\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Derivointikaavoja ja -sääntöjä

Edellä johdettiin yksi derivointikaava raja-arvon määritelmän avulla. Muille funktioille voidaan vastaavasti johtaa valmiit kaavat. Ohessa on esitetty joitakin derivointikaavoja. Derivointikaavoja on taulukoitu kaavakirjoihin. Nämä kaikki voitaisiin todistaa täsmällisesti, mutta tällä opintojaksolla annetaan ne sääntöinä.

Lause 2.3.1 (Alkeisfunktioiden derivointikaavat)

• Vakiofunktion derivaatta on \(D( c ) = 0\).
• Potenssi funktion derivaatta on \(D( x^{n} ) = n x^{n-1}\), missä \(n \in \R\).
• Eksponentti- ja logaritmifunktion derivaatta:
  • \(D( e^{x} ) = e^{x}\),
  • \(D( a^{x} ) = a^{x} \ln( a )\), missä \(a >0\),
  • \(D( \ln \abs{x} ) = \frac{1}{x}\),
  • \(D( \log_{a} \abs{x} ) = \frac{1}{x \ln ( a ) }\), missä \(a > 0\), \(a \neq 1\).
• Trigonometristen funktioiden derivaatat (kulmayksikkönä radiaani):
  • \(D( \sin( x ) ) = \cos( x )\),
  • \(D( \cos ( x ) ) = - \sin( x )\),
  • \(D( \tan( x ) ) = \frac{1}{\cos^2( x ) } = 1 + \tan^2( x )\),

Esimerkki 2.3.2

Vakion derivaatta

\[\begin{split}\begin{aligned} D( 6 ) &= 0\\ D( \num[output-decimal-marker={,}]{-1.7} ) &= 0 .\end{aligned}\end{split}\]

Potenssin derivaatta

\[\begin{split}\begin{aligned} D( x^2 ) &= 2x^{2-1} = 2x^{1}= 2x, \\ D( x^{2020} ) &= 2020x^{2020-1} = 2020x^{2019}, \\ D( x ) &= D( x^{1} ) = 1\cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1\cdot 1 = 1, \\ D( \sqrt{x} ) &= D( x^{\frac{1}{2}} ) = \frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2} -1}= \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} }, \\ D\left( \frac{1}{x^3} \right) &= D( x^{-3} ) = -3 \cdot x^{-3 - 1} = \frac{-3}{x^{4}} = -\frac{3}{x^4} .\end{aligned}\end{split}\]

Huomautus 2.3.3

Huomaa, että riippuen minkä suhteen derivoidaan tulos voi olla eri

\[\frac{\d}{\d x }( x ) = 1, \quad \text{mutta} \quad \frac{\d}{\d y} ( x ) = 0.\]

Jälkimmäisessä derivaatassa muuttujana on \(y\), jolloin derivoitava funktio on vakio muuttujan \(y\) suhteen!

Alkeisfunktioiden derivoitikaavojen lisäksi on olemassa derivointisääntöjä. Niiden avulla voidaan palauttaa monimutkaisempien funktioiden derivaatan laskeminen perusderivointikaavoihin. Nämäkin kaikki voitaisiin todistaa derivaatan erotusosamäärän määritelmän avulla.

Lause 2.3.4 (Derivointisääntöjä)

Käytämme hakasulkuja korostamaan derivoitavan funktion vaikutusaluetta. Olkoot \(f\) ja \(g\) derivoituvia funktioita pisteesssä \(x\).

• Vakiolla \(c\) kerrotun funktion derivaatta on derivaatta kerrottuna vakiolla \(c\):

  \[D[ c f( x ) ] = c D[ f( x ) ] = c f'( x ).\]

• Summan derivaatta on derivaattojen summa:

  \[D[f( x ) + g( x ) ] = D[f( x ) ] + D[g( x )] = f'( x ) + g'( x ).\]

• Tulon derivaatta on

  \[D[f( x ) \cdot g( x ) ] = D[f( x ) ] \cdot g( x ) + f( x ) D[g( x ) ] = f'( x ) g( x ) + f( x ) g'( x ).\]

