- 5N00EG74
- 3. Derivaatan tulkintoja
- 3.4 Differentiaali
Differentiaali¶
Tarkastellaan vielä hieman tarkemmin muutosnopeuden käsitettä. Derivaatan määritelmästä saadaan
kun |Δx|≈0. Ratkaistaan likiarvokaavasta Δf. Saadaan
kun |Δx|≈0. Siis muuttujan x muutos arvosta x0 arvoon x0+Δx aiheuttaa funktion arvoihin muutoksen, joka on likimain f′(x0)Δx.
Määritelmä 3.4.1
Lauseketta f′(x0)Δx kutsutaan differentiaaliksi ja sille käytetään merkintää df:
Differentiaalia tarvitaan virhearvion tekemisessä. Ajatuksena on arvioida funktion f arvojen tarkkaa muutosta differentiaalisella muutoksella, eli symbolein kirjoitettuna
Asiaa voidaan tulkita kuvaajan avulla seuraavasti.
Huomautus 3.4.2
Tarkastellaan funktiota f(x)=x. Tällöin
Siis jos f on mikä tahansa funktio, voidaan differentiaalin antama muutos approksimaatio kirjoittaa myös muodossa
Esimerkki 3.4.3
Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin
jonka yksikkönä on ∘C/min. Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa t=15 ajan arvoa muutetaan hieman, esimerkiksi arvoon 15,5, niin lämpötilan T muutos on suunnilleen
ja tarkka muutos on
eli ΔT≈dT. Nämä arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.
Esimerkki 3.4.4
Kuution tilavuus lasketaan kaavalla V(s)=s3, missä s on kuution särmän pituus. Laske V′(25,0cm). Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?
Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt V′(s)=3s2, joten
Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa s=25,0cm. Luku V′(25,0cm)=1875cm2 kertoo, että särmän muuttuessa 25,0cm:stä hiukan esimerkiksi 25,2cm:in (eli Δs=0,2cm) tilavuuden muutos on likimäärin
Vastaavasti särmän muuttuessa 25,0cm:stä 25,05cm:in, tilavuuden muutos on likimäärin
Tarkat tilavuuden muutokset ovat
ja
Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.
Edellisestä esimerkistä saadaan tilavuuden differentiaali
missä ΔV on tarkka muutos ja dV differentiaalinen muutos.