Tämä kurssi on jo päättynyt.

Differentiaali

Tarkastellaan vielä hieman tarkemmin muutosnopeuden käsitettä. Derivaatan määritelmästä saadaan

f(x0)f(x0+Δx)f(x0)Δx=ΔfΔx,

kun |Δx|0. Ratkaistaan likiarvokaavasta Δf. Saadaan

Δf=f(x0+Δx)f(x0)f(x0)Δx,

kun |Δx|0. Siis muuttujan x muutos arvosta x0 arvoon x0+Δx aiheuttaa funktion arvoihin muutoksen, joka on likimain f(x0)Δx.

Määritelmä 3.4.1

Lauseketta f(x0)Δx kutsutaan differentiaaliksi ja sille käytetään merkintää df:

df=f(x0)Δx.

Differentiaalia tarvitaan virhearvion tekemisessä. Ajatuksena on arvioida funktion f arvojen tarkkaa muutosta differentiaalisella muutoksella, eli symbolein kirjoitettuna

Δfdf,kun|Δx|0.

Asiaa voidaan tulkita kuvaajan avulla seuraavasti.

tamk-tulkintoja/kuvat/delta-ja-differentiaali.pdf.*

Huomautus 3.4.2

Tarkastellaan funktiota f(x)=x. Tällöin

dx=df=f(x0)Δx=Δx.

Siis jos f on mikä tahansa funktio, voidaan differentiaalin antama muutos approksimaatio kirjoittaa myös muodossa

Δf=f(x0+Δx)f(x0)f(x0)dx,kun|Δx|0.

Esimerkki 3.4.3

Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin

dTdt(15)=1,76e0,05515=0,77120,77,

jonka yksikkönä on C/min. Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa t=15 ajan arvoa muutetaan hieman, esimerkiksi arvoon 15,5, niin lämpötilan T muutos on suunnilleen

dT=dTdt(15min)0,5min=0,7712C/min0,5min=0,3856C

ja tarkka muutos on

ΔT=T(15,5min)T(15,0min)=7,3568C6,976C=0,380C

eli ΔTdT. Nämä arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.

../_images/auton-sisalampotila-tangentti.svg

Esimerkki 3.4.4

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla V(s)=s3, missä s on kuution särmän pituus. Laske V(25,0cm). Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt V(s)=3s2, joten

V(25,0cm)=3(25,0cm)2=1875cm2.

Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa s=25,0cm. Luku V(25,0cm)=1875cm2 kertoo, että särmän muuttuessa 25,0cm:stä hiukan esimerkiksi 25,2cm:in (eli Δs=0,2cm) tilavuuden muutos on likimäärin

ΔVV(25,0cm)Δs=1875cm20,2cm=375cm3.

Vastaavasti särmän muuttuessa 25,0cm:stä 25,05cm:in, tilavuuden muutos on likimäärin

ΔVV(25,0cm)Δs=1875cm20,05cm=93,75cm3.

Tarkat tilavuuden muutokset ovat

ΔV=V(25,2cm)V(25,0cm)=16003,008cm315625cm3=378,008cm3

ja

ΔV=V(25,05cm)V(25,0cm)=15718,937cm315625cm3=93,937cm3.

Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.

Edellisestä esimerkistä saadaan tilavuuden differentiaali

ΔVdV,kun Δs0,

missä ΔV on tarkka muutos ja dV differentiaalinen muutos.

Palautusta lähetetään...