\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Funktion kuvaajan piirtäminen derivaattaa hyödyntäen

Yleinen tapa piirtää funktion kuvaaja on laskea sopivasti eri muuttujan arvoilla funktion arvoja ja hahmotella kuvaaja näin saatujen pisteiden avulla.

Funktion kuvaajan piirtäminen ei kuitenkaan välttämättä onnistu, jos ei tunneta riittävän hyvin kyseisen funktion käyttäytymistä. Derivaatan avulla voidaan selvittää funktion täsmällinen käyttäytyminen eli kuvaajan muoto ja siten pystytään piirtämään kuvaaja oikein. Seuraavassa esimerkissä selvitetään pääperiaatteet funkton kuvaajan piirtämisestä.

Esimerkki 4.3.1

Piirretään funktion \(f( x ) = 50 x^3 - 75 x^2 + 30x - \num{2{,}5}\) kuvaaja. Annetaan muuttujalle \(x\) arvoja \(\num{0{,}5}\) välein ja hahmotellaan kuva. Kuvan pystyakseli on katkaistu erojen selventämiseksi.

\(\begin{array}{r|l} x & f( x ) \\ \hline \num{-0{,}5} & \num{-42{,}5} \\ 0 & \num{-2{,}5}\\ \num{0{,}5} & 0\\ 1 & \num{2{,}5}\\ \num{1{,}5} & \num{42{,}5} \end{array}\)

Tarkennetaan muuttujan \(x\) arvoja. Annetaan muuttujan \(x\) arvoja \(\num{0{,}2}\) välein ja piirretään kuvaaja. Havaitaan, että käsitys funktion kuvaajasta muuttui aivan oleellisesti.

\(\begin{array}{r|l} x & f( x ) \\ \hline \num{-0{,}5} & \num{-42{,}5} \\ \num{-0{,}3} & \num{-19{,}6} \\ \num{-0{,}1} & \num{-6{,}3} \\ \num{0{,}1} & \num{-0{,}2} \\ \num{0{,}3} & \num{1{,}1} \\ \num{0{,}5} & 0 \\ \num{0{,}7} & \num{-1{,}1} \\ \num{0{,}9} & \num{0{,}2} \\ \num{1{,}1} & \num{6{,}3} \\ \num{1{,}3} & \num{19{,}6} \\ \num{1{,}5} & \num{42{,}5} \end{array}\)

Seuraavassa esimerkissä selvitetään pääperiaatteet funktion kuvaajan piirtämisestä derivaattaa hyödyntäen.

Esimerkki 4.3.2

Piirretään funktion \(f( x ) = 50x^3 -75x^2 + 30x - \num{2{,}5}\) kuvaaja.

1. Selvitetään kuvaajan muoto derivaatan merkkiä tutkimalla.

   • Derivoidaan funktio: \(f'( x ) = 150x^2 - 150x + 30\).

   • Derivaatan merkki voi muuttua ainoastaan sen nollakohdissa, joten määritetään derivaatan nollakohdat.

     \[\begin{split}\begin{aligned} &150x^2 - 150x + 30 = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &5x^2 - 5x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 5\cdot 1} }{2\cdot 5} \\ \Leftrightarrow\quad &x \approx \num{0{,}3} \quad \text{tai} \quad x \approx \num{0{,}7}. \end{aligned}\end{split}\]

   • Tutkitaan derivaatan merkkiä kulkukaaviolla. Laaditaan kulkukaavio, johon merkitään derivaatan nollakohdat.

     

2. Tutkitaan lopuksi funktion \(f\) käyttäytymistä mielivaltaisen suurilla ja pienillä muuttujan \(x\) arvoilla. Jos funktion käyttäytymistä ei tunneta on laskettava raja-arvot äärettömyydessä. Koska tässä tapauksessa kyseesssä on polynomifunktio, voidaan päätellä suoraan, että funktion arvot kasvavat rajatta oikealle mentäessä ja pienevät rajatta vasemmalle mentäessä. Jos tämä kuitenkin olisi epäselvää, niin sama voitaisiin todeta laskemalla seuraavat raja-arvot

   \[\lim_{x \to \infty} ( 50x^3 -75x^2 + 30x -\num{2{,}5} ) = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty}( 50x^3 -75x^2 + 30x -\num{2{,}5} ) = -\infty.\]

3. Edellisten kohtien jälkeen tunnetaan funktion täsmällinen käyttäytyminen. Piirretään funktion kuvaaja taulukoimalla sopivilla muuttujan \(x\) arvoilla funktion arvoja. Taulukkoon otetaan mukaan ainakin derivaatan nollakohdat sekä muutama muu muuttujan \(x\) arvo. Esimerkiksi yhdet arvot kulkukaavion jokaisesta osiosta. Mikäli kuvaajasta ei tule riittävän hyvä, niin lisätään taulukkoon uusia arvoja.

