Käänteismatriisi¶

Tarkastellaan matriisiyhtälöä $A\xx=\bbb$, missä $A$ on $n\times n$-matriisi. Halutaan löytää matriisi $A'$, jolle $A'A=I_n$. Tällöin saataisiin yhtälö ratkaistua seuraavasti

\[\begin{split}\begin{aligned} A\xx=\bbb && \Leftrightarrow A'(A\xx)=A'\bbb\\ &&\Leftrightarrow (A'A)\xx=A'\bbb \\ &&\Leftrightarrow I_n\xx=A'\bbb \\ &&\Leftrightarrow \xx=A'\bbb. \\\end{aligned}\end{split}\]

Määritelmä.

Jos $A$ on $n \times n$-matriisi ja löydetään $n \times n$-matriisi $B$, jolle

\[AB=I_n \;\text{ ja } \; BA=I_n,\]

niin matriisi $B$ on matriisin $A$ käänteismatriisi (tai inverssi). Jos matriisille $A$ löydetään käänteismatriisi, niin sanotaan, että matriisi $A$ on kääntyvä. Matriiseja, jotka eivät ole kääntyviä kutsutaan myös singulaarisiksi ja luonnollisesti matriiseja, jotka kääntyvät ei-singulaarisiksi.

Huomautus.

Kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä!

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin matriisin $A$ käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Merkitään matriisin $A$ käänteismatriisia $A^{-1}$.

Todistus. Oletetaan, että matriisilla $A$ on kaksi käänteismatriisia $A'$ ja $A''$ eli $A'A=AA'=I_n$ ja $A''A=AA''=I_n$. Tällöin

\[A'=A'I_n=A'(AA'')=(A'A)A''=I_nA''=A''.\]

Siis $A'=A''$, joten käänteismatriisi on yksikäsitteinen. $\square$

Yhtälöryhmän ratkaisu saadaan käänteismatriisin avulla seuraavasti.

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä $n \times n$-matriisi, niin lineaarisella yhtälöryhmällä $A\xx=\bbb$ on yksikäsitteinen ratkaisu $\xx=A^{-1}\bbb$, $\forall \bbb \in \mathbb R^n$.

Todistus. Oletetaan, että $A$ on kääntyvä, tällöin on olemassa $A^{-1}$, jolle $AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$. $\xx=A^{-1}\bbb$ on tällöin yhtälöryhmän $A\xx=\bbb$ ratkaisu, sillä

\[A\xx=A(A^{-1}\bbb)=I_n\bbb=\bbb.\]

Ratkaisu on myös yksikäsitteinen. Olkoon $\yy$ toinen ratkaisu. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} A\yy=\bbb && \Leftrightarrow A^{-1}(A\yy)=A^{-1}\bbb\\ &&\Leftrightarrow I_n\yy=A^{-1}\bbb \\ &&\Leftrightarrow \yy=A^{-1}\bbb\end{aligned}\end{split}\]

eli ratkaisut ovat samat. $\square$

$2\times 2$-matriiseille saadaan seuraava helpohko (jopa ulkoa muistettavissa oleva) sääntö.

Lause.

Jos $A= \left[ \begin{array}{cc} a\, &b \, \\ c&d \end{array}\right]$, niin $A$ on kääntyvä, jos $ad-bc \neq 0$ ja tällöin

\[\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{array}{cc} d\, &-b \, \\ -c&a \end{array}\right].\end{split}\]

Todistus. Suoralla laskulla. $\square$

Huomaa, että kaikki $2\times 2$-matriisit eivät ole kääntyviä. Kääntyvyyden ehtona on, että $ad-bc \neq 0$.

Käänteismatriisin ominaisuuksia¶

Listataan seuraavaan lauseeseen kaikki tärkeimmät käänteismatriisin algebralliset ominaisuudet.

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^{-1}$ on kääntyvä ja

\[(A^{-1})^{-1}=A.\]
Jos $A$ on kääntyvä matriisi ja $c$ on nollasta poikkeava skalaari, niin $cA$ on kääntyvä ja

\[(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.\]
Jos $A$ ja $B$ ovat kääntyviä samankokoisia matriiseja, niin $AB$ on kääntyvä ja

\[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.\]
Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^T$ on kääntyvä ja

\[(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.\]
Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^n, \, n \in \mathbb N$ on kääntyvä ja

\[(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n.\]

Todistus.

Todistetaan kohta (e) induktiolla

Induktion alku. Kun $n=1$, niin $A^1$ on kääntyvä, sillä $A=A^1$ ja $A^{-1}A=AA^{-1}=I_n$.
Induktio-oletus. Oletetaan, että arvolla $n=k$ matriisi $A^k$ on kääntyvä ja $(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$.

