Tämä kurssi on jo päättynyt.
\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Laajennuksia: äärettömyys raja-arvona ja raja-arvo äärettömyydessä¶
Piirretään funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\) kuvaaja.
Kohdassa \(x=0\) funktiota ei voida määritellä ja kuvaaja katkeaa.
Toisaalta funktion arvot lähestyvät nollaa kun \(x\) kasvaa suureksi. Funktiolle saadaan seuraavat raja-arvon laajennukset:
\[\begin{split}\begin{aligned}
\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}&=\infty, &&& \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}&=0 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}&=-\infty, &&& \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}&=0.
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 1.4.2
Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä
\[\lim_{x\rightarrow -1-}u(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}u(x)=-\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}u(x) \text{ ei voi määritellä},\quad \lim_{x\rightarrow \infty}u(x)=2.\]
Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion \(v\) raja-arvot
\[\lim_{x\rightarrow -1-}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}v(x)=3.\]
Nollalla jako raja-arvolausekkeessa¶
Jos osamäärässä osoittaja lähestyy vakioarvoa \(\not=0\) ja nimittäjä lähestyy nollaa, niin on syytä kiinnittää huomiota nimittäjän merkkiin, sillä se määrää osamäärän merkin!
Esimerkki 1.4.3
Tarkastellaan raja-arvoa
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}.\]
Jos sijoittaa \(x\):lle arvon \(0\), saa osamäärä muodon \(\frac{5-0}{0^2}\) eli lähestytään ääretöntä siten, että nimittäjä on aina suurempi kuin \(0\). Niinpä
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}=\infty.\]
Esimerkki 1.4.4
Raja-arvoa
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^3}\]
ei voi määrittää, sillä nimittäjä on joko positiivinen tai negatiivinen lähestyttäessä nollaa oikealta tai vasemmalta.
Toispuoliset raja-arvot:
\[\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{5-x}{x^3}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow 0-}\frac{5-x}{x^3}=-\infty.\]
Rationaalifunktion raja-arvo äärettömyydessä¶
Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä
\[\frac{p_m (x)}{q_n (x)},\]
jossa ala-indeksit \(m\) ja \(n\) ovat polynomien asteluvut. Jos laskettavana on raja-arvo
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{p_m (x)}{q_n (x)},\]
niin ohjeena
- jaa sekä osoittaja että nimittäjä (kaikki termit) korkeimmalla \(x\):n potenssilla (joko \(x^m\) tai \(x^n\)),
- anna tämän jälkeen \(x\):n lähestyä ääretöntä, jolloin useimmat termit \(\rightarrow 0\),
- määritä raja-arvo.
Esimerkki 1.4.5
Tarkastellaan raja-arvoa
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}.\]
Korkein potenssi on tässä \(x^4\), joten
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5-\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x^4}}{2-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^4}}=\frac{5-0-0}{2-0-0}=\frac{5}{2}.\]
Esimerkki 1.4.6
Tarkastellaan raja-arvoa
\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}.\]
Korkein potenssi on tässä \(x^5\), joten
\[\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7-\frac{2}{x^3}}{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^5}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7}{\frac{2}{x}}=-\infty.\]
Funktioiden kasvunopeuksia äärettömyydessä¶
Eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^{ax}}{x^b}=\infty,\qquad \text{kun } a \text{ ja } b > 0.\]Logaritmifunktio kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^b}{\ln x}=\infty,\qquad \text{kun } b>0.\]Kasvunopeuksien mukaan ”suuruusjärjestys” on siis
- eksponenttifunktio,
- potenssifunktio (ja polynomit),
- logaritmifunktio.
Raja-arvoja nollassa:
\[\lim_{x\rightarrow 0+}\ln x =-\infty,\qquad\text{mutta}\qquad \lim_{x\rightarrow 0+} x^b\ln x =0,\ \text{kun } b>0.\]
Esimerkki 1.4.7
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{0,5x}}{5x^{100}}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{-0,5x}}{5x^{100}}=0.\]
\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-3e^{0,5x}}{5x^{100}}=-\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln 2x}{5x^3}=0.\]
\[\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x}\ln x=0 \text{ (kokeile numeerisesti!)}.\]