   \(\begin{array}{r|l} x & f( x ) \\ \hline 0 & \num{-2{,}5} \\ \num{0{,}3} & \num{1{,}1} \\ \num{0{,}5} & 0 \\ \num{0{,}7} & \num{-1{,}1} \\ 1 & \num{2{,}5} \\ \end{array}\)

Esimerkki 4.3.3

Määritä funktion \(f( x ) = \frac{x}{x^2 + 1}\) suurin ja pienin arvo, mikäli ovat olemassa. Hahmottele myös pääpiirteittäin funktion kuvaaja.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Derivoidaan funktio osamäärän derivoimissäännöllä

   \[\begin{split}\begin{aligned} f'( x ) &= \frac{D( x ) ( x^2 + 1 ) - x \cdot D(x^2 + 1)}{( x^2 + 1 )^2} \\ &= \frac{1 \cdot ( x^2 + 1 ) - x\cdot 2x}{( x^2 + 1 )^2} \\ &= \frac{1-x^2}{( x^2 + 1 )^2} .\end{aligned}\end{split}\]

   Tässä nimittäjä saa vain positiivisia arvoja, ja siksi riittää tutkia vain osoittajan merkkiä. Nyt osoittajan nollakohdat ovat samalla derivaatan nollakohdat:

   \[\begin{split}\begin{aligned} 1 - x^2 = 0 &\Leftrightarrow x^2 = 1 \\ &\Leftrightarrow x = -1 \quad \text{tai}\quad x = 1 .\end{aligned}\end{split}\]

   Laaditaan derivaatan merkkikaavio.

   

2. Raja-arvot äärettömyydessä

   \[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 1} &= 0 \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2 + 1} &= 0 .\end{aligned}\end{split}\]

3. Kuvaaja alla pääpiirteittäin.

   \(\begin{array}{r|l} x & f( x ) \\ \hline -4 & \num{-0{,}24} \\ -1 & \num{-0{,}5} \\ 0 & 0\\ 1 & \num{0{,}5} \\ 4 & \num{0{,}24} \end{array}\)

   Tulosten perusteella voidaan päätellä, että funktion suurin arvo on \(f( 1 ) = \num{0{,}5}\) ja pienin arvo \(f( -1 ) = \num{-0{,}5}\).

Huomautus 4.3.4

Mikäli funktio on epäjatkuva tai sen derivaattaa ei voitaisi määrittää jossakin tarkasteluvälin pisteessä, täytyisi nämä kohdat vielä tutkia erikseen.

Esimerkki 4.3.5

Mikä on funktion \(f( x ) = x^{4} + 4x^3 -56x^2 + 1000\) suurin ja pienin arvo välillä \([-1, 6]\)? Entä välillä \([-1, 6[\)?

Piilota/näytä ratkaisu

Tutkitaan derivaatan merkkiä

\[\begin{split}\begin{aligned} &f'( x ) = 4x^3 + 12x^2 - 112x = 0 \\ \Leftrightarrow\quad& 4x( x^2 + 3x -28 ) = 0 \\ \Leftrightarrow\quad& x = 0 \quad \text{tai} \quad x = -7 \quad \text{tai} \quad x = 4 .\end{aligned}\end{split}\]

Nyt laaditaan kulkukaavio vain tarkasteluvälille tai niin sanotusti otetaan mukaan vain \([-1, 6]\) osuvat derivaatan nollakohdat.

Suurin arvo löytyy joko ääriarvokohdast \(x = 0\) tai sitten välin päätepisteestä \(x = 6\). Pienin arvo taas löytyy joko ääriarvokohdasta \(x = 4\) tai välin päätepisteestä \(x = -1\). Lasketaan funktion arvot näissä kohdissa.

• \(f( 0 ) = 1000\) ja \(f( 6 ) = 1144\), joten funktion suurin arvo välillä \([-1, 6]\) on \(1144\).
• \(f( 4 ) = 616\) ja \(f( -1 ) = 941\), joten funktion pienin arvo välillä \([-1,6]\) on \(616\).

Välillä \([-1,6[\) pienin arvo on edelleen \(616\). Tarkasteluväli on nyt puoliavoin ja \(x=6\) ei kuulu tarkasteluvälille, joten suurinta arvoa ei ole.

Palautusta lähetetään...