"
  1. Matriisien summa, erotus ja skalaarilla kertominen

Matriisien summa, erotus ja skalaarilla kertominen

  • Matriisien summa. Olkoot \(A=\begin{bmatrix}\aaa_1 & \aaa_2 &\ldots &\aaa_n\end{bmatrix}\) ja \(B=\begin{bmatrix}\bbb_1 & \bbb_2 &\ldots &\bbb_n\end{bmatrix}\) kaksi \(m \times n\)-matriisia. Tällöin näiden matriisien summa \(A+B\) määritellään matriisina, jonka vastinvektorit on laskettu yhteen, siis

    \[A+B=\begin{bmatrix}\aaa_1+\bbb_1 & \aaa_2+\bbb_2 &\ldots &\aaa_n+\bbb_n\end{bmatrix}.\]

    Tästä seuraa, että jos \(A=[a_{ij}]\) ja \(B=[b_{ij}]\) ovat matriisin \(A+B\) alkiot ovat matriisien \(A\) ja \(B\) vastinalkioiden summia, eli

    \[A+B=[a_{ij}+b_{ij}].\]

  • Matriisien kertominen skalaarilla. Olkoon \(A=\begin{bmatrix}\aaa_1 & \aaa_2 &\ldots &\aaa_n\end{bmatrix}=[a_{ij}]\) jokin \(m \times n\)-matriisi ja \(c\) skalaari. Tällöin matriisi \(cA\) on \(m \times n\)-matriisi, missä jokainen matriisin \(A\) sarakevektori/alkio on kerrottu skalaarilla \(c\), eli

    \[cA=\begin{bmatrix}c\aaa_1 & c\aaa_2 &\ldots &c\aaa_n\end{bmatrix}=[ca_{ij}].\]

  • Matriisien erotus. Olkoon \(A\) jokin \(m \times n\)-matriisi. Tällöin merkitään \(-A:=(-1)A\) ja näin saatua matriisia kutsutaan matriisin \(A\) vastamatriisiksi. Matriisien erotus saadaan seuraavasti. Jos \(A\) ja \(B\) ovat \(m \times n\)-matriiseja, niin määritellään

    \[B-A:=B+(-A).\]

  • Jos \(A\) ja \(O\) ovat samankokoisia, niin

    \[A+O=O+A=A\ \text{ ja }\ A-A=-A+A=O.\]

Esimerkki.

  • Olkoot
    \[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } -3 & \; 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right], \; B=\left[\begin{array}{r r r } -1 & \; 3 & \; 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right], \; C=\left[\begin{array}{r r } 1 \;& \; -2 \\ 1 \,& 2 \\ -1\, & 3 \end{array}\right], \; D=\left[\begin{array}{r r } 3 & \; 0 \\ 1 & -2 \end{array}\right].\end{split}\]

    Laske (jos mahdollista)

    (a) \(2C+B\), (b) \(A+3D\), (c) \(B-2A\) (d) \(D-2A\).
Ratkaisu.

    • Matriisit \(B\) ja \(C\) ovat erikokoisia, joten ei voida laskea.

    • Matriisit \(A\) ja \(D\) ovat samankokoisia, joten voidaan laskea.

      \[\begin{split}\begin{aligned} A+3D&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+ 3\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -3+9 & 2+0 \\ 0+3 & 1+(-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

    • Matriisit erikokoisia, joten ei voi laskea.

    • Laskeminen mahdollista.

      \[\begin{split}\begin{aligned} D-2A&=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2 \cdot (-3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3-(-6) & 0-4 \\ 1-0 & -2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Matriisitulo

Palautetaan mieliin lineaarinen yhtälöryhmä
\[\begin{split}\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots + a_{mn}x_n=b_m \end{cases}\end{split}\]

josta muodostetiin \(m\times n\)-kerroinmatriisi \(A\) ja vektorit \(\xx\in\mathbb R^n\) sekä \(\bbb\in\mathbb R^m\):

\[\begin{split}A=\left[ \begin{array}{cccc} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots& \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right], \quad \xx=\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right], \quad \bbb=\left[ \begin{array}{c} b_1\\b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right].\end{split}\]

Yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa vektorimuodossa

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix}=\bbb.\end{split}\]

Kysymys: Haluamme kirjoittaa yhtälöryhmän lyhyesti muotoon :math:`Axx=bbb`. Miten tulo :math:`Axx` tulisi määritellä?

