Käänteismatriisi¶

Tarkastellaan matriisiyhtälöä $A\xx=\bbb$ , missä $A$ on $n\times n$ -matriisi. Halutaan löytää matriisi $A'$ , jolle $A'A=I_n$ . Tällöin saataisiin yhtälö ratkaistua seuraavasti

$\begin{split}\begin{aligned} A\xx=\bbb && \Leftrightarrow A'(A\xx)=A'\bbb\\ &&\Leftrightarrow (A'A)\xx=A'\bbb \\ &&\Leftrightarrow I_n\xx=A'\bbb \\ &&\Leftrightarrow \xx=A'\bbb. \\\end{aligned}\end{split}$

Määritelmä.

Jos $A$ on $n \times n$ -matriisi ja löydetään $n \times n$ -matriisi $B$ , jolle

$AB=I_n \;\text{ ja } \; BA=I_n,$

niin matriisi $B$ on matriisin $A$ käänteismatriisi (tai inverssi). Jos matriisille $A$ löydetään käänteismatriisi, niin sanotaan, että matriisi $A$ on kääntyvä. Matriiseja, jotka eivät ole kääntyviä kutsutaan myös singulaarisiksi ja luonnollisesti matriiseja, jotka kääntyvät ei-singulaarisiksi.

Huomautus.

Kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä!

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin matriisin $A$ käänteismatriisi on yksikäsitteinen. Merkitään matriisin $A$ käänteismatriisia $A^{-1}$ .

Todistus. Oletetaan, että matriisilla

$A$ on kaksi käänteismatriisia

$A'$ ja

$A''$ eli

$A'A=AA'=I_n$ ja

$A''A=AA''=I_n$ . Tällöin

$A'=A'I_n=A'(AA'')=(A'A)A''=I_nA''=A''.$

Siis $A'=A''$ , joten käänteismatriisi on yksikäsitteinen. $\square$

Yhtälöryhmän ratkaisu saadaan käänteismatriisin avulla seuraavasti.

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä $n \times n$ -matriisi, niin lineaarisella yhtälöryhmällä $A\xx=\bbb$ on yksikäsitteinen ratkaisu $\xx=A^{-1}\bbb$ , $\forall \bbb \in \mathbb R^n$ .

Todistus. Oletetaan, että

$A$ on kääntyvä, tällöin on olemassa

$A^{-1}$ , jolle

$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$ .

$\xx=A^{-1}\bbb$ on tällöin yhtälöryhmän

$A\xx=\bbb$ ratkaisu, sillä

$A\xx=A(A^{-1}\bbb)=I_n\bbb=\bbb.$

Ratkaisu on myös yksikäsitteinen. Olkoon $\yy$ toinen ratkaisu. Tällöin

$\begin{split}\begin{aligned} A\yy=\bbb && \Leftrightarrow A^{-1}(A\yy)=A^{-1}\bbb\\ &&\Leftrightarrow I_n\yy=A^{-1}\bbb \\ &&\Leftrightarrow \yy=A^{-1}\bbb\end{aligned}\end{split}$

eli ratkaisut ovat samat. $\square$

$2\times 2$ -matriiseille saadaan seuraava helpohko (jopa ulkoa muistettavissa oleva) sääntö.

Lause.

Jos $A= \left[ \begin{array}{cc} a\, &b \, \\ c&d \end{array}\right]$ , niin $A$ on kääntyvä, jos $ad-bc \neq 0$ ja tällöin

$\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{array}{cc} d\, &-b \, \\ -c&a \end{array}\right].\end{split}$

Todistus. Suoralla laskulla.

$\square$

Huomaa, että kaikki

$2\times 2$ -matriisit eivät ole kääntyviä. Kääntyvyyden ehtona on, että

$ad-bc \neq 0$ .

Käänteismatriisin ominaisuuksia¶

Listataan seuraavaan lauseeseen kaikki tärkeimmät käänteismatriisin algebralliset ominaisuudet.

