Aliavaruuden määritelmä ja esimerkkejä¶

Algebrallisesti oleellista vektoreille \(\m{x,y}\in\mathbb{R}^n\)
on, että ne voidaan laskea yhteen, niin että lopputulos pysyy
avaruudessa \(\mathbb{R}^n\), eli \(\m{x+y}\in\mathbb{R}^n\).
Vastaavasti vektoria \(\m{x}\in\mathbb{R}^n\) voidaan kertoa millä
tahansa reaaliluvulla \(\alpha\in\mathbb{R}\) lopputuloksen
pysyessä avaruudessa, toisin sanoen
\(\alpha\m{x}\in\mathbb{R}^n\). Sanommekin että
\(\mathbb{R}^n\) on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
kertomisen suhteen.
Avaruudessa \(\mathbb{R}^n\) on runsaasti erilaisia osajoukkoja
(käyriä, suoria, tasoja, erilaisia pintoja, etc…). Algebrallisesti
mielenkiintoisia ovat ne joukot \(S\subset\mathbb{R}^n\), jotka
ovat suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, toisin
sanoen, voimme suorittaa laskutoimituksia joukon \(S\) vektoreilla
tietäen, että myös laskutoimitusten lopputulos löytyy joukosta
\(S\). Tämä mahdollistaa vektorilaskennan, jota tarkastellaan
monisteen ensimmäisessä kappaleessa, soveltamisen joukossa \(S\).
Tällaisia osajoukkoja kutsutaan aliavaruuksiksi.
Ei-tyhjä joukko \(S\subset\mathbb{R}^n\) on (avaruuden
\(\mathbb{R}^n\)) aliavaruus, jos

\(\m{x,y}\in S\), niin \(\m{x+y}\in S\),
\(\m{x}\in S\) ja \(\alpha\in\mathbb{R}\), niin \(\alpha\m{x}\in S\).

Välittömästi saadaan kaksi varsin triviaalia esimerkkiä: Huomautus. \(\mathbb{R}^n\) ja \(\{\m{0}\}\) ovat aliavaruuksia. Tarkastellaan seuraavaksi edellisen kappaleen vektoreiden virittämiä joukkoja ja sitä, ovatko ne aliavaruuksia.

Lause. Jos \(\m{v}_1,...,\m{v}_k\in\mathbb{R}^n\) on

\(\Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}}\) aliavaruus.

Todistus. Aliavaruudeksi todistaminen menee aina seuraavalla menetelmällä. Merkitään

\[S=\Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}}.\]

Palautetaan mieliin, että \(\Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}}\) on vektoreiden \(\m{v}_1,...,\m{v}_k\) lineaarikombinaatioiden joukko, toisin sanoen jokaista \(\xx\in \Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}}\) kohti löytyy skalaarit \(a_1,..,a_k\in\mathbb R\) siten, että

\[\xx=a_1\vv_1+\cdots+a_k\vv_k.\]

Ensinnä huomaamme, että \(\m{0}\in S\), eli \(S\) en ei-tyhjä. Seuraavaksi pitää osoittaa aliavaruuden kaksi ehtoa. Otetaan siis \(\m{x,y}\in S\), joten ne ovat spanin määritelmän mukaan muotoa

\[\begin{split}\begin{aligned} \xx=a_1\vv_1+\cdots+a_k\vv_k,\\ \yy=b_1\vv_1+\cdots+b_k\vv_k.\end{aligned}\end{split}\]

Koska

\[\xx+\yy=(a_1+b_1)\vv_1+\cdots+(a_k+b_k)\vv_k\in\Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}},\]

niin näemme, että ensimmäinen ehto \(\m{x+y}\in S\) toteutuu. Voimme siis laskea \(S\):n vektoreita keskenään yhteen huolettomasti tietäen, että lopputulos pysyy \(S\):ssä.

Olkoot seuraavaksi \(\m{x}\in S\) ja \(\alpha\in\mathbb{R}\). Koska

\[\alpha \xx=\alpha a_1\vv_1+\cdots+\alpha a_k\vv_k\in\Span{\{\m{v}_1,...,\m{v}_k\}},\]

niin näemme, että toinen ehto \(\alpha\m{x}\in S\) toteutuu. Näin ollen joukon \(S\) alkioita voidaan huoletta kertoa myös skalaarilla tietäen, että aina lopputulos pysyy joukossa \(S\). \(\square\)

Huomautus.

Kannattaa huomata, että alkio \(\mathbf{0}\) kuuluu aina aliavaruuteen. Tämä seuraa jälkimmäisestä ehdosta, sillä \(\mathbf{0}=0\xx\in S\). Aliavaruuden Ei-tyhjyyden osoittamiseksi on usein käyttökelpoista osoittaa: \(\mathbf{0}\in S\).