Processing math: 100%
"
  1. Aliavaruuden määritelmä ja esimerkkejä

Aliavaruuden määritelmä ja esimerkkejä

Algebrallisesti oleellista vektoreille \mx,y∈Rn on, että ne voidaan laskea yhteen, niin että lopputulos pysyy avaruudessa Rn, eli \mx+y∈Rn. Vastaavasti vektoria \mx∈Rn voidaan kertoa millä tahansa reaaliluvulla α∈R lopputuloksen pysyessä avaruudessa, toisin sanoen α\mx∈Rn. Sanommekin että Rn on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen.
Avaruudessa Rn on runsaasti erilaisia osajoukkoja (käyriä, suoria, tasoja, erilaisia pintoja, etc…). Algebrallisesti mielenkiintoisia ovat ne joukot S⊂Rn, jotka ovat suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin sanoen, voimme suorittaa laskutoimituksia joukon S vektoreilla tietäen, että myös laskutoimitusten lopputulos löytyy joukosta S. Tämä mahdollistaa vektorilaskennan, jota tarkastellaan monisteen ensimmäisessä kappaleessa, soveltamisen joukossa S. Tällaisia osajoukkoja kutsutaan aliavaruuksiksi.
Ei-tyhjä joukko S⊂Rn on (avaruuden Rn) aliavaruus, jos
  • \mx,y∈S, niin \mx+y∈S,
  • \mx∈S ja α∈R, niin α\mx∈S.

Välittömästi saadaan kaksi varsin triviaalia esimerkkiä: Huomautus. Rn ja {\m0} ovat aliavaruuksia. Tarkastellaan seuraavaksi edellisen kappaleen vektoreiden virittämiä joukkoja ja sitä, ovatko ne aliavaruuksia.

Lause.  Jos \mv1,...,\mvk∈Rn on
\Span{\mv1,...,\mvk} aliavaruus.
Todistus.  Aliavaruudeksi todistaminen menee aina seuraavalla menetelmällä. Merkitään
S=\Span{\mv1,...,\mvk}.

Palautetaan mieliin, että \Span{\mv1,...,\mvk} on vektoreiden \mv1,...,\mvk lineaarikombinaatioiden joukko, toisin sanoen jokaista \xx∈\Span{\mv1,...,\mvk} kohti löytyy skalaarit a1,..,ak∈R siten, että

\xx=a1\vv1+⋯+ak\vvk.

Ensinnä huomaamme, että \m0∈S, eli S en ei-tyhjä. Seuraavaksi pitää osoittaa aliavaruuden kaksi ehtoa. Otetaan siis \mx,y∈S, joten ne ovat spanin määritelmän mukaan muotoa

\xx=a1\vv1+⋯+ak\vvk,\yy=b1\vv1+⋯+bk\vvk.

Koska

\xx+\yy=(a1+b1)\vv1+⋯+(ak+bk)\vvk∈\Span{\mv1,...,\mvk},

niin näemme, että ensimmäinen ehto \mx+y∈S toteutuu. Voimme siis laskea S:n vektoreita keskenään yhteen huolettomasti tietäen, että lopputulos pysyy S:ssä.

Olkoot seuraavaksi \mx∈S ja α∈R. Koska
α\xx=αa1\vv1+⋯+αak\vvk∈\Span{\mv1,...,\mvk},

niin näemme, että toinen ehto α\mx∈S toteutuu. Näin ollen joukon S alkioita voidaan huoletta kertoa myös skalaarilla tietäen, että aina lopputulos pysyy joukossa S. ◻

Huomautus.

Kannattaa huomata, että alkio 0 kuuluu aina aliavaruuteen. Tämä seuraa jälkimmäisestä ehdosta, sillä 0=0\xx∈S. Aliavaruuden Ei-tyhjyyden osoittamiseksi on usein käyttökelpoista osoittaa: 0∈S.