Lause.

Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^{-1}$ on kääntyvä ja

$(A^{-1})^{-1}=A.$
Jos $A$ on kääntyvä matriisi ja $c$ on nollasta poikkeava skalaari, niin $cA$ on kääntyvä ja

$(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.$
Jos $A$ ja $B$ ovat kääntyviä samankokoisia matriiseja, niin $AB$ on kääntyvä ja

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^T$ on kääntyvä ja

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.$
Jos $A$ on kääntyvä matriisi, niin $A^n, \, n \in \mathbb N$ on kääntyvä ja

$(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n.$

Todistus.

Todistetaan kohta (e) induktiolla

Induktion alku. Kun $n=1$ , niin $A^1$ on kääntyvä, sillä $A=A^1$ ja $A^{-1}A=AA^{-1}=I_n$ .
Induktio-oletus. Oletetaan, että arvolla $n=k$ matriisi $A^k$ on kääntyvä ja $(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$ .

Induktioaskel. Osoitetaan induktio-oletuksen perusteella, että $A^{k+1}$ on kääntyvä ja $(A^{k+1})^{-1}=(A^{-1})^{k+1}$ . Induktio-oletuksen perusteella

$\begin{split}\begin{aligned} &&A^{k+1}(A^{-1})^{k+1}=AA^{k}(A^{-1})^{k}A^{-1}=AI_nA^{-1}=I_n \text{ ja }\\ &&(A^{-1})^{k+1}A^{k+1}=A^{-1}(A^{-1})^{k}A^{k}A=A^{-1}I_nA=I_n,\end{aligned}\end{split}$

joten $A^{k+1}$ on kääntyvä. Lisäksi induktio-oletuksen mukaan

$(A^{k+1})^{-1}=(A^{k}A)^{-1}=A^{-1}(A^{k})^{-1}=A^{-1}(A^{-1})^{k}=(A^{-1})^{k+1}.$

Kohdista 1) ja 2) seuraa induktioperiaatteen mukaan, että väite pätee

$\forall n \in \mathbb N$ .

$\square$

Jos

$A$ on kääntyvä matriisi ja

$n$ on positiivinen kokonaisluku, niin määritellään matriisin

$A$ negatiiviset potenssit

$A^{-n}:=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1}.$

Vastaavasti merkitään (etenkin insinöörikirjallisuudessa) transpoosin käänteismatriisia

$A^{-T}:=(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.$

Esimerkki.

- Olkoot
  
  $\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } \; 2 \;& \; 4 \\ 1 \;& 3 \end{array}\right]\text{ ja } \quad \bbb=\left[\begin{array}{r } \; -1 \\ 2 \end{array}\right].\end{split}$
  
  Etsi $A^{-1}$ ja ratkaise $A \xx= \bbb$ .
- Ratkaise yhtälöryhmä (a)-kohdan menetelmää käyttäen
  
  $\begin{split}\left\{ \begin{array}{lcc} \,2x_1+x_2&=&2\\ \,x_1 \,-x_2\,&=&1.\\ \end{array}\right.\end{split}$
Oletetaan, että seuraavat matriisit ovat kääntyviä ja sellaisia, että matriisitulot ovat olemassa. Ratkaise $X$ , kun
- $AXA^2=A^{-1}$ ,
- $AXB=(BA)^2$ .

Ratkaisu.

- Yhtälön $A\xx=\bbb$ ratkaisu on $\xx=A^{-1}\bbb$ ja $A$ :n kaltaisen $2\times 2$ -neliömatriisin käänteismatriisi voidaan laskea Lauseen mukaisesti.
  
  $\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{2\cdot3-1\cdot4}\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\end{split}$
  
  Yhtälön ratkaisuksi saadaan siis
  
  $\begin{split}\xx=A^{-1}\bbb=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2}\cdot(-1)+(-2)\cdot2 \\ -\frac{1}{2}\cdot(-1)+1\cdot2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{11}{2} \\ \frac{5}{2} \end{bmatrix}\end{split}$
- Esitetään yhtälöpari matriisimuodossa $A\xx=\bbb$ , eli $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ .
  