• Funktion potenssin derivaatta on

  \[D[f( x ) ]^{n} = n[f( x ) ]^{n-1} \cdot D[f( x ) ] = n[f( x ) ]^{n-1} \cdot f'( x ).\]

• Osamäärän derivaatta

  \[\begin{split}\begin{aligned} D\left[ \frac{f( x ) }{g( x ) }\right] &= \frac{D\left[f( x ) \right]\cdot g( x ) - f( x ) \cdot D\left[ g( x ) \right] }{\left[ g( x ) \right]^2 }\\ &= \frac{f'( x ) g( x ) - f( x ) g'( x ) }{[g( x ) ]^2}. \end{aligned}\end{split}\]

• Yhdistetyn funktion derivaatta yleisesti

  \[D[( g \circ f )( x )] = g'( f( x ) ) \cdot f'( x ).\]

Esimerkki 2.3.5

Vakiolla kerrotun funktion derivaatta on derivaatta kerrottuna samalla vakiolla:

\[D( 3x^{5} ) = 3 D( x^{5} ) = 3\cdot 5x^{5-1} = 15x^{4}\]

\[D( \num{0{,}7}\sin(x) ) = \num{0{,}7} \cdot D(\sin(x)) = \num{0{,}7}\cos(x)\]

\[\frac{\d}{\d r}(\pi r^2h) = \pi h \cdot \frac{\d}{\d r}r^2 = \pi h \cdot 2r^{2 - 1} = 2\pi hr\]

\[\frac{\d}{\d h}(\pi r^2h) = \pi r^2 \cdot \frac{\d}{\d h}h = \pi r^2 \cdot 1 = \pi r^2\]

Esimerkki 2.3.6

Summan derivaatta on derivaattojen summa:

\[\begin{split}\begin{aligned} D(3x^5 + \num{0{,}7}x^2 - \num{4{,}2}x + 2) &= D(3x^5) + D(\num{0{,}7}x^2) - D(\num{4{,}2}x) + D(2) \\ &= 3 \cdot 5x^{5 - 1} + \num{0{,}7} \cdot 2x^{2 - 1} - \num{4{,}2} \cdot 1 + 0 = 15x^4 + \num{1{,}4}x - \num{4{,}2} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(\frac{2x^3}{3} + \frac{5}{x^4}\right) &= D\left(\frac{2}{3}x^3\right) + D(5x^{-4}) = \frac{2}{3} \cdot 3x^{3 - 1} + 5 \cdot (-4)x^{-4 - 1} \\ &= \frac{2 \cdot 3x^2}{3} - 20x^{-5} = 2x^2 - \frac{20}{x^5} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\num{0{,}2}e^x + \num{0{,}3} \cdot 2^x) &= \num{0{,}2} \cdot D(e^x) + \num{0{,}3} \cdot D(2^x) = \num{0{,}2}e^x + \num{0{,}3} \cdot 2^x\ln(2) \\ &= \num{0{,}2}e^x + \num{0{,}3} \cdot \ln(2) \cdot 2^x \approx \num{0{,}2}e^x + \num{0{,}2} \cdot 2^x \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D(3x + 5\sqrt[3]{x}) &= 3 \cdot D(x) + 5 \cdot D\left(x^{\frac{1}{3}}\right) = 3 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = 3 + \frac{5}{3}x^{-\frac{2}{3}} \\ &= 3 + \frac{5}{3x^{\frac{2}{3}}} = 3 + \frac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.3.7

Tulon derivaatta saadaan derivoimalla tekijät erikseen, kertomalla ne derivoimattomalla tekijällä ja laskemalla nämä termit yhteen:

\[D(x^3\sin(x)) = D(x^3) \cdot \sin(x) + x^3 \cdot D(\sin(x)) = 3x^2\sin(x) + x^3\cos(x)\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D(5e^x\ln(x)) &= D(5e^x) \cdot \ln(x) + 5e^x \cdot D(\ln(x)) = 5e^x\ln(x) + 5e^x \cdot \frac{1}{x} \\ &= 5e^x\ln(x) + \frac{5e^x}{x} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left((3x^2 + 2)\ln(x)\right) &= D(3x^2 + 2) \cdot \ln(x) + (3x^2 + 2) \cdot D(\ln(x)) \\ &= 6x \cdot \ln(x) + (3x^2 + 2) \cdot \frac{1}{x} = 6x\ln(x) + \frac{3x^2 + 2}{x}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.3.8

