Käänteismatriisi¶
Tarkastellaan matriisiyhtälöä A\xx=\bbb, missä A on n×n-matriisi. Halutaan löytää matriisi A′, jolle A′A=In. Tällöin saataisiin yhtälö ratkaistua seuraavasti
Huomautus.
Kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä!
Lause.
Jos A on kääntyvä matriisi, niin matriisin A käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Merkitään matriisin A käänteismatriisia A−1.
A'=A'I_n=A'(AA'')=(A'A)A''=I_nA''=A''.Siis A'=A'', joten käänteismatriisi on yksikäsitteinen. \square
Lause.
Jos A on kääntyvä n \times n-matriisi, niin lineaarisella yhtälöryhmällä A\xx=\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu \xx=A^{-1}\bbb, \forall \bbb \in \mathbb R^n.
A\xx=A(A^{-1}\bbb)=I_n\bbb=\bbb.Ratkaisu on myös yksikäsitteinen. Olkoon \yy toinen ratkaisu. Tällöin
\begin{split}\begin{aligned} A\yy=\bbb && \Leftrightarrow A^{-1}(A\yy)=A^{-1}\bbb\\ &&\Leftrightarrow I_n\yy=A^{-1}\bbb \\ &&\Leftrightarrow \yy=A^{-1}\bbb\end{aligned}\end{split}eli ratkaisut ovat samat. \square
Lause.
Jos A= \left[ \begin{array}{cc} a\, &b \, \\ c&d \end{array}\right], niin A on kääntyvä, jos ad-bc \neq 0 ja tällöin
Käänteismatriisin ominaisuuksia¶
Listataan seuraavaan lauseeseen kaikki tärkeimmät käänteismatriisin algebralliset ominaisuudet.
Lause.
Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^{-1} on kääntyvä ja
(A^{-1})^{-1}=A.Jos A on kääntyvä matriisi ja c on nollasta poikkeava skalaari, niin cA on kääntyvä ja
(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.Jos A ja B ovat kääntyviä samankokoisia matriiseja, niin AB on kääntyvä ja
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^T on kääntyvä ja
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.Jos A on kääntyvä matriisi, niin A^n, \, n \in \mathbb N on kääntyvä ja
(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n.
A^{-n}:=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}.Vastaavasti merkitään (etenkin insinöörikirjallisuudessa) transpoosin käänteismatriisia
A^{-T}:=(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.
Esimerkki.
Olkoot
\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } \; 2 \;& \; 4 \\ 1 \;& 3 \end{array}\right]\text{ ja } \quad \bbb=\left[\begin{array}{r } \; -1 \\ 2 \end{array}\right].\end{split}Etsi A^{-1} ja ratkaise A \xx= \bbb.
Ratkaise yhtälöryhmä (a)-kohdan menetelmää käyttäen
\begin{split}\left\{ \begin{array}{lcc} \,2x_1+x_2&=&2\\ \,x_1 \,-x_2\,&=&1.\\ \end{array}\right.\end{split}
Oletetaan, että seuraavat matriisit ovat kääntyviä ja sellaisia, että matriisitulot ovat olemassa. Ratkaise X, kun
- AXA^2=A^{-1},
- AXB=(BA)^2.
Elementaarimatriisit¶
Yhtälöryhmää A\xx=\bbb ratkaistaessa turvauduttiin aiemmin Gaußin eliminaation ja alkeisrivimuunnosten tekemiseen kokonaismatriisille [A| \bbb]. Alkeismatriisit ovat matriiseja, joiden avulla alkeisrivimuunnosten tekeminen voidaan systematisoida ts. jokainen muunnos (rivien vaihto R_i\leftrightarrow R_j, rivin skalaarilla kertominen kR_j, rivin lisääminen toiseen skalaarilla kerrottuna R_i+kR_j) voidaan esittää matriisitulona.
Elementaarimatriisi :class: aside
- on matriisi, joka saadaan
- yksikkömatriisista yhdellä elementaarisella vaakarivimuunnoksella.
Merkitään operaatoita R_i\leftrightarrow R_j, kR_j ja R_i+kR_j vastaavia elementaarimatriiseja
Esimerkki.