Induktioaskel. Osoitetaan induktio-oletuksen perusteella, että $A^{k+1}$ on kääntyvä ja $(A^{k+1})^{-1}=(A^{-1})^{k+1}$. Induktio-oletuksen perusteella

\[\begin{split}\begin{aligned} &&A^{k+1}(A^{-1})^{k+1}=AA^{k}(A^{-1})^{k}A^{-1}=AI_nA^{-1}=I_n \text{ ja }\\ &&(A^{-1})^{k+1}A^{k+1}=A^{-1}(A^{-1})^{k}A^{k}A=A^{-1}I_nA=I_n,\end{aligned}\end{split}\]

joten $A^{k+1}$ on kääntyvä. Lisäksi induktio-oletuksen mukaan

\[(A^{k+1})^{-1}=(A^{k}A)^{-1}=A^{-1}(A^{k})^{-1}=A^{-1}(A^{-1})^{k}=(A^{-1})^{k+1}.\]

Kohdista 1) ja 2) seuraa induktioperiaatteen mukaan, että väite pätee $\forall n \in \mathbb N$. $\square$

Jos $A$ on kääntyvä matriisi ja $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin määritellään matriisin $A$ negatiiviset potenssit

\[A^{-n}:=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}.\]

Vastaavasti merkitään (etenkin insinöörikirjallisuudessa) transpoosin käänteismatriisia

\[A^{-T}:=(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.\]

Esimerkki.

- Olkoot
  
  \[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } \; 2 \;& \; 4 \\ 1 \;& 3 \end{array}\right]\text{ ja } \quad \bbb=\left[\begin{array}{r } \; -1 \\ 2 \end{array}\right].\end{split}\]
  
  Etsi $A^{-1}$ ja ratkaise $A \xx= \bbb$.
- Ratkaise yhtälöryhmä (a)-kohdan menetelmää käyttäen
  
  \[\begin{split}\left\{ \begin{array}{lcc} \,2x_1+x_2&=&2\\ \,x_1 \,-x_2\,&=&1.\\ \end{array}\right.\end{split}\]
Oletetaan, että seuraavat matriisit ovat kääntyviä ja sellaisia, että matriisitulot ovat olemassa. Ratkaise $X$, kun
- $AXA^2=A^{-1}$,
- $AXB=(BA)^2$.

Ratkaisu.

- Yhtälön $A\xx=\bbb$ ratkaisu on $\xx=A^{-1}\bbb$ ja $A$:n kaltaisen $2\times 2$-neliömatriisin käänteismatriisi voidaan laskea Lauseen mukaisesti.
  
  \[\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{2\cdot3-1\cdot4}\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\end{split}\]
  
  Yhtälön ratkaisuksi saadaan siis
  
  \[\begin{split}\xx=A^{-1}\bbb=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2}\cdot(-1)+(-2)\cdot2 \\ -\frac{1}{2}\cdot(-1)+1\cdot2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{11}{2} \\ \frac{5}{2} \end{bmatrix}\end{split}\]
- Esitetään yhtälöpari matriisimuodossa $A\xx=\bbb$, eli $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
  
  Lasketaan $A^{-1}$ samoin kuin (a)-kohdassa
  
  \[\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{2\cdot(-1)-1\cdot1} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{bmatrix}\end{split}\]
  
  Ja nyt ratkaisu saadaan
  
  \[\begin{split}\xx=A^{-1}\bbb=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 1 \\ \frac{1}{3} \cdot 2 + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]
- Tällaisia matriisiyhtälöitä ratkottaessa on tärkeää muistaa se, että matriisitulo ei ole vaihdannainen. Sillä siis on väliä, kerrotaanko yhtälön molemmat puolet jollain matriisilla vasemmalta vai oikealta.
  
  \[\begin{split}\begin{aligned} AXA^2&=A^{-1} & & \text{kerrotaan puolittain vasemmalta } A^{-1}\text{:llä} \\ A^{-1}AXA^2&=A^{-1}A^{-1} & & \\ XA^2&=A^{-2} & & \text{kerrotaan puolittain oikealta $A^{-2}$:lla} \\ XA^2A^{-2}&=A^{-2}A^{-2} \\ X&=A^{-4} \end{aligned}\end{split}\]
- \[\begin{split}\begin{aligned} AXB&=(BA)^2 & & \text{kerrotaan puolittain vasemmalta $A^{-1}$:llä} \\ A^{-1}AXB&=A^{-1}(BA)^2 & & \\ XB&=A^{-1}(BA)^2 & & \text{kerrotaan oikealta puolittain $B^{-1}$:llä} \\ XBB^{-1}&=A^{-1}(BA)^2B^{-1} & & \\ X&=A^{-1}(BA)^2B^{-1} \end{aligned}\end{split}\]

