$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Virhearviointi

Käytännön virhearviointi perustuu differentiaalin käyttöön, koska differentiaali antaa hyvän arvion funktion arvon muutokselle. Differentiaalin avulla voidaan johtaa seuraava tulos.

Funktion $f$ arvo määritetään mittaustuloksen $x = x_0 + \Delta x$ avulla. Tällöin funktion arvoon aiheuttuvalle absoluuttisen virheen $\left( \Delta f \right)$ ylärajalle pätee arvio

$$\Delta f \le \abs{f'( x_0 ) } \cdot \Delta x,$$

jossa virherajat, $\Delta x$ ja $\Delta f$, käsitellään aina positiivisena. Koska derivaatan arvo voi olla myös negatiivinen, niin siten kaavasssa vaaditaan itseisarvomerkit.

Esimerkki 3.6.1

Kuution särmäksi mitattiin $s = (\num{10{,}20} \pm \num{0{,}05})\,\si{\centi\meter}$. Arvioi differentiaalin avulla, millä tarkkuudella kuution tilavuus tunnetaan.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan tilavuus, kun $s = \SI{10{,}20}{\centi\meter}$

$$V = s^3 = (\SI{10{,}20}{\centi\meter})^3 = \SI[input-protect-tokens=\dots]{1061{,}0\dots}{\centi\meter\cubed}.$$

Differentiaalin avulla saadaan absoluuttiselle virheelle yläraja seuraavasti

$$\Delta V \le \abs{V'( s ) } \cdot \Delta s = \abs{3s^2} \cdot \Delta s = \abs{3 \cdot ( \SI{10{,}20}{\centi\meter} )^2} \cdot \SI{0{,}05}{\centi\meter} = \SI{15{,}606}{\centi\meter\cubed} < \SI{20}{\centi\meter\cubed}.$$

Virheet pyöristetään yleensä ylöspäin ja esitetään pääsääntöisesti yhden merkitsevänn numeron tarkkuudella. Näin pyritään välttämään liian optimistisia tuloksia.

Tilavuus virherajoineen on siten $V = (1060 \pm 20)\,\si{\centi\meter\cubed}$.

Virhearvio useammasta mittaustuloksesta

Jos mittaustuloksia on useampi, niin lasketaan jokaisesta mittaustuloksesta aiheutuvien virheiden itseisarvot yhteen, koska pahimmillaan kaikki virheet vaikuttavat samaan suuntaan. Esimerkiksi kahden mittaustuloksen tapauksessa virhe saataisiin seuraavasti.

Funktion $f( x,y )$ arvo määritetään mittaustuloksien $x = x_0 \pm \Delta x$ ja $y = y_0 \pm \Delta y$ avulla. Tällöin funktion arvoon aiheutuvalle virheella pätee arvio

$$\Delta f \le \left| \frac{\d}{\d x } f( x_0, y_0 ) \right| \cdot \Delta x + \left| \frac{\d}{\d y} f( x_0, y_0 ) \right| \cdot \Delta y .$$

Huomautus 3.6.2

Tulos voidaan yleistää, kun mittaustuloksia on useampikin kuin kaksi!

Esimerkki 3.6.3

Ympyrälieriön tilavuuden laskemiseksi määritettiin lieriön pohjan halkaisija $d = (\num{12{,}5} \pm \num{0{,}2})\,\si{\centi\meter}$ ja korkeus $h = (\num{52{,}50} \pm \num{0{,}15})\,\si{\centi\meter}$. Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, millä tarkkuudella lieriön tilavuus tunnetaan.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan tilavuuden arvo kyseisillä mittaustuloksilla

$$V = \frac{\pi}{4}d^2 \cdot h = \frac{\pi}{4}( \SI{12{,}5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI{52{,}50}{\centi\meter} = \SI{6442{,}719}{\centi\meter\cubed}.$$

Lasketaan tilavuuden derivaatat kummankin mitatun suureen suhteen

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{\d V }{\d d} &= \frac{\pi}{4} \cdot 2d \cdot h = \frac{\pi \cdot d \cdot h}{2}, \\ \frac{\d V}{\d h} &= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot 1 = \frac{\pi \cdot d^2}{4} .\end{aligned}\end{split}$$

Tilavuuden absoluuttinen virhe saadaan kaavalla

$$\begin{split}\begin{aligned} \Delta V &\le \left| \frac{\d V}{\d d} \right| \cdot \Delta d + \left| \frac{\d V }{\d h} \right| \cdot \Delta h \\ &= \left| \frac{\pi \cdot d \cdot h}{2} \right| \cdot \Delta d + \left| \frac{\pi \cdot d^2}{4} \right| \cdot \Delta h\\ &= \left| \frac{\pi \cdot \SI{12{,}5}{\centi\meter} \cdot \SI{52{,}50}{\centi\meter}}{2} \right| \cdot \SI{0{,}2}{\centi\meter} + \left| \frac{\pi\cdot ( \SI{12{,}5}{\centi\meter} )^2}{4} \right| \cdot \SI{0{,}15}{\centi\meter} \\ &= \SI{1030{,}835}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}2}{\centi\meter} + \SI{122{,}718}{\centi\meter\squared} \cdot \SI{0{,}15}{\centi\meter} \\ &=\SI{206{,}167}{\centi\meter\cubed} + \SI{18{,}407}{\centi\meter\cubed}\quad \text{(halkaisija tuo siis enemmän virhettä kuin korkeus)} \\ &= \SI{224{,}575}{\centi\meter\cubed} < \SI{300}{\centi\meter\cubed} .\end{aligned}\end{split}$$

Siis tilavuus on virherajoineen $V = (6400 \pm 300)\,\si{\centi\meter\cubed}$. (Tilavuus annetaan samalla tarkkuudella kuin virhe ja se pyöristetään normaaleilla pyöristyssäännöillä ks. ohje alla).