Funktion potenssin derivaatta saadaan derivoimalla potenssilauseke ja kertomalla sitä funktion derivaatalla:

\[D\left((2x - 5)^3\right) = 3 \cdot (2x - 5)^{3 - 1} \cdot D(2x - 5) = 3 \cdot (2x - 5)^2 \cdot 2 = 6 \cdot (2x - 5)^2\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\sin^4(x)) &= D((\sin(x))^4) = 4 \cdot (\sin(x))^{4 - 1} \cdot D(\sin(x)) \\ &= 4(\sin(x))^3\cos(x) = 4\sin^3(x)\cos(x) \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D(\sqrt[3]{4x^2 + x}) &= D\left((4x^2 + x)^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} \cdot (4x^2 + x)^{\frac{1}{3} - 1} \cdot D(4x^2 + x) \\ &= \frac{1}{3} \cdot (4x^2 + x)^{-\frac{2}{3}} \cdot (8x + 1) = \frac{8x + 1}{3 \cdot (4x^2 + x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{8x + 1}{3\sqrt[3]{(4x^2 + x)^2}}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.3.9

Osamäärän derivaatta saadaan derivoimalla osoittaja ja nimittäjä erikseen, kertomalla ne derivoimattomalla nimittäjällä ja osoittajalla, vähentämällä nämä termit toisistaan ja jakamalla nimittäjän neliöllä:

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(\frac{3x}{5x + 2}\right) &= \frac{D(3x) \cdot (5x + 2) - 3x \cdot D(5x + 2)}{(5x + 2)^2} = \frac{3 \cdot (5x + 2) - 3x \cdot 5}{(5x + 2)^2} \\ &= \frac{15x + 6 - 15x}{(5x + 2)^2} = \frac{6}{(5x + 2)^2} \end{aligned}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(\frac{4x^2 - x}{\ln(x)}\right) &= \frac{D(4x^2 - x) \cdot \ln(x) - (4x^2 - x) \cdot D(\ln(x))}{(\ln(x))^2} \\ &= \frac{(8x - 1) \cdot \ln(x) - (4x^2 - x) \cdot \frac{1}{x}}{(\ln(x))^2} = \frac{(8x - 1) \cdot \ln(x) - (4x - 1)}{(\ln(x))^2} \\ &= \frac{(8x - 1) \cdot \ln(x)}{(\ln(x))^2} - \frac{4x - 1}{(\ln(x))^2} = \frac{8x - 1}{\ln(x)} - \frac{4x - 1}{(\ln(x))^2} \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 2.3.10

Yhdistetyn funktion derivaatta saadaan yleisesti derivoimalla ulkofunktio ja kertomalla sitä sisäfunktion derivaatalla:

\[D(e^{2x}) = e^{2x} \cdot D(2x) = 2e^{2x}\]

\[D\left(\cos(3x^2)\right) = -\sin(3x^2) \cdot D(3x^2) = -\sin(3x^2) \cdot 6x = -6x\sin(3x^2)\]

\[D\left(3\ln(x^2 + x)\right) = 3 \cdot \frac{1}{x^2 + x} \cdot D(x^2 + x) = \frac{3}{x^2 + x} \cdot (2x + 1) = \frac{3 \cdot (2x + 1)}{x^2 + x} = \frac{6x + 3}{x^2 + x}\]

\[D\left(\sin(\num{0{,}3}x^4)\right) = \cos(\num{0{,}3}x^4) \cdot D(\num{0{,}3}x^4) = \cos(\num{0{,}3}x^4) \cdot \num{1{,}2}x^3 = \num{1{,}2}x^3\cos(\num{0{,}3}x^4)\]

\[\frac{\d}{\d t} \sin(\omega t) = \cos(\omega t) \cdot \frac{\d}{\d t}(\omega t) = \cos(\omega t) \cdot \omega = \omega\cos(\omega t)\]

Palautusta lähetetään...