Elementaarimatriisit¶

Yhtälöryhmää $A\xx=\bbb$ ratkaistaessa turvauduttiin aiemmin Gaußin eliminaation ja alkeisrivimuunnosten tekemiseen kokonaismatriisille $[A| \bbb]$. Alkeismatriisit ovat matriiseja, joiden avulla alkeisrivimuunnosten tekeminen voidaan systematisoida ts. jokainen muunnos (rivien vaihto $R_i\leftrightarrow R_j$, rivin skalaarilla kertominen $kR_j$, rivin lisääminen toiseen skalaarilla kerrottuna $R_i+kR_j$) voidaan esittää matriisitulona.

Elementaarimatriisi :class: aside

on matriisi, joka saadaan: yksikkömatriisista yhdellä elementaarisella vaakarivimuunnoksella.

Merkitään operaatoita $R_i\leftrightarrow R_j$, $kR_j$ ja $R_i+kR_j$ vastaavia elementaarimatriiseja

\[E_{ij},\ E_j(k),\ E_{ij}(k).\]

Esimerkki.

$3\times 3$-matriisien elementaarimatriiseja:

\[\begin{split}E_{13}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\ E_{2}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\ E_{23}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Lause.

Olkoon $E$ elementaarimatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista $I_n$ elementaarisella vaakarivimuunnoksella. Jos samaa elementaarista vaakarivimuunnosta sovelletaan $n \times r$-matriisiin $A$, niin saadaan matriisi, joka vastaa matriisituloa $EA$.

Todistus. Yleisessä tilanteessa suoraviivainen, mutta notaatioteknisesti hankala, lasku. $\square$

Koska alkeisrivioperaatiot ovat kääntyviä, saadaan seuraava tulos välittömästi:

Lause.

Jokainen elementaarimatriisi on kääntyvä ja elementaarimatriisin käänteismatriisi on elementaarimatriisi, joka vastaa käänteistä elementaarista vaakarivimuunnosta.

Todistus.

Tarkastellaan esimerkiksi matriisia $E_{ij}$ joka vaihtaa rivit $i$ ja $j$. Koska matriisi $E_{ji}$ vaihtaa rivit jälleen takaisin alkuperäisiksi, saadaan, että

\[E_{ij}E_{ji}=I_n,\]

eli $E_{ij}^{-1}=E_{ji}$. Vastaavasti voidaan tarkastella (HT) elementaarimatriiseja $E_{j}(k)^{-1}$ ja $E_{ij}(k)^{-1}$. $\square$

Määritellään sitten laajasti matriisien kääntyvyyttä kuvaava kääntyvien matriisien peruslause

Lause.

Olkoon $A$ $n \times n$-matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.

$A$ on kääntyvä.
Yhtälöllä $A \xx =\bbb$ on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella $\bbb \in \mathbb R^n$.
Yhtälöllä $A \xx =\mathbf{0}$ on ainoastaan triviaaliratkaisu.
Matriisin $A$ redusoitu vaakariviporrasmuoto on $I_n$.
$A$ on elementaarimatriisien tulo.

Todistus.  Todistetaan implikaatioketju
\((a)\Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (d)\Rightarrow
(e)\Rightarrow (a)\)
\((a) \Rightarrow (b)\)
Tämän lauseen mukaan, jos
\(A\) on kääntyvä, niin yhtälöllä \(A \xx =\bbb\) on
yksikäsitteinen ratkaisu \(\xx=A^{-1}\bbb,
\; \forall
\bbb \in \mathbb R^n\).
\((b) \Rightarrow (c)\)
Oletetaan, että yhtälöllä \(A \xx =\bbb\) on yksikäsitteinen
ratkaisu jokaisella \(\bbb \in \mathbb R^n\). Tällöin myös
homogeenisella yhtälöryhmällä \(A\xx=\nol\) on yksikäsitteinen
ratkaisu. Jos homogeenisella yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen
ratkaisu, on se aina triviaaliratkaisu \(\xx=\nol\).
\((c) \Rightarrow (d)\)
Oletetaan, että yhtälöryhmällä \(A\xx=\nol\) on vain
triviaaliratkaisu. Tällöin kokonaismatriisi \([A | \nol]\) saadaan
elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla muotoon \([I_n | \nol]\),
eli matriisin \(A\) redusoitu vaakariviporrasmuoto on \(I_n\).
\((d) \Rightarrow (e)\)
Oletetaan, että \(\text{rref}(A)=I_n\). Tällöin matriisi \(A\)
saadaan matriisista \(I_n\) äärellisellä määrällä elementaarisia
vaakarivimuunnoksia. Jokaista muunnosta vastaa matriisin kertominen
vasemmalta elementaarimatriisilla. Joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &E_k\cdots E_2 E_1 A =I_n \\&\Leftrightarrow \\ &(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}E_k\cdots E_2 E_1 A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n\\ &\Leftrightarrow\\ &A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1},\end{aligned}\end{split}\]

