Processing math: 8%
"

Käänteismatriisi

Tarkastellaan matriisiyhtälöä A\xx=\bbb, missä A on n×n-matriisi. Halutaan löytää matriisi A, jolle AA=In. Tällöin saataisiin yhtälö ratkaistua seuraavasti

A\xx=\bbbA(A\xx)=A\bbb(AA)\xx=A\bbbIn\xx=A\bbb\xx=A\bbb.

Määritelmä.

Jos A on n×n-matriisi ja löydetään n×n-matriisi B, jolle

AB=In ja BA=In,

niin matriisi B on matriisin A käänteismatriisi (tai inverssi). Jos matriisille A löydetään käänteismatriisi, niin sanotaan, että matriisi A on kääntyvä. Matriiseja, jotka eivät ole kääntyviä kutsutaan myös singulaarisiksi ja luonnollisesti matriiseja, jotka kääntyvät ei-singulaarisiksi.

Huomautus.

Kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä!

Lause.

Jos A on kääntyvä matriisi, niin matriisin A käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Merkitään matriisin A käänteismatriisia A1.

Todistus.  Oletetaan, että matriisilla A on kaksi käänteismatriisia A ja A eli A'A=AA'=I_n ja A''A=AA''=I_n. Tällöin
A'=A'I_n=A'(AA'')=(A'A)A''=I_nA''=A''.

Siis A'=A'', joten käänteismatriisi on yksikäsitteinen. \square

Yhtälöryhmän ratkaisu saadaan käänteismatriisin avulla seuraavasti.

Lause.

Jos A on kääntyvä n \times n-matriisi, niin lineaarisella yhtälöryhmällä A\xx=\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu \xx=A^{-1}\bbb, \forall \bbb \in \mathbb R^n.

Todistus.  Oletetaan, että A on kääntyvä, tällöin on olemassa A^{-1}, jolle AA^{-1}=A^{-1}A=I_n. \xx=A^{-1}\bbb on tällöin yhtälöryhmän A\xx=\bbb ratkaisu, sillä
A\xx=A(A^{-1}\bbb)=I_n\bbb=\bbb.

Ratkaisu on myös yksikäsitteinen. Olkoon \yy toinen ratkaisu. Tällöin

\begin{split}\begin{aligned} A\yy=\bbb && \Leftrightarrow A^{-1}(A\yy)=A^{-1}\bbb\\ &&\Leftrightarrow I_n\yy=A^{-1}\bbb \\ &&\Leftrightarrow \yy=A^{-1}\bbb\end{aligned}\end{split}

eli ratkaisut ovat samat. \square

2\times 2-matriiseille saadaan seuraava helpohko (jopa ulkoa muistettavissa oleva) sääntö.

Lause.

Jos A= \left[ \begin{array}{cc} a\, &b \, \\ c&d \end{array}\right], niin A on kääntyvä, jos ad-bc \neq 0 ja tällöin

\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{array}{cc} d\, &-b \, \\ -c&a \end{array}\right].\end{split}
Todistus.  Suoralla laskulla. \square
Huomaa, että kaikki 2\times 2-matriisit eivät ole kääntyviä. Kääntyvyyden ehtona on, että ad-bc \neq 0.

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Listataan seuraavaan lauseeseen kaikki tärkeimmät käänteismatriisin algebralliset ominaisuudet.

Lause.

  • Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^{-1} on kääntyvä ja

    (A^{-1})^{-1}=A.
  • Jos A on kääntyvä matriisi ja c on nollasta poikkeava skalaari, niin cA on kääntyvä ja

    (cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.
  • Jos A ja B ovat kääntyviä samankokoisia matriiseja, niin AB on kääntyvä ja

    (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
  • Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^T on kääntyvä ja

    (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.
  • Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^n, \, n \in \mathbb N on kääntyvä ja

    (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n.
Todistus.
Jos A on kääntyvä matriisi ja n on positiivinen kokonaisluku, niin määritellään matriisin A negatiiviset potenssit
A^{-n}:=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}.

Vastaavasti merkitään (etenkin insinöörikirjallisuudessa) transpoosin käänteismatriisia

A^{-T}:=(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.

Esimerkki.

    • Olkoot

      \begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } \; 2 \;& \; 4 \\ 1 \;& 3 \end{array}\right]\text{ ja } \quad \bbb=\left[\begin{array}{r } \; -1 \\ 2 \end{array}\right].\end{split}

      Etsi A^{-1} ja ratkaise A \xx= \bbb.

