$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Implisiittiderivointi eli derivointi ratkaisemattomassa muodossa

Toisinaan muuttujan $x$ ja $y$ välisen riippuvuuden määräävä yhtälö on sellainen, että sen saaminen ratkaistuun muotoon eli eksplisiittimuotoon $y = y( x )$ (eli $y$ riippuu muuttujasta $x$) on hankalaa.

Esimerkki 3.2.1

Yhtälö

$$x^2 + y^2 = 20$$

on ratkaisematon eli implisiittimuoto. Vastaavasti taas

$$y = \pm \sqrt{20 - x^2}$$

on ratkaistu eli eksplisiittimuoto.

Implisiittisessä derivoinnissa käytetään ihan normaaleja derivointikaavoja pitäen kuitenkin mielessä, että $y$ riippuu muuttujasta $x$. Näin ollen muuttujaa $y$ derivoidessa käytetään yhdistetyn funktion derivointisääntöä, jossa sisäfunktion derivaatta on $y'( x )$. Esimerkiksi

$$\frac{\d}{\d x}( y( x ) )^2 = 2\cdot y( x ) y'( x ).$$

Mikäli on selvää, että $y$ riippuu muuttujasta $x$, voidaan edellinen kirjoittaa yksinkertaisemmin muotoon

$$\frac{\d}{\d x} ( y^2 ) = 2yy'.$$

Vastaavasti

$$\frac{\d}{\d x}( xy ) = 1\cdot y + xy'.$$

Esimerkki 3.2.2

Määritä ympyrälle $x^2 + y^2 = 20$ pisteeseen $( 2, 4 )$ piirretyn tangentin kulmakerroin.

Piilota/näytä ratkaisu

Tapa 1 Ratkaistaan kaavasta $y$

$$y = \pm \sqrt{20 - x^2}.$$

Koska $y = 4> 0$, niin

$$y = \sqrt{20 - x^2} = ( 20 - x^2 )^{\frac{1}{2}}.$$

Derivoidaan normaalisti muuttujan $x$ suhteen

$$\begin{split}\begin{aligned} y'&= \frac{1}{2}( 20 - x^2 )^{- \frac{1}{2}}\cdot ( -2x ) \\ &= - \frac{x}{\sqrt{20 - x^2} } .\end{aligned}\end{split}$$

Tangentin kulmakerroin kohdassa $x = 2$ on

$$k_T = y'( 2 ) = - \frac{2}{\sqrt{20 - 2^2} } = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}.$$

Tapa 2 Derivoidaan puolittain ratkaisematonta yhtälöä muuttujan $x$ suhteen ja otetaan huomioon, että $y = y( x )$.

$$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{\d}{\d x}( x^2 + y^2 ) = \frac{\d}{\d x}( 20 ) \\ \Leftrightarrow \quad &2x + 2y \cdot y ' = 0 \\ \Leftrightarrow \quad &2y \cdot y' = -2x \\ \Leftrightarrow \quad &y' = \frac{-2x}{2y} = - \frac{x}{y} .\end{aligned}\end{split}$$

Tehtävänä oli etsiä käyrän pisteeseen $( 2, 4 )$ asetetun tangentin kulmakerroin. Näin ollen riittää, että saatiin yhtälö, josta $y'$ voitiin ratkaista muuttujan $x$ ja $y$ suhteen. Tangentin kulmakerroin pisteessä $( 2, 4 )$ on

$$k_T = y'( 2 ) = - \frac{2}{y( 2 ) } = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}.\qedhere$$

Esimerkki 3.2.3

Määritä käyrälle $x^2 + xy + y^2 = 7$ pisteeseen $( 1, 2 )$ piirretyn tangentin kulmakerroin.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö määrittää pisteen $( 1,2 )$ ympäristössä funktion $y = y( x )$. Derivoidaan yhtälöä $x$:n suhteen (muistaen että $y$ riippuu $x$:stä!). Toisen termin derivoinnissa tarvitaan tulon derivointisääntöä.

$$\begin{split}\begin{aligned} D_x( x^2 ) + D_x( xy ) + D_x( y^2 ) = D_x( 7 ) &\Rightarrow 2x + y + x\cdot y' + 2y \cdot y' = 0 \\ &\Rightarrow ( x + 2y )y' = -2x - y \\ &\Rightarrow y' = \frac{-2x -y}{x + 2y} = \frac{-2\cdot 1 - 2}{1 + 2\cdot 2} = - \frac{4}{5}. \end{aligned}\end{split}$$

Viimeisessä vaiheesssa sijoitettiin pisteen $( 1,2 )$ koordinaatit.

Palautusta lähetetään...