missä $E_i$:t ovat elementaarisia matriiseja. Näin ollen $A$ voidaan lausua elementaarimatriisien tulona.

$(e) \Rightarrow (a)$

Jos $A$ on elementaarimatriisien tulo, niin $A$ on kääntyvä, sillä elementaarimatriisit ovat kääntyviä ja kääntyvien matriisien tulo on kääntyvä. $\square$

Lause.

Olkoon $A$ neliömatriisi. Jos $B$ on neliömatriisi ja $AB=I_n$ tai $BA=I_n$, niin $A$ on kääntyvä ja $B=A^{-1}$.

Todistus. Olkoon $BA=I_n$, jolloin homogeeniselle yhtälölle pätee

\[A\xx=\nol \Leftrightarrow \xx=BA\xx=B\nol=\nol \Leftrightarrow \xx=\nol.\]

Systeemillä on siis yksikäsitteinen ratkaisu, joten kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan $A$ on kääntyvä ja tällöin

\[BA=I_n \Leftrightarrow BAA^{-1}= I_nA^{-1} \Leftrightarrow B=A^{-1}.\]

Oletuksella seuraavaksi $AB=I_n$. Vaihtamalle yllä olevassa päättelyssä $A$:n ja $B$:n roolit, saadaan, että $B^{-1}=A$ ja käänteismatriisin ominaisuuksia kuvaavan kaant-peruslause nojalla $B=A^{-1}$. $\square$

Seuraava lause on keskeisellä sijalla käänteismatriisien teoriassa, sillä sen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi kaikille kääntyville matriiseille.

Lause.

Olkoon $A$ neliömatriisi. Jos elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan matriisista $A$ yksikkömatriisi $I_n$, niin samoilla elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan yksikkömatriisista $I_n$ matriisi $A^{-1}$.

Todistus. Oletetaan, että $A$ on riviekvivalentti yksikkömatriisin $I_n$ kanssa ja olkoot $E_1,...,E_k$ vastaavat elementaarimatriisit, siis

\[E_k\cdots E_1A=I_n.\]

Näin ollen

\[B=E_k\cdots E_1\]

toteuttaa yhtälön $BA=I_n$ joten edellisen lauseen nojalla

\[A^{-1}=E_k\cdots E_1.\]

Tämä todistaa lauseen. $\square$

HUOM! Lauseessa on siis oleellista se, että matriisi $A$ voidaan alkeisrivimuunnoksilla muuntaa yksikkömatriisiksi. Ellei tämä onnistu, ei käänteismatriisi ole olemassa.

Käänteismatriisin laskeminen Gaußin eliminointimenetelmällä¶

Yllä olevan lauseen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin
laskemiseksi. Riittää siis muuntaa matriisi \(A\)
yksikkömatriisiksi ja pitää kirjaa mitä muunnoksia on tehty.
Käänteismatriisi saadaan sitten näiden muunnosten tulona. Tämä voidaan
systematisoida seuraavasti:
Tarkastellaan neliömatriisia \(A\). Muodostetaan kokonaismatriisi
\([A| I_n]\).
Jos \(A\) saadaan vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin
\(I_n\) kanssa elementaarisilla vaakarivioperaatioilla, niin
matriisilla \(A\) on käänteismatriisi \(A^{-1}\).
Kun matriisia \(A\) muokatessa yksikkömatriisiksi \(I_n\),
yksikkömatriisille \(I_n\) tehdään samat elementaariset
vaakarivioperaatiot, saadaan yksikkömatriisista muokattua
\(A^{-1}\), siis jos \(E_k\cdots E_1A=I_n\), niin

\[[A| I_n]\rightarrow \cdots \rightarrow [E_k\cdots E_1A\ |\ E_k\cdots E_1I_n]=[I_n|A^{-1}].\]

Näin saadaan:

Käänteismatriisin muodostaminen Gaußin eliminoinnilla

Muodosta kokonaismatriisi $[A| I_n]$,
Pyri muuntamaan kokonaismatriisi muotoon, jossa ensimmäiseksi tulee yksikkömatriisi:

\[[A| I_n]\to\cdots\to [I_n| A^{-1}]\]
Käänteismatriisi muodostuu jälkimmäiseksi matriisiksi automaattisesti (mikäli on olemassa).