Huomautus 3.6.4 (Suuren arvon ja virheen pyöristäminen)

• Pyöristä ensin virhe ylöspäin yhteen merkitsevään numeroon. Paitsi jos virheen ensimmäiset merkitsevät numerot ovat $10$, $11$, $12$, $13$ tai $14$, niin pyöristä kahteen merkitsevään numeroon ylöspäin. Tämä on niin kutsuttu $15$-sääntö.
• Pyöristä vasta virheen pyöristyksen jälkeen suureen arvo normaaleilla pyöristyssäännöillä samaan tarkkuuteen kuin virhe. Esimerkiksi satojen, ykkösten tai kolmen desimaalin tarkkuuteen.

Virhetarkastelu suhteellisen virheen kautta

Määritelmä 3.6.5

Suureen suhteellinen virhe on

$$\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.$$

Virhetarkasteluja voidaan tehdä tietyissä tapauksissa myös suhteellisen virheen kautta, jolloin vältytään derivaatan laskemiselta. Tämäkin menetelmä perustuu differentiaaliin, jonka avulla voidaan johtaa seuraava tulos.

Mikäli arvioitava funktio $f$ on muotoa $f( x,y ) = k \cdot x^{p} \cdot y^{q}$, missä $k = \text{vakio}$ ja $p, q \in \R$ saadaan mittaustuloksilla $x = x_0 \pm \Delta x$ ja $y = y_0 \pm \Delta y$ sen suhteelliselle virheelle yläraja

$$\left| \frac{\Delta f}{f( x_0, y_0 ) } \right| \le \abs{p} \cdot \left| \frac{\Delta x}{x_0} \right| + \abs{q} \cdot \left| \frac{\Delta y}{y_0} \right|.$$

Toisin sanoen funktion $f$ suhteellinen virhe voidaan laskea muuttujien suhteellisen virheiden avulla. Tämän jälkeen absoluuttinen virhe saadaan kaavalla

$$\Delta f \le \left| \frac{\Delta f}{f(x_0, y_0)} \right| \cdot \abs{f(x_0, y_0)}.$$

Huomautus 3.6.6

Tämäkin tulos voidaan yleistää useammalle mittaustulokselle!

Esimerkki 3.6.7

Ympyrälieriön tilavuuden laskemiseksi määritettiin lieriön pohjan halkaisija $d = (\num{12{,}5} \pm \num{0{,}2})\,\si{\centi\meter}$ ja korkeus $h = (\num{52{,}50} \pm \num{0{,}15})\,\si{\centi\meter}$. Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, millä tarkkuudella lieriön tilavuus tunnetaan.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan tilavuuden arvo tehtävän edellä mainituilla arvoilla

$$V = \frac{\pi}{4} d^2 \cdot h = \frac{\pi}{4} ( \SI{12{,}5}{\centi\meter} )^2 \cdot \SI{52{,}50}{\centi\meter} = \SI{6442{,}719}{\centi\meter\cubed}.$$

Koska tilavuuden laskulauseke on edellä esitettyä muotoa $V = \frac{\pi}{4} d^2 h^{1}$, voidaan tilavuuden $V$ suhteellinen virhe laskea seuraavasti

$$\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| &\le 2 \cdot \left| \frac{\Delta d}{d} \right| + 1\cdot \left| \frac{\Delta h}{h} \right| \\ &= 2\cdot \left| \frac{\SI{0{,}2}{\centi\meter}}{\SI{12{,}5}{\centi\meter}} \right| + \left| \frac{\SI{0{,}15}{\centi\meter}}{\SI{52{,}50}{\centi\meter}} \right| \\ &= \num{0{,}032} + \num{0{,}002857} = \num[input-protect-tokens=\dots]{0{,}03485\dots} ( \approx \SI{3.5}{\%} ) .\end{aligned}\end{split}$$

Absoluuttinen virhe saadaan tämän jälkeen kaavasta

$$\begin{split}\begin{aligned} \left| \frac{\Delta V}{V} \right| \le \num{0{,}03485} &\Leftrightarrow \abs{\Delta V} \le \SI{0{,}03485} \cdot \abs{V} \\ &\Leftrightarrow \abs{\Delta V} \le \num{0{,}03485}\cdot \SI{6442{,}719}{\centi\meter\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{224{,}575\dots}{\centi\meter\cubed} < \SI{300}{\centi\meter\cubed}. \end{aligned}\end{split}$$

Tulos virherajoineen on $V = (6400 \pm 300)\,\si{\centi\meter\cubed}$.

Palautusta lähetetään...