Processing math: 100%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Sanallisia ääriarvotehtäviä

Lopuksi tarkastellaan joitakin sellaisia ääriarvotehtäviä, joissa funktiota ja tarkasteluväliä ei ole suoraan annettu, vaan ongelma pitää pystyä itse ensin kirjoittamaan matemaattiseen muotoon.

Esimerkki 4.4.1

Suorakulmion muotoisen pahvilevyn sivujen pituudet ovat 15cm ja 24cm. Levyn jokaisesta nurkasta leikataan poois yhtä suuri neliö ja levystä tehdään laatikko taittamalla reunat ylös. Laatikon tilavuus halutaan mahdollisimman suureksi. Kuinka suuri tulee poisleikattavan neliön sivun olla? Mikä on tällöin laatikon tilavuus?

Piilota/näytä ratkaisu

Katso ratkaisu tältä videolta.

[TODO: Lisää videolinkki / upota video.]

Esimerkki 4.4.2

Pellistä valmistetaan suorana ympyrälieriön muotoinen kanneton asia, jonka tilavuus on 1 litra. Miten purkin mitat on valittava (pohjaympyrän halkaisija ja korkeus), jotta peltiä kuluisi mahdollisimman vähän?

Piilota/näytä ratkaisu

Peltimäärä lasketaan kaavalla

A=πr2+2πrh.

Koska alan lausekkeessa esiintyy kaksi muuttujaa, niin on toinen pystyttävä lausumaan toisen avulla, jotta päästään yhteen muuttujaan. Käytetään apuna tehtävässä annettua purkin tilavuutta, josta saadaan korkeus h lausuttua säteen r avulla seuraavasti.

V=πr2hπr2h=1dm3h=1dm3πr2(jättämällä yksiköt pois h=1πr2).

Sijoitetaan tämä muuttujan h lauseke alla olevaan kaavaan

A=πr2+2πr1πr2=πr2+2r.

Tehtävä on siis määrittää funktion

A(r)=πr2+2r=πr2+2r1

pienin arvo, kun r>0.

Funktio A on jatkuva ja derivoituva, kun r>0. Laaditaan funktiolle kulkukaavio välille ]0,[. Funktion A derivaatta on

A(r)=π2r+2(1)r2=2πr2r2.

Haetaan derivaatan nollakohdat.

2πr2r2=02πr32=0r3=1πr=31π=0.682.

Laaditaan kulkukaavio.

../_images/funktion-kulkukaavio4.svg

Siis funktio A saa pienimmän arvonsa, kun purkin pohjan säde on 0,682dm. Tällöin purkin pohjan halkaisija on

d=2r=20,682dm1,37dm

ja purkin korkeus on

h=1dm3πr2=1dm3π(0,682dm)20,68dm.

Siis lopullinen vastaus on, että peltiä kuluu mahdollisimman vähän, kun d=13,7cm ja h=6,8cm.

Palautusta lähetetään...