Jos matriisia $A$ ei saada vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin $I_n$ kanssa, EI matriisilla $A$ ole käänteismatriisia.

Esimerkki. Muodosta matriisin

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 2 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\end{split}\]

käänteismatriisi

Ratkaisu.

Muodostetaan kokonaismatriisi ja ryhdytään tekemään alkeisrivimuunnoksia:

\[\begin{split}\begin{aligned} &[A| I_3] =\begin{bmatrix} 2 & 0 &1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} {}^{\frac{1}{2}R_1}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &{}^{R_3+(-1)R_1}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} {}^{\frac{2}{3}R_3}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\\ &{}^{R_1+(-\frac{1}{2})R_3}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix} =[I_3 | A^{-1}],\end{aligned}\end{split}\]

joten koska $I_3$ saatiin muodostettua ensimmäiseksi matriisiksi, niin $A^{-1}$ on olemassa ja

\[\begin{split}A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\end{split}\]

Esimerkki.

Etsi matriisien $A$ ja $B$ käänteismatriisit (jos sellaiset ovat olemassa) Gaußin eliminointimenetelmää käyttäen, kun

\[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -2 \;& \; -1 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; 0 \\ \; 4 \;& \; 0 \;& \; -2 \\ \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{r r r} \; 2 \;& \; -2 \;& \; 4 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; -1 \\ \; 3 \;& \; 1 \;& \; 2 \\ \end{array}\right]. \quad\end{split}\]
Osoita, että jos matriisin $A$ käänteismatriisi $A^{-1}$ on symmetrinen, niin myös $A$ on symmetrinen.

Ratkaisu.

Muodostetaan kokonaismatriisit $[A|I_3]$ ja $[B|I_3]$ ja käytetään Gaußin eliminointia

\[\begin{split}\begin{aligned} [A|I_3]&=\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{R_1-\frac{1}{2}R_3} \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_1+\frac{2}{3}R_2} \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 3 & 0 & -6 & -3 & 3 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_3-4R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -12 & -8 & 7 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{-\frac{1}{2}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & 4 & -\frac{7}{2} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Kokonaismatriisi siis saatiin vaakarivimuunnoksilla muotoon $[I_3|A^{-1}]$ ja näin ollen käänteismatriisi :math:`A^{-1}=begin{bmatrix}

3 & 2 & -frac{3}{2} \ -2 & -1 & 1 \ 6 & 4 & -frac{7}{2} \

end{bmatrix}`. Laskutoimituksen oikeellisuuden voi vielä

tarkistaa kertomalla $AA^{-1}$ ja jos tuloksi saadaan $I$, on käänteismatriisi laskettu oikein.

Matriisi $B$ ei ole kääntyvä. Kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan matriisin redusoidun riviporrasmuodon tulee olla identiteettimatriisi, jotta se voi olla kääntyvä. Kun matriisi $B$ muutetaan rref-muotoon, huomataan, että $rref(B) \neq I$.

\[\begin{split}\begin{aligned} B&=\begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_2-R_1} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-\frac{3}{2}R_1}\begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} \\ [0.8 em] &\underrightarrow{R_1+\frac{1}{2}R_3}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-\frac{4}{5}R_2}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \underrightarrow{\frac{1}{2}R_1, \frac{1}{5}R_2}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]
Todistus. Oletetaan, että matriisin $A$ käänteismatriisi on symmetrinen, eli $A^{-1}=(A^{-1})^T$. Osoitetaan, että tällöin myös $A$ on symmetrinen, eli $A=A^T$.

\[\begin{split}\begin{aligned} A&=AI & & \text{identiteettimatriisilla kertominen} \\ &=A(A^{-1}A) & & \text{myös $(A^{-1})^TA^T=I$} \\ &=A((A^{-1})^TA^T) & & \text{oletus $A^{-1}=(A^{-1})^T$} \\ &=A(A^{-1}A^T) & & \\ &=(AA^{-1})A^T & & \\ &= IA^T & & \\ &=A^T & & \end{aligned}\end{split}\]

$\square$