Vastaus: Määritellään se kuten yllä olevassa vektorimuodossa. Matriisi-vektori -tulo määritellään siis asettamalla
\[\begin{split}A\xx:=\begin{bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ \cdots + a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ \cdots + a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots + a_{mn}x_n \end{bmatrix}.\end{split}\]

Huomaa, että tulon määrittelyssä on oleellista, että \(m\times n\)-matriisi kerrotaan \(n\)-vektorilla. Tulon laskemisen idean hahmottaminen vaatii muutaman toiston tekemistä ”oikeilla” matriiseilla. Jos matriisi \(A\) on annettu sarakevektorimuodossa

\[A=\begin{bmatrix}\aaa_1 & \aaa_2 &\ldots &\aaa_n\end{bmatrix},\]

on matriisi-vektoritulo

\[A\xx=x_1\aaa_1+x_2\aaa_2+ \cdots +x_n\aaa_n.\]

Tarkastellaan seuraavia esimerkkejä.

Esimerkki.

Laske \(A\xx\) kun

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7 \end{bmatrix}\end{split}\]

ja

\[\begin{split}\xx=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}.\end{split}\]
Ratkaisu.

Tulon komponentin laskemiseksi vastaava matriisin vaakarivi kerrotaan vektorilla komponenteittain (samaan tapaan kuin pistetulossa), eli

\[\begin{split}A\xx=\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+4\cdot 2+(-2)\cdot 3 \\ 2\cdot 1+0\cdot 2+3\cdot 3 \\ 0\cdot1+1\cdot 2+7\cdot 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 \\ 11 \\ 23\end{bmatrix}\end{split}\]

Myös vektorien pistetulo voidaan esittää matriisitulona:

Lause.

Olkoot \(\xx,\yy\in\mathbb{R}^n\). Tällöin

\[\xx\cdot\yy=\xx^T\yy.\]
Todistus.  Vektorin (tai \(n\times 1\) matriisin) \(\xx\) transpoosi
\[\xx^T=\begin{bmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{bmatrix}\]

on \(1\times n\)-matriisi. Tällöin matriisi-vektoritulon määritelmän nojalla

\[\begin{split}\xx^T\yy=\begin{bmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\xx\cdot\yy,\end{split}\]

sillä samaistamme \(1\times 1\)-matriisit reaalilukujen kanssa. \(\square\)

Olkoon \(A\) jokin \(m\times n\) matriisi ja \(B=\begin{bmatrix}\bbb_1 & \bbb_2 &\ldots &\bbb_r\end{bmatrix}\) jokin \(n\times r\) matriisi. Matriisien tulo \(AB\), joka on siis \(m\times r\)-matriisi, määritellään asettamalla
\[AB:=\begin{bmatrix}A\bbb_1 & A\bbb_2 &\ldots &A\bbb_r\end{bmatrix},\]

siis matriisilla \(A\) kerrotaan jokaista matriisin \(B\) sarakevektoria.

Edellä oleva määritelmä voidaan kirjoittaa myös komponenttimuodossa, siis jos \(A=[a_{ij}]\) on \(m\times n\)-matriisi ja \(B=[b_{ij}]\) on \(n\times r\)-matriisi, niin matriisien tulo \(C=AB=[c_{ij}]\) on \(m \times r\)-matriisi, jonka \((i,j)\):s alkio saadaan kertomalla matriisin \(A\) \(i\):nen vaakarivin alkiot matriisin \(B\) \(j\):nen pystyrivin alkioilla pistetulon tapaan, eli
\[c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ \cdots + a_{in}b_{nj}=\AAA_i\cdot \bbb_j,\]

missä \(\AAA_i^T\) on matriisin \(A\) \(i\):s vaakavektori.

Esimerkki.

