$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Differentiaali¶

Tarkastellaan vielä hieman tarkemmin muutosnopeuden käsitettä. Derivaatan määritelmästä saadaan

$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x},$

kun $$\vert \Delta x \vert \approx 0$$. Ratkaistaan likiarvokaavasta $$\Delta f$$. Saadaan

$\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\Delta x,$

kun $$\vert \Delta x \vert \approx 0$$. Siis muuttujan $$x$$ muutos arvosta $$x_0$$ arvoon $$x_0 + \Delta x$$ aiheuttaa funktion arvoihin muutoksen, joka on likimain $$f'(x_0)\Delta x$$.

Määritelmä 3.4.1

Lauseketta $$f'(x_0) \Delta x$$ kutsutaan differentiaaliksi ja sille käytetään merkintää $$\d f$$:

$\d f = f'(x_0)\Delta x.$

Differentiaalia tarvitaan virhearvion tekemisessä. Ajatuksena on arvioida funktion $$f$$ arvojen tarkkaa muutosta differentiaalisella muutoksella, eli symbolein kirjoitettuna

$\Delta f \approx \d f,\quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.$

Asiaa voidaan tulkita kuvaajan avulla seuraavasti.

Huomautus 3.4.2

Tarkastellaan funktiota $$f(x) = x$$. Tällöin

$\d x = \d f = f'(x_0) \Delta x = \Delta x.$

Siis jos $$f$$ on mikä tahansa funktio, voidaan differentiaalin antama muutos approksimaatio kirjoittaa myös muodossa

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0)\d x, \quad\text{kun}\quad \vert \Delta x \vert \approx 0.$

Esimerkki 3.4.3

Tarkastellaan vielä aikaisemmpaa esimerkkiä 3.3.1, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Viidentoista minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin

$\frac{\d T}{\d t} ( 15 ) = \num{1{,}76} \cdot e^{-\num{0{,}055}\cdot 15} = \num[input-protect-tokens=\dots]{0{,}7712\dots} \approx \num{0{,}77},$

jonka yksikkönä on $$\si{\degreeCelsius\per\minute}$$. Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa $$t = 15$$ ajan arvoa muutetaan hieman, esimerkiksi arvoon $$\num{15{,}5}$$, niin lämpötilan $$T$$ muutos on suunnilleen

$\d T = \frac{\d T}{\d t}( \SI{15}{\minute} ) \cdot \SI{0{,}5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}7712\dots}{\degreeCelsius\per\minute} \cdot \SI{0{,}5}{\minute} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}3856\dots}{\degreeCelsius}$

ja tarkka muutos on

$\Delta T = T( \SI{15{,}5}{\minute} ) - T( \SI{15{,}0}{\minute} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{7{,}3568\dots}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{6{,}976\dots}{\degreeCelsius} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0{,}380\dots}{\degreeCelsius}$

eli $$\Delta T \approx \d T$$. Nämä arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.

Esimerkki 3.4.4

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla $$V( s ) = s^{3}$$, missä $$s$$ on kuution särmän pituus. Laske $$V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter})$$. Mitä tämä kertoo tilavuuden muutoksesta?

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään differentiaalia. Lasketaan derivaaatta. Nyt $$V'( s ) = 3s^{2}$$, joten

\begin{align}\begin{aligned}\begin{aligned}\\V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) &= 3\cdot ( \SI{25{,}0}{\centi\meter} )^{2} = \SI{1875}{\centi\meter\squared} .\end{aligned}\end{aligned}\end{align}

Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa $$s = \SI{25{,}0}{\centi\meter}$$. Luku $$V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI{1875}{\centi\meter\squared}$$ kertoo, että särmän muuttuessa $$\SI{25{,}0}{\centi\meter}$$:stä hiukan esimerkiksi $$\SI{25{,}2}{\centi\meter}$$:in (eli $$\Delta s = \SI{0{,}2}{\centi\meter}$$) tilavuuden muutos on likimäärin

$\Delta V \approx V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s = \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}2}{\centi\meter} = \SI{375}{\centi\meter\cubed} .$

Vastaavasti särmän muuttuessa $$\SI{25{,}0}{\centi\meter}$$:stä $$\SI{25{,}05}{\centi\meter}$$:in, tilavuuden muutos on likimäärin

$\Delta V \approx V'( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) \cdot \Delta s= \SI{1875}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}05}{\centi\meter} = \SI{93{,}75}{\centi\meter\cubed}.$

Tarkat tilavuuden muutokset ovat

$\Delta V = V( \SI{25{,}2}{\centi\meter} ) - V( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI{16003{,}008}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI{378{,}008}{\centi\meter\cubed}$

ja

$\Delta V = V( \SI{25{,}05}{\centi\meter} ) - V( \SI{25{,}0}{\centi\meter} ) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15718{,}937\dots}{\centi\meter\cubed} - \SI{15625}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{93{,}937\dots}{\centi\meter\cubed}.$

Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienemmästä muutoksesta on kyse.

$\Delta V \approx \d V, \quad\text{kun } \Delta s \approx 0,$
missä $$\Delta V$$ on tarkka muutos ja $$\d V$$ differentiaalinen muutos.