$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Käyrän tangentti ja normaali

Derivaatan graafinen tulkinta on käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin. Näin ollen derivaatan avulla voidaan selvittää käyrälle piirretyn tangentin ja toisaalta myös normaalin yhtälö.

Olkoon käyrä $y = f( x )$. Tällöin pisteeseen $( a, f( a ))$ piirretyn tangentin yhtälö on

$$y - f( a ) = f'( a )(x - a),$$

missä tangentin kulmakerroin on $k_T = f'( a )$. Koska normaali on kohtisuorassa tangenttia vasten, niin pätee normaalin kulmakertoimelle

$$k_N \cdot k_T = -1 \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{k_t} \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{f'( a ) }.$$

Tällöin normaalin yhtälö on

$$y - f( a ) = \frac{1}{f'( a ) }(x - a).$$

Esimerkki 3.1.1

Määritä käyrän $y = 3x^2 + x$ pisteeseen $(-1, 2)$ asetetun tangentin ja normaalin yhtälö.

Piilota/näytä ratkaisu

Suoran yhtälön määrittämiseen tarvitaan suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste. Tehtävässä on annettu yksi piste, joten nyt täytyy vielä määrittää kyseisen suoran kulmakerroin.

Tangentin kulmakerroin saadaan derivaatan avulla

$$y' = 3\cdot 2x + 1 = 6x + 1 ,$$

joten

$$k_T = y'( -1 ) = 6 \cdot (-1) + 1 = -6 + 1 = -5 .$$

Tangentin yhtälöön sijoittamalla piste ja saatu kulmakerroin saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = -5( x - ( -1 ) ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= -5( x + 1 ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = -5x - 5 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 5 + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 3 .\end{aligned}\end{split}$$

Normaalin kulmakerroin on täten

$$k_N = - \frac{1}{y'( -1 ) } = \frac{1}{5}$$

ja normaalin yhtälö suoraan sijoittamalla

$$\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = \frac{1}{5}( x - ( -1 ) ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= \frac{1}{5}( x + 1 ) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5} .\end{aligned}\end{split}$$

Siis tangentin yhtälö on $y = -5x - 3$ ja normaalin yhtälö on $y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5}$.

Palautusta lähetetään...