\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Differentiaali
Tarkastellaan vielä hieman tarkemmin muutosnopeuden käsitettä. Derivaatan määritelmästä saadaan
\[f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x},\]
kun \(\vert \Delta x \vert \approx 0\). Ratkaistaan likiarvokaavasta \(\Delta f\). Saadaan
\[\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x,\]
kun \(\vert \Delta x \vert \approx 0\). Siis muuttujan \(x\) muutos arvosta \(x_0\) arvoon \(x_0 + \Delta x\) aiheuttaa funktion arvoihin muutoksen, joka on likimain \(f'(x_0)\Delta x\).
Differentiaalia tarvitaan virhearvion tekemisessä. Ajatuksena on arvioida funktion \(f\) arvojen tarkkaa muutosta differentiaalisella muutoksella, eli symbolein kirjoitettuna
\[\Delta f \approx \d f,\quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.\]
Asiaa voidaan tulkita kuvaajan avulla seuraavasti.
Huomautus 3.4.2
Tarkastellaan funktiota \(f(x) = x\). Tällöin
\[\d x = \d f = f'(x_0) \Delta x = \Delta x.\]
Siis jos \(f\) on mikä tahansa funktio, voidaan differentiaalin antama muutos approksimaatio kirjoittaa myös muodossa
\[\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\d x, \quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.\]
Esimerkki 3.4.3
Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin
\[\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num{1{,}76} \cdot e^{-\num{0{,}055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots]{0{,}7712\dots} \approx \num{0{,}77},\]
jonka yksikkönä on \(\si{\degreeCelsius\per\minute}\). Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa \(t = 15\) ajan arvoa muutetaan hieman, esimerkiksi arvoon \(\num{15{,}5}\), niin lämpötilan \(T\) muutos on suunnilleen
\[\d T = \frac{\d T}{\d t}( \SI{15}{\minute} ) \cdot \SI{0{,}5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}7712\dots}{\degreeCelsius\per\minute} \cdot \SI{0{,}5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}3856\dots}{\degreeCelsius}\]
ja tarkka muutos on
\[\Delta T = T( \SI{15{,}5}{\minute} ) - T( \SI{15{,}0}{\minute} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{7{,}3568\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{6{,}976\dots}{\degreeCelsius} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}380\dots}{\degreeCelsius}\]
eli \(\Delta T \approx \d T\). Nämä arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.
Esimerkki 3.4.4
Kuution tilavuus lasketaan kaavalla \(V( s ) = s^{3}\), missä \(s\) on kuution särmän pituus. Laske \(V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter})\). Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?
Piilota/näytä ratkaisu
Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt \(V'( s ) = 3s^{2}\), joten
\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{aligned}\\V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) &= 3\cdot ( \SI{25{,}0}{\centi\meter} )^{2} = \SI{1875}{\centi\meter\squared}
.\end{aligned}\end{aligned}\end{align} \]
Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa \(s = \SI{25{,}0}{\centi\meter}\). Luku \(V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI{1875}{\centi\meter\squared}\) kertoo, että särmän muuttuessa \(\SI{25{,}0}{\centi\meter}\):stä hiukan esimerkiksi \(\SI{25{,}2}{\centi\meter}\):in (eli \(\Delta s = \SI{0{,}2}{\centi\meter}\)) tilavuuden muutos on likimäärin
\[\Delta V \approx V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s = \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}2}{\centi\meter} = \SI{375}{\centi\meter\cubed}
.\]
Vastaavasti särmän muuttuessa \(\SI{25{,}0}{\centi\meter}\):stä \(\SI{25{,}05}{\centi\meter}\):in, tilavuuden muutos on likimäärin
\[\Delta V \approx V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s= \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}05}{\centi\meter} = \SI{93{,}75}{\centi\meter\cubed}.\]
Tarkat tilavuuden muutokset ovat
\[\Delta V = V( \SI{25{,}2}{\centi\meter} ) - V( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI{16003{,}008}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI{378{,}008}{\centi\meter\cubed}\]
ja
\[\Delta V = V( \SI{25{,}05}{\centi\meter} ) - V( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15718{,}937\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{93{,}937\dots}{\centi\meter\cubed}.\]
Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.
Edellisestä esimerkistä saadaan tilavuuden differentiaali
\[\Delta V \approx \d V, \quad\text{kun } \Delta s \approx 0,\]
missä \(\Delta V\) on tarkka muutos ja \(\d V\) differentiaalinen muutos.