    • Ratkaise yhtälöryhmä (a)-kohdan menetelmää käyttäen

      \begin{split}\left\{ \begin{array}{lcc} \,2x_1+x_2&=&2\\ \,x_1 \,-x_2\,&=&1.\\ \end{array}\right.\end{split}
  • Oletetaan, että seuraavat matriisit ovat kääntyviä ja sellaisia, että matriisitulot ovat olemassa. Ratkaise X, kun

    • AXA^2=A^{-1},
    • AXB=(BA)^2.
Ratkaisu.

Elementaarimatriisit

Yhtälöryhmää A\xx=\bbb ratkaistaessa turvauduttiin aiemmin Gaußin eliminaation ja alkeisrivimuunnosten tekemiseen kokonaismatriisille [A| \bbb]. Alkeismatriisit ovat matriiseja, joiden avulla alkeisrivimuunnosten tekeminen voidaan systematisoida ts. jokainen muunnos (rivien vaihto R_i\leftrightarrow R_j, rivin skalaarilla kertominen kR_j, rivin lisääminen toiseen skalaarilla kerrottuna R_i+kR_j) voidaan esittää matriisitulona.

Elementaarimatriisi :class: aside

on matriisi, joka saadaan
yksikkömatriisista yhdellä elementaarisella vaakarivimuunnoksella.

Merkitään operaatoita R_i\leftrightarrow R_j, kR_j ja R_i+kR_j vastaavia elementaarimatriiseja

E_{ij},\ E_j(k),\ E_{ij}(k).

Esimerkki.

3\times 3-matriisien elementaarimatriiseja:

\begin{split}E_{13}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\ E_{2}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\ E_{23}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\end{split}

Lause.

Olkoon E elementaarimatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I_n elementaarisella vaakarivimuunnoksella. Jos samaa elementaarista vaakarivimuunnosta sovelletaan n \times r-matriisiin A, niin saadaan matriisi, joka vastaa matriisituloa EA.

Todistus.  Yleisessä tilanteessa suoraviivainen, mutta notaatioteknisesti hankala, lasku. \square
Koska alkeisrivioperaatiot ovat kääntyviä, saadaan seuraava tulos välittömästi:

Lause.

Jokainen elementaarimatriisi on kääntyvä ja elementaarimatriisin käänteismatriisi on elementaarimatriisi, joka vastaa käänteistä elementaarista vaakarivimuunnosta.

Todistus.

Määritellään sitten laajasti matriisien kääntyvyyttä kuvaava kääntyvien matriisien peruslause

Lause.

Olkoon A n \times n-matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.

  • A on kääntyvä.
  • Yhtälöllä A \xx =\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella \bbb \in \mathbb R^n.
  • Yhtälöllä A \xx =\mathbf{0} on ainoastaan triviaaliratkaisu.
  • Matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto on I_n.
  • A on elementaarimatriisien tulo.
Todistus.  Todistetaan implikaatioketju (a)\Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (d)\Rightarrow (e)\Rightarrow (a)
(a) \Rightarrow (b)
Tämän lauseen mukaan, jos A on kääntyvä, niin yhtälöllä A \xx =\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu \xx=A^{-1}\bbb, \; \forall \bbb \in \mathbb R^n.
(b) \Rightarrow (c)
Oletetaan, että yhtälöllä A \xx =\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella \bbb \in \mathbb R^n. Tällöin myös homogeenisella yhtälöryhmällä A\xx=\nol on yksikäsitteinen ratkaisu. Jos homogeenisella yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, on se aina triviaaliratkaisu \xx=\nol.
(c) \Rightarrow (d)
Oletetaan, että yhtälöryhmällä A\xx=\nol on vain triviaaliratkaisu. Tällöin kokonaismatriisi [A | \nol] saadaan elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla muotoon [I_n | \nol], eli matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto on I_n.
(d) \Rightarrow (e)
Oletetaan, että \text{rref}(A)=I_n. Tällöin matriisi A saadaan matriisista I_n äärellisellä määrällä elementaarisia vaakarivimuunnoksia. Jokaista muunnosta vastaa matriisin kertominen vasemmalta elementaarimatriisilla. Joten
\begin{split}\begin{aligned} &E_k\cdots E_2 E_1 A =I_n \\&\Leftrightarrow \\ &(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}E_k\cdots E_2 E_1 A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n\\ &\Leftrightarrow\\ &A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1},\end{aligned}\end{split}

missä E_i:t ovat elementaarisia matriiseja. Näin ollen A voidaan lausua elementaarimatriisien tulona.