  Lasketaan $A^{-1}$ samoin kuin (a)-kohdassa
  
  $\begin{split}A^{-1}=\frac{1}{2\cdot(-1)-1\cdot1} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{bmatrix}\end{split}$
  
  Ja nyt ratkaisu saadaan
  
  $\begin{split}\xx=A^{-1}\bbb=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 1 \\ \frac{1}{3} \cdot 2 + \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}$
- Tällaisia matriisiyhtälöitä ratkottaessa on tärkeää muistaa se, että matriisitulo ei ole vaihdannainen. Sillä siis on väliä, kerrotaanko yhtälön molemmat puolet jollain matriisilla vasemmalta vai oikealta.
  
  $\begin{split}\begin{aligned} AXA^2&=A^{-1} & & \text{kerrotaan puolittain vasemmalta } A^{-1}\text{:llä} \\ A^{-1}AXA^2&=A^{-1}A^{-1} & & \\ XA^2&=A^{-2} & & \text{kerrotaan puolittain oikealta $A^{-2}$:lla} \\ XA^2A^{-2}&=A^{-2}A^{-2} \\ X&=A^{-4} \end{aligned}\end{split}$
- $\begin{split}\begin{aligned} AXB&=(BA)^2 & & \text{kerrotaan puolittain vasemmalta $A^{-1}$:llä} \\ A^{-1}AXB&=A^{-1}(BA)^2 & & \\ XB&=A^{-1}(BA)^2 & & \text{kerrotaan oikealta puolittain $B^{-1}$:llä} \\ XBB^{-1}&=A^{-1}(BA)^2B^{-1} & & \\ X&=A^{-1}(BA)^2B^{-1} \end{aligned}\end{split}$

Elementaarimatriisit¶

Yhtälöryhmää $A\xx=\bbb$ ratkaistaessa turvauduttiin aiemmin Gaußin eliminaation ja alkeisrivimuunnosten tekemiseen kokonaismatriisille $[A| \bbb]$ . Alkeismatriisit ovat matriiseja, joiden avulla alkeisrivimuunnosten tekeminen voidaan systematisoida ts. jokainen muunnos (rivien vaihto $R_i\leftrightarrow R_j$ , rivin skalaarilla kertominen $kR_j$ , rivin lisääminen toiseen skalaarilla kerrottuna $R_i+kR_j$ ) voidaan esittää matriisitulona.

Elementaarimatriisi :class: aside

on matriisi, joka saadaan: yksikkömatriisista yhdellä elementaarisella vaakarivimuunnoksella.

Merkitään operaatoita $R_i\leftrightarrow R_j$ , $kR_j$ ja $R_i+kR_j$ vastaavia elementaarimatriiseja

$E_{ij},\ E_j(k),\ E_{ij}(k).$

Esimerkki.

$3\times 3$ -matriisien elementaarimatriiseja:

$\begin{split}E_{13}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\ E_{2}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\ E_{23}(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.\end{split}$

Lause.

Olkoon $E$ elementaarimatriisi, joka on saatu yksikkömatriisista $I_n$ elementaarisella vaakarivimuunnoksella. Jos samaa elementaarista vaakarivimuunnosta sovelletaan $n \times r$ -matriisiin $A$ , niin saadaan matriisi, joka vastaa matriisituloa $EA$ .

Todistus. Yleisessä tilanteessa suoraviivainen, mutta notaatioteknisesti hankala, lasku.

$\square$

Koska alkeisrivioperaatiot ovat kääntyviä, saadaan seuraava tulos välittömästi:

Lause.

Jokainen elementaarimatriisi on kääntyvä ja elementaarimatriisin käänteismatriisi on elementaarimatriisi, joka vastaa käänteistä elementaarista vaakarivimuunnosta.

