$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Laajennuksia: äärettömyys raja-arvona ja raja-arvo äärettömyydessä

Piirretään funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ kuvaaja.

Kohdassa $x=0$ funktiota ei voida määritellä ja kuvaaja katkeaa.

Määritelmä 1.4.1

Raja-arvojen kohdalla funktion arvojen kasvaessa rajoittamattomasti, funktion raja-arvoa voidaan merkitä ääretön-merkillä $\infty$.

Toisaalta funktion arvot lähestyvät nollaa kun $x$ kasvaa suureksi. Funktiolle saadaan seuraavat raja-arvon laajennukset:

$$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}&=\infty, &&& \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}&=0 \\ \lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}&=-\infty, &&& \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}&=0. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki 1.4.2

Vasemmanpuoleisen kuvan perusteella voidaan päätellä

$$\lim_{x\rightarrow -1-}u(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}u(x)=-\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}u(x) \text{ ei voi määritellä},\quad \lim_{x\rightarrow \infty}u(x)=2.$$

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas päätellään funktion $v$ raja-arvot

$$\lim_{x\rightarrow -1-}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1+}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow -1}v(x)=\infty, \quad \lim_{x\rightarrow \infty}v(x)=3.$$

Nollalla jako raja-arvolausekkeessa

Jos osamäärässä osoittaja lähestyy vakioarvoa $\not=0$ ja nimittäjä lähestyy nollaa, niin on syytä kiinnittää huomiota nimittäjän merkkiin, sillä se määrää osamäärän merkin!

Esimerkki 1.4.3

Tarkastellaan raja-arvoa

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}.$$

Jos sijoittaa $x$:lle arvon $0$, saa osamäärä muodon $\frac{5-0}{0^2}$ eli lähestytään ääretöntä siten, että nimittäjä on aina suurempi kuin $0$. Niinpä

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^2}=\infty.$$

Esimerkki 1.4.4

Raja-arvoa

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5-x}{x^3}$$

ei voi määrittää, sillä nimittäjä on joko positiivinen tai negatiivinen lähestyttäessä nollaa oikealta tai vasemmalta.

Toispuoliset raja-arvot:

$$\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{5-x}{x^3}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow 0-}\frac{5-x}{x^3}=-\infty.$$

Rationaalifunktion raja-arvo äärettömyydessä

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä

$$\frac{p_m (x)}{q_n (x)},$$

jossa ala-indeksit $m$ ja $n$ ovat polynomien asteluvut. Jos laskettavana on raja-arvo

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{p_m (x)}{q_n (x)},$$

niin ohjeena

• jaa sekä osoittaja että nimittäjä (kaikki termit) korkeimmalla $x$:n potenssilla (joko $x^m$ tai $x^n$),
• anna tämän jälkeen $x$:n lähestyä ääretöntä, jolloin useimmat termit $\rightarrow 0$,
• määritä raja-arvo.

Esimerkki 1.4.5

Tarkastellaan raja-arvoa

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}.$$

Korkein potenssi on tässä $x^4$, joten

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5x^4-2x^2-4}{2x^4-3x+4}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{5-\frac{2}{x^2}-\frac{4}{x^4}}{2-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^4}}=\frac{5-0-0}{2-0-0}=\frac{5}{2}.$$

Esimerkki 1.4.6

Tarkastellaan raja-arvoa

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}.$$

Korkein potenssi on tässä $x^5$, joten

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7x^5-2x^2}{2x^4-3x^2+4}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7-\frac{2}{x^3}}{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^3}+\frac{4}{x^5}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{7}{\frac{2}{x}}=-\infty.$$

Funktioiden kasvunopeuksia äärettömyydessä

• Eksponenttifunktio kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio

  $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^{ax}}{x^b}=\infty,\qquad \text{kun } a \text{ ja } b > 0.$$

• Logaritmifunktio kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio

  $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^b}{\ln x}=\infty,\qquad \text{kun } b>0.$$

• Kasvunopeuksien mukaan ”suuruusjärjestys” on siis

  1. eksponenttifunktio,
  2. potenssifunktio (ja polynomit),
  3. logaritmifunktio.

Raja-arvoja nollassa:

$$\lim_{x\rightarrow 0+}\ln x =-\infty,\qquad\text{mutta}\qquad \lim_{x\rightarrow 0+} x^b\ln x =0,\ \text{kun } b>0.$$

Esimerkki 1.4.7

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{0,5x}}{5x^{100}}=\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3e^{-0,5x}}{5x^{100}}=0.$$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-3e^{0,5x}}{5x^{100}}=-\infty \qquad\text{ja}\qquad \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln 2x}{5x^3}=0.$$

$$\lim_{x\rightarrow 0+}\sqrt{x}\ln x=0 \text{ (kokeile numeerisesti!)}.$$

Palautusta lähetetään...