3\times 3-matriisien elementaarimatriiseja:
Lause.
Olkoon E elementaarimatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista I_n elementaarisella vaakarivimuunnoksella. Jos samaa elementaarista vaakarivimuunnosta sovelletaan n \times r-matriisiin A, niin saadaan matriisi, joka vastaa matriisituloa EA.
Lause.
Jokainen elementaarimatriisi on kääntyvä ja elementaarimatriisin käänteismatriisi on elementaarimatriisi, joka vastaa käänteistä elementaarista vaakarivimuunnosta.
Määritellään sitten laajasti matriisien kääntyvyyttä kuvaava kääntyvien matriisien peruslause
Lause.
Olkoon A n \times n-matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.
- A on kääntyvä.
- Yhtälöllä A \xx =\bbb on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella \bbb \in \mathbb R^n.
- Yhtälöllä A \xx =\mathbf{0} on ainoastaan triviaaliratkaisu.
- Matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto on I_n.
- A on elementaarimatriisien tulo.
\begin{split}\begin{aligned} &E_k\cdots E_2 E_1 A =I_n \\&\Leftrightarrow \\ &(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}E_k\cdots E_2 E_1 A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n\\ &\Leftrightarrow\\ &A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1},\end{aligned}\end{split}missä E_i:t ovat elementaarisia matriiseja. Näin ollen A voidaan lausua elementaarimatriisien tulona.
Lause.
Olkoon A neliömatriisi. Jos B on neliömatriisi ja AB=I_n tai BA=I_n, niin A on kääntyvä ja B=A^{-1}.
A\xx=\nol \Leftrightarrow \xx=BA\xx=B\nol=\nol \Leftrightarrow \xx=\nol.Systeemillä on siis yksikäsitteinen ratkaisu, joten kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan A on kääntyvä ja tällöin
BA=I_n \Leftrightarrow BAA^{-1}= I_nA^{-1} \Leftrightarrow B=A^{-1}.Oletuksella seuraavaksi AB=I_n. Vaihtamalle yllä olevassa päättelyssä A:n ja B:n roolit, saadaan, että B^{-1}=A ja käänteismatriisin ominaisuuksia kuvaavan kaant-peruslause nojalla B=A^{-1}. \square
Lause.
Olkoon A neliömatriisi. Jos elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan matriisista A yksikkömatriisi I_n, niin samoilla elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan yksikkömatriisista I_n matriisi A^{-1}.
E_k\cdots E_1A=I_n.Näin ollen
B=E_k\cdots E_1toteuttaa yhtälön BA=I_n joten edellisen lauseen nojalla
A^{-1}=E_k\cdots E_1.Tämä todistaa lauseen. \square
Käänteismatriisin laskeminen Gaußin eliminointimenetelmällä¶
[A| I_n]\rightarrow \cdots \rightarrow [E_k\cdots E_1A\ |\ E_k\cdots E_1I_n]=[I_n|A^{-1}].Näin saadaan:
Muodosta kokonaismatriisi [A| I_n],
Pyri muuntamaan kokonaismatriisi muotoon, jossa ensimmäiseksi tulee yksikkömatriisi:
[A| I_n]\to\cdots\to [I_n| A^{-1}]Käänteismatriisi muodostuu jälkimmäiseksi matriisiksi automaattisesti (mikäli on olemassa).
\begin{split}A=\begin{bmatrix} 2 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\end{split}käänteismatriisi
Esimerkki.
Etsi matriisien A ja B käänteismatriisit (jos sellaiset ovat olemassa) Gaußin eliminointimenetelmää käyttäen, kun
\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -2 \;& \; -1 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; 0 \\ \; 4 \;& \; 0 \;& \; -2 \\ \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{r r r} \; 2 \;& \; -2 \;& \; 4 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; -1 \\ \; 3 \;& \; 1 \;& \; 2 \\ \end{array}\right]. \quad\end{split}Osoita, että jos matriisin A käänteismatriisi A^{-1} on symmetrinen, niin myös A on symmetrinen.