(e) \Rightarrow (a)
Jos A on elementaarimatriisien tulo, niin A on kääntyvä, sillä elementaarimatriisit ovat kääntyviä ja kääntyvien matriisien tulo on kääntyvä. \square

Lause.

Olkoon A neliömatriisi. Jos B on neliömatriisi ja AB=I_n tai BA=I_n, niin A on kääntyvä ja B=A^{-1}.

Todistus.  Olkoon BA=I_n, jolloin homogeeniselle yhtälölle pätee
A\xx=\nol \Leftrightarrow \xx=BA\xx=B\nol=\nol \Leftrightarrow \xx=\nol.

Systeemillä on siis yksikäsitteinen ratkaisu, joten kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan A on kääntyvä ja tällöin

BA=I_n \Leftrightarrow BAA^{-1}= I_nA^{-1} \Leftrightarrow B=A^{-1}.

Oletuksella seuraavaksi AB=I_n. Vaihtamalle yllä olevassa päättelyssä A:n ja B:n roolit, saadaan, että B^{-1}=A ja käänteismatriisin ominaisuuksia kuvaavan kaant-peruslause nojalla B=A^{-1}. \square

Seuraava lause on keskeisellä sijalla käänteismatriisien teoriassa, sillä sen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi kaikille kääntyville matriiseille.

Lause.

Olkoon A neliömatriisi. Jos elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan matriisista A yksikkömatriisi I_n, niin samoilla elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan yksikkömatriisista I_n matriisi A^{-1}.

Todistus.  Oletetaan, että A on riviekvivalentti yksikkömatriisin I_n kanssa ja olkoot E_1,...,E_k vastaavat elementaarimatriisit, siis
E_k\cdots E_1A=I_n.

Näin ollen

B=E_k\cdots E_1

toteuttaa yhtälön BA=I_n joten edellisen lauseen nojalla

A^{-1}=E_k\cdots E_1.

Tämä todistaa lauseen. \square

HUOM! Lauseessa on siis oleellista se, että matriisi A voidaan alkeisrivimuunnoksilla muuntaa yksikkömatriisiksi. Ellei tämä onnistu, ei käänteismatriisi ole olemassa.

Käänteismatriisin laskeminen Gaußin eliminointimenetelmällä

Yllä olevan lauseen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi. Riittää siis muuntaa matriisi A yksikkömatriisiksi ja pitää kirjaa mitä muunnoksia on tehty. Käänteismatriisi saadaan sitten näiden muunnosten tulona. Tämä voidaan systematisoida seuraavasti:
Tarkastellaan neliömatriisia A. Muodostetaan kokonaismatriisi [A| I_n].
Jos A saadaan vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin I_n kanssa elementaarisilla vaakarivioperaatioilla, niin matriisilla A on käänteismatriisi A^{-1}.
Kun matriisia A muokatessa yksikkömatriisiksi I_n, yksikkömatriisille I_n tehdään samat elementaariset vaakarivioperaatiot, saadaan yksikkömatriisista muokattua A^{-1}, siis jos E_k\cdots E_1A=I_n, niin
[A| I_n]\rightarrow \cdots \rightarrow [E_k\cdots E_1A\ |\ E_k\cdots E_1I_n]=[I_n|A^{-1}].

Näin saadaan:

Käänteismatriisin muodostaminen Gaußin eliminoinnilla
  1. Muodosta kokonaismatriisi [A| I_n],

  2. Pyri muuntamaan kokonaismatriisi muotoon, jossa ensimmäiseksi tulee yksikkömatriisi:

    [A| I_n]\to\cdots\to [I_n| A^{-1}]
  3. Käänteismatriisi muodostuu jälkimmäiseksi matriisiksi automaattisesti (mikäli on olemassa).

Jos matriisia A ei saada vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin I_n kanssa, EI matriisilla A ole käänteismatriisia.
Esimerkki.  Muodosta matriisin
\begin{split}A=\begin{bmatrix} 2 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\end{split}

käänteismatriisi

Ratkaisu.

Esimerkki.

  • Etsi matriisien A ja B käänteismatriisit (jos sellaiset ovat olemassa) Gaußin eliminointimenetelmää käyttäen, kun

    \begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -2 \;& \; -1 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; 0 \\ \; 4 \;& \; 0 \;& \; -2 \\ \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{r r r} \; 2 \;& \; -2 \;& \; 4 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; -1 \\ \; 3 \;& \; 1 \;& \; 2 \\ \end{array}\right]. \quad\end{split}
  • Osoita, että jos matriisin A käänteismatriisi A^{-1} on symmetrinen, niin myös A on symmetrinen.

Ratkaisu.