23.8}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{2920.699}{\centi\meter\cubed}.\]

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin mitatun suureen suhteen

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V }{\d d} &= \frac{\pi}{4} \cdot 2d \cdot h = \frac{\pi \cdot d \cdot h}{2}, \\ \frac{\d V}{\d h} &= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot 1 = \frac{\pi \cdot d^2}{4} .\end{aligned}\end{split}\]

Tilavuuden absoluuttinen virhe saadaan kaavalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta V &\le \left| \frac{\d V}{\d d} \right| \cdot \Delta d + \left| \frac{\d V }{\d h} \right| \cdot \Delta h \\ &= \left| \frac{\pi \cdot d \cdot h}{2} \right| \cdot \Delta d + \left| \frac{\pi \cdot d^2}{4} \right| \cdot \Delta h\\ &= \left| \frac{\pi \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{12.5}{\centi\meter} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{23.8}{\centi\meter}}{2} \right| \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter} + \left| \frac{\pi\cdot ( \SI[output-decimal-marker={,}]{12.5}{\centi\meter} )^2}{4} \right| \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.15}{\centi\meter} \\ &= \SI[output-decimal-marker={,}]{467.311}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter} + \SI[output-decimal-marker={,}]{122.718}{\centi\meter\squared} \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{0.15}{\centi\meter} \\ &=\SI[output-decimal-marker={,}]{93.462}{\centi\meter\cubed} + \SI[output-decimal-marker={,}]{18.407}{\centi\meter\cubed}\quad \text{(halkaisija tuo siis enemmän virhettä kuin korkeus)} \\ &= \SI[output-decimal-marker={,}]{111.8702}{\centi\meter\cubed} < \SI{120}{\centi\meter\cubed}\quad \text{(pyöristys 15-säännön mukaan ks. ohje alla)} .\end{aligned}\end{split}\]

Siis tilavuus on virherajoineen \(V = \SI[separate-uncertainty=true]{2920+-120}{\centi\meter\cubed}\). (Tilavuus annetaan samalla tarkkuudella kuin virhe ja se pyöristetään normaaleilla pyöristyssäännöillä ks. ohje alla).

Huomautus 3.6.4 (Suuren arvon ja virheen pyöristäminen)

  • Pyöristä ensin virhe ylöspäin yhteen merkitsevään numeroon. Paitsi jos virheen ensimmäiset merkitsevät numerot ovat \(10\), \(11\), \(12\), \(13\) tai \(14\), niin pyöristä kahteen merkitsevään numeroon ylöspäin. Tämä on niin kutsuttu \(15\)-sääntö.
  • Pyöristä vasta virheen pyöristyksen jälkeen suureen arvo normaaleilla pyöristyssäännöillä samaan tarkkuuteen kuin virhe. Esimerkiksi satojen, ykkösten tai kolmen desimaalin tarkkuuteen.

Virhetarkastelu suhteellisen virheen kautta

Määritelmä 3.6.5

Suureen suhteellinen virhe on

\[\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.\]

Virhetarkasteluja voidaan tehdä tietyissä tapauksissa myös suhteellisen virheen kautta, jolloin vältytään derivaatan laskemiselta. Tämäkin menetelmä perustuu differentiaaliin, jonka avulla voidaan johtaa seuraava tulos.

Mikäli arvioitava funktio \(f\) on muotoa \(f( x,y ) = k \cdot x^{p} \cdot y^{q}\), missä \(k = \text{vakio}\) ja \(p, q \in \R\) saadaan mittaustuloksilla \(x = x_0 \pm \Delta x\) ja \(y = y_0 \pm \Delta y\) sen suhteelliselle virheelle yläraja

\[\left| \frac{\Delta f}{f( x_0, y_0 ) } \right| \le \abs{p} \cdot \left| \frac{\Delta x}{x_0} \right| + \abs{q} \cdot \left| \frac{\Delta y}{y_0} \right|.\]

Toisin sanoen funktion \(f\) suhteellinen virhe voidaan laskea muuttujien suhteellisen virheiden avulla. Tämän jälkeen absoluuttinen virhe saadaan kaavalla

\[\Delta f \le \left| \frac{\Delta f}{f(x_0, y_0)} \right| \cdot \abs{f(x_0, y_0)}.\]

Huomautus 3.6.6

Tämäkin tulos voidaan yleistää useammalle mittaustulokselle!

Esimerkki 3.6.7

Ympyrälieriön tilavuuden laskemiseksi määritettiin lieriön pohjan halkaisija \(d = \SI[output-decimal-marker={,},separate-uncertainty=true]{12.5+-0.2}{\centi\meter}\) ja korkeus \(h = \SI[output-decimal-marker={,},separate-uncertainty=true]{23.80+-0.15}{\centi\meter}\). Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, millä tarkkuudella lieriön tilavuus tunnetaan.

Ratkaisu

Lasketaan tilavuuden arvo tehtävän edellä mainituilla arvoilla

\[V = \frac{\pi}{4} d^2 \cdot h = \frac{\pi}{4} ( \SI[output-decimal-marker={,}]{12.5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{23.8}{\centi\meter} = \SI[output-decimal-marker={,}]{2920.699}{\centi\meter\cubed}.\]

Koska tilavuuden laskulauseke on edellä esitettyä muotoa \(V = \frac{\pi}{4} d^2 h^{1}\), voidaan tilavuuden \(V\) suhteellinen virhe laskea seuraavasti

\[\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| &\le 2 \cdot \left| \frac{\Delta d}{d} \right| + 1\cdot \left| \frac{\Delta h}{h} \right| \\ &= 2\cdot \left| \frac{\SI[output-decimal-marker={,}]{0.2}{\centi\meter}}{\SI[output-decimal-marker={,}]{12.5}{\centi\meter}} \right| + \left| \frac{\SI[output-decimal-marker={,}]{0.15}{\centi\meter}}{\SI[output-decimal-marker={,}]{23.8}{\centi\meter}} \right| \\ &= \num[output-decimal-marker={,}]{0.032} + \num[output-decimal-marker={,}]{0.006302} = \num[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{0.03830\dots} ( \approx \SI[output-decimal-marker={,}]{3.8}{\%} ) .\end{aligned}\end{split}\]

Absoluuttinen virhe saadaan tämän jälkeen kaavasta

\[\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| \le \num[output-decimal-marker={,}]{0.03830} &\Leftrightarrow \abs{\Delta V} \le \SI[output-decimal-marker={,}]{0.03830} \cdot \abs{V} \\ &\Leftrightarrow \abs{\Delta V} \le \num[output-decimal-marker={,}]{0.03830}\cdot \SI[output-decimal-marker={,}]{2920.699}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots,output-decimal-marker={,}]{111.87\dots}{\centi\meter\cubed} < \SI[output-decimal-marker={,}]{120}{\centi\meter\cubed}. \end{aligned}\end{split}\]

Tulos virherajoineen on \(V = \SI[separate-uncertainty=true]{2920+-120}{\centi\meter\cubed}\). Virherajan pyöristämisessä käytettiin \(15\)-sääntöä ja tulos pyöristettiin siten kymmeniin.

Palautusta lähetetään...