Taulukoita¶

Derivointikaavoja¶

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$	Kaava	Nimi

$x^a$	$ax^{a - 1}$	$x^{\frac{1}{a}}$	$\frac{x^{\frac{1}{a} - 1}}{a}$	$(cf)' = cf'$	vakion siirto
$e^x$	$e^x$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$(f \pm g)' = f' \pm g'$	lineaarisuus
$a^x$	$a^x\ln a$	$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$(fg)' = f'g + fg'$	tulon derivointi
$\sin x$	$\cos x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$	osamäärän derivointi
$\cos x$	$-\sin x$	$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$	ketjusääntö
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$(f^{-1})' = \frac{1}{(f' \circ f^{-1})}$	käänteisfunktion derivointi
$\sinh x$	$\cosh x$	$\operatorname{ar\,sinh}x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\operatorname{ar\,cosh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\tanh x$	$\frac{1}{\cosh^2 x}$	$\operatorname{ar\,tanh}x$	$\frac{1}{1 - x^2}$


$f(x)$	$\int f(x)\,\mathrm{d}x$	Huomioita

$x^n$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$n \in \mathbb Z\setminus \{-1\}$ , ei voimassa pisteen $0$ yli jos $n < 0$
$x^a$	$\frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$	$a \in \mathbb R\setminus \{-1\}$ , voimassa kun $x > 0$
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$	ei voimassa pisteen $0$ yli
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$-\ln\|\cos x\| + C$	ei voimassa pisteiden $\frac{\pi}{2} + n\pi$ , $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\tan x}$	$\ln\|\sin x\| + C$	ei voimassa pisteiden $n\pi$ , $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$	ei voimassa pisteiden $\frac{\pi}{2} + n\pi$ , $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$-\frac{1}{\tan x} + C$	ei voimassa pisteiden $n\pi$ , $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x + C$	voimassa kun $-1 < x < 1$
$\frac{1}{1 + x^2}$	$\arctan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$	$\operatorname{ar\,sinh}x + C$
$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$	$\operatorname{ar\,cosh}x + C$	ei voimassa kun $-1 < x < 1$
$\frac{1}{1 - x^2}$	$\operatorname{ar\,tanh}x + C$	voimassa kun $-1 < x < 1$

Sarjakehitelmä	Suppenemisväli

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty}x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$	$-1 < x < 1$
$e^x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$	$\mathbb R$
$\sin x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \frac{x^9}{362880} - \cdots$	$\mathbb R$
$\cos x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots$	$\mathbb R$
$\ln(1 + x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{k + 1}}{k + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots$	$-1 < x \leq 1$