Jos

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \text{ ja } B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\end{split}\]

laske \(AB\) ja \(BA\) (huom! Nämä voidaan laskea, koska matriisien koot täsmäävät.)

Ratkaisu.
\[\begin{split}\begin{aligned} AB&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot (-1) & 1\cdot (-1) + 2\cdot 2 + 1\cdot 3\\ 2\cdot 1+(-1)\cdot 3+0\cdot (-1) & 2\cdot (-1)+(-1)\cdot 2+0\cdot 3 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 6 & 6\\ -1 & -4 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}\]

ja vastaavasti laskemalla saadaan

\[\begin{split}BA=\begin{bmatrix} -1 & 3 & 1\\ 7 & 4 & 3\\ 5 & -5 & -1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Huomautus.

  • Matriisitulo ei ole vaihdannainen, eli \(AB \neq BA\).
  • Matriisitulolle ei ole tulon nollasääntöä, eli vaikka \(AB=O\) niin voi olla, että \(A\neq O \text{ ja } B\neq O.\)
ENDB Perustelu: Harjoitustehtävänä keksit kumpaankin kohtaan sopivan (yksinkertaisen) vastaesimerkin.\(\spadesuit\)
Kuitenkin seuraava tulos on voimassa.

Lemma.  Jos

\[A\xx=\m{0}\ \text{ kaikilla }\ \xx\in\mathbb{R}^n,\]

niin

\[A=O.\]
Todistus.  Vastaoletetaan, että \(A\neq O\) esimerkiksi siten, että \(a_{ij}\neq 0\). Tällöin
\[\begin{split}A\ee_j=\begin{bmatrix} \vdots\\ a_{ij}\\ \vdots \end{bmatrix}\neq \m{0},\end{split}\]

joka aiheuttaa ristiriidan oletuksen kanssa. \(\square\)

Eräänä sovelluksena (jota jo implisiittisesti tarvitiin edellisen lemman todistuksessa) mainittakoon, että matriisi-vektori-tulon avulla voidaan matriisista poimia rivi tai sarake:

Lause.

Olkoon \(A\) on \(m\times n\)-matriisi. Tällöin

  • jos \(\ee_i\in\mathbb R^m\) niin \(\ee_i^TA\) on matriisin \(A\) \(i\):s vaakarivi,
  • jos \(\ee_j\in\mathbb R^n\) niin \(A\ee_j\) on matriisin \(A\) \(j\):s sarake.
Todistus.

  • Kun \(\ee^{T}_{i}=[0 \ldots 1 \ldots 0] \in \mathbb{R}^m\) ja :math:`A=begin{bmatrix}

    a_{11} & ldots & a_{1n} \ a_{21} & ldots & \ vdots & & \ a_{m1} & & end{bmatrix} in mathbb{R}^{m times n}`, saadaan

    \[\begin{split}\begin{aligned} \ee^{T}_{i}A&=[0 \cdot a_{11}+\ldots+1 \cdot a_{i1}+\ldots \quad \cdots \quad 0 \cdot a_{1n}+\ldots+1\cdot a_{in}+\ldots] \\ &=[a_{i1} \quad a_{i2} \ldots a_{in}] = A_i \end{aligned}\end{split}\]

    Laskettaessa siis tuloa matriisin \(A\) kaikki sarakkeet kerrotaan luonnollisella kantavektorilla \(\ee^{T}_{i}\), jonka kaikki arvot yhtä lukuunottamatta ovat nollia. Tällöin myös kustakin matriisin sarakkeesta kaikki muut alkiot menevät nolliksi ja jäljelle jää vain \(i\):s vaakarivi.

  • Täysin vastaavasti.

\(\square\)

Esimerkki.

  • Olkoot

    \[\begin{split}A=\left[\begin{array}{r r } -3 & \; 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right], \; B=\left[\begin{array}{r r r } -1 & \; 3 & \; 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right], \; C=\left[\begin{array}{r r } 1 \;& \; -2 \\ 1 \,& 2 \\ -1\, & 3 \end{array}\right]\text{ ja } \; D=\left[\begin{array}{r r } 3 & \; 0 \\ 1