Todistus.

Tarkastellaan esimerkiksi matriisia $E_{ij}$ joka vaihtaa rivit $i$ ja $j$ . Koska matriisi $E_{ji}$ vaihtaa rivit jälleen takaisin alkuperäisiksi, saadaan, että

$E_{ij}E_{ji}=I_n,$

eli $E_{ij}^{-1}=E_{ji}$ . Vastaavasti voidaan tarkastella (HT) elementaarimatriiseja $E_{j}(k)^{-1}$ ja $E_{ij}(k)^{-1}$ . $\square$

Määritellään sitten laajasti matriisien kääntyvyyttä kuvaava kääntyvien matriisien peruslause

Lause.

Olkoon $A$ $n \times n$ -matriisi. Tällöin seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja.

$A$ on kääntyvä.
Yhtälöllä $A \xx =\bbb$ on yksikäsitteinen ratkaisu jokaisella $\bbb \in \mathbb R^n$ .
Yhtälöllä $A \xx =\mathbf{0}$ on ainoastaan triviaaliratkaisu.
Matriisin $A$ redusoitu vaakariviporrasmuoto on $I_n$ .
$A$ on elementaarimatriisien tulo.

Todistus.  Todistetaan implikaatioketju
(a)⇒(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e)⇒(a)
(a)⇒(b)
Tämän lauseen mukaan, jos
A on kääntyvä, niin yhtälöllä A\xx=\bbb on
yksikäsitteinen ratkaisu \xx=A−1\bbb,∀\bbb∈Rn.
(b)⇒(c)
Oletetaan, että yhtälöllä A\xx=\bbb on yksikäsitteinen
ratkaisu jokaisella \bbb∈Rn. Tällöin myös
homogeenisella yhtälöryhmällä A\xx=\nol on yksikäsitteinen
ratkaisu. Jos homogeenisella yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen
ratkaisu, on se aina triviaaliratkaisu \xx=\nol.
(c)⇒(d)
Oletetaan, että yhtälöryhmällä A\xx=\nol on vain
triviaaliratkaisu. Tällöin kokonaismatriisi [A|\nol] saadaan
elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla muotoon [In|\nol],
eli matriisin A redusoitu vaakariviporrasmuoto on In.
(d)⇒(e)
Oletetaan, että rref(A)=In. Tällöin matriisi A
saadaan matriisista In äärellisellä määrällä elementaarisia
vaakarivimuunnoksia. Jokaista muunnosta vastaa matriisin kertominen
vasemmalta elementaarimatriisilla. Joten

$\begin{split}\begin{aligned} &E_k\cdots E_2 E_1 A =I_n \\&\Leftrightarrow \\ &(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}E_k\cdots E_2 E_1 A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n\\ &\Leftrightarrow\\ &A =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}I_n =(E_k\cdots E_2 E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}\cdots E_k^{-1},\end{aligned}\end{split}$

missä $E_i$ :t ovat elementaarisia matriiseja. Näin ollen $A$ voidaan lausua elementaarimatriisien tulona.

$(e) \Rightarrow (a)$

Jos

$A$ on elementaarimatriisien tulo, niin

$A$ on kääntyvä, sillä elementaarimatriisit ovat kääntyviä ja kääntyvien matriisien tulo on kääntyvä.

$\square$

Lause.

Olkoon $A$ neliömatriisi. Jos $B$ on neliömatriisi ja $AB=I_n$ tai $BA=I_n$ , niin $A$ on kääntyvä ja $B=A^{-1}$ .

Todistus. Olkoon

$BA=I_n$ , jolloin homogeeniselle yhtälölle pätee

$A\xx=\nol \Leftrightarrow \xx=BA\xx=B\nol=\nol \Leftrightarrow \xx=\nol.$

Systeemillä on siis yksikäsitteinen ratkaisu, joten kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan $A$ on kääntyvä ja tällöin

$BA=I_n \Leftrightarrow BAA^{-1}= I_nA^{-1} \Leftrightarrow B=A^{-1}.$

Oletuksella seuraavaksi $AB=I_n$ . Vaihtamalle yllä olevassa päättelyssä $A$ :n ja $B$ :n roolit, saadaan, että $B^{-1}=A$ ja käänteismatriisin ominaisuuksia kuvaavan kaant-peruslause nojalla $B=A^{-1}$ . $\square$

Seuraava lause on keskeisellä sijalla käänteismatriisien teoriassa, sillä sen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin laskemiseksi kaikille kääntyville matriiseille.

Lause.

Olkoon $A$ neliömatriisi. Jos elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan matriisista $A$ yksikkömatriisi $I_n$ , niin samoilla elementaarisilla vaakarivimuunnoksilla saadaan yksikkömatriisista $I_n$ matriisi $A^{-1}$ .

Todistus. Oletetaan, että

$A$ on riviekvivalentti yksikkömatriisin

$I_n$ kanssa ja olkoot

$E_1,...,E_k$ vastaavat elementaarimatriisit, siis

$E_k\cdots E_1A=I_n.$

Näin ollen

$B=E_k\cdots E_1$

toteuttaa yhtälön $BA=I_n$ joten edellisen lauseen nojalla

$A^{-1}=E_k\cdots E_1.$

Tämä todistaa lauseen. $\square$

HUOM! Lauseessa on siis oleellista se, että matriisi

$A$ voidaan alkeisrivimuunnoksilla muuntaa yksikkömatriisiksi. Ellei tämä onnistu, ei käänteismatriisi ole olemassa.

Käänteismatriisin laskeminen Gaußin eliminointimenetelmällä¶

Yllä olevan lauseen todistuksesta saadaan menetelmä käänteismatriisin
laskemiseksi. Riittää siis muuntaa matriisi A
yksikkömatriisiksi ja pitää kirjaa mitä muunnoksia on tehty.
Käänteismatriisi saadaan sitten näiden muunnosten tulona. Tämä voidaan
systematisoida seuraavasti:
Tarkastellaan neliömatriisia A. Muodostetaan kokonaismatriisi
[A|In].
Jos A saadaan vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin
In kanssa elementaarisilla vaakarivioperaatioilla, niin
matriisilla A on käänteismatriisi A−1.
Kun matriisia A muokatessa yksikkömatriisiksi In,
yksikkömatriisille In tehdään samat elementaariset
vaakarivioperaatiot, saadaan yksikkömatriisista muokattua
A−1, siis jos Ek⋯E1A=In, niin

$[A| I_n]\rightarrow \cdots \rightarrow [E_k\cdots E_1A\ |\ E_k\cdots E_1I_n]=[I_n|A^{-1}].$

Näin saadaan:

Käänteismatriisin muodostaminen Gaußin eliminoinnilla

Muodosta kokonaismatriisi $[A| I_n]$ ,
Pyri muuntamaan kokonaismatriisi muotoon, jossa ensimmäiseksi tulee yksikkömatriisi:

$[A| I_n]\to\cdots\to [I_n| A^{-1}]$
Käänteismatriisi muodostuu jälkimmäiseksi matriisiksi automaattisesti (mikäli on olemassa).

Jos matriisia

$A$ ei saada vaakariviekvivalentiksi yksikkömatriisin

$I_n$ kanssa, EI matriisilla

$A$ ole käänteismatriisia.

Esimerkki. Muodosta matriisin

$\begin{split}A=\begin{bmatrix} 2 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\end{split}$

käänteismatriisi

Ratkaisu.

Muodostetaan kokonaismatriisi ja ryhdytään tekemään alkeisrivimuunnoksia:

$\begin{split}\begin{aligned} &[A| I_3] =\begin{bmatrix} 2 & 0 &1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} {}^{\frac{1}{2}R_1}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ &{}^{R_3+(-1)R_1}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 1 \end{bmatrix} {}^{\frac{2}{3}R_3}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}}\begin{bmatrix} 1 & 0 &\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\\ &{}^{R_1+(-\frac{1}{2})R_3}_{\xrightarrow{\hspace*{1cm}}} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 &0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix} =[I_3 | A^{-1}],\end{aligned}\end{split}$

joten koska $I_3$ saatiin muodostettua ensimmäiseksi matriisiksi, niin $A^{-1}$ on olemassa ja

$\begin{split}A^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 1 & 0\\ -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}\end{split}$

Esimerkki.

Etsi matriisien $A$ ja $B$ käänteismatriisit (jos sellaiset ovat olemassa) Gaußin eliminointimenetelmää käyttäen, kun

$\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r r} \; 1 \;& \; -2 \;& \; -1 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; 0 \\ \; 4 \;& \; 0 \;& \; -2 \\ \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{r r r} \; 2 \;& \; -2 \;& \; 4 \\ \; 2 \;& \; 3 \;& \; -1 \\ \; 3 \;& \; 1 \;& \; 2 \\ \end{array}\right]. \quad\end{split}$
Osoita, että jos matriisin $A$ käänteismatriisi $A^{-1}$ on symmetrinen, niin myös $A$ on symmetrinen.

Ratkaisu.

Muodostetaan kokonaismatriisit $[A|I_3]$ ja $[B|I_3]$ ja käytetään Gaußin eliminointia

$\begin{split}\begin{aligned} [A|I_3]&=\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{R_1-\frac{1}{2}R_3} \begin{bmatrix} -1 & -2 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_1+\frac{2}{3}R_2} \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{3R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 3 & 0 & -6 & -3 & 3 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\[1em] &\underrightarrow{R_3-4R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -12 & -8 & 7 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{-\frac{1}{2}R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & 4 & -\frac{7}{2} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$

Kokonaismatriisi siis saatiin vaakarivimuunnoksilla muotoon $[I_3|A^{-1}]$ ja näin ollen käänteismatriisi :math:`A^{-1}=begin{bmatrix}

3 & 2 & -frac{3}{2} \ -2 & -1 & 1 \ 6 & 4 & -frac{7}{2} \

end{bmatrix}`. Laskutoimituksen oikeellisuuden voi vielä

tarkistaa kertomalla $AA^{-1}$ ja jos tuloksi saadaan $I$ , on käänteismatriisi laskettu oikein.

Matriisi $B$ ei ole kääntyvä. Kääntyvien matriisien peruslauseen mukaan matriisin redusoidun riviporrasmuodon tulee olla identiteettimatriisi, jotta se voi olla kääntyvä. Kun matriisi $B$ muutetaan rref-muotoon, huomataan, että $rref(B) \neq I$ .

$\begin{split}\begin{aligned} B&=\begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_2-R_1} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-\frac{3}{2}R_1}\begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} \\ [0.8 em] &\underrightarrow{R_1+\frac{1}{2}R_3}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} \underrightarrow{R_3-\frac{4}{5}R_2}\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \underrightarrow{\frac{1}{2}R_1, \frac{1}{5}R_2}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$
Todistus. Oletetaan, että matriisin $A$ käänteismatriisi on symmetrinen, eli $A^{-1}=(A^{-1})^T$ . Osoitetaan, että tällöin myös $A$ on symmetrinen, eli $A=A^T$ .

$\begin{split}\begin{aligned} A&=AI & & \text{identiteettimatriisilla kertominen} \\ &=A(A^{-1}A) & & \text{myös $(A^{-1})^TA^T=I$} \\ &=A((A^{-1})^TA^T) & & \text{oletus $A^{-1}=(A^{-1})^T$} \\ &=A(A^{-1}A^T) & & \\ &=(AA^{-1})A^T & & \\ &= IA^T & & \\ &=A^T & & \end{aligned}\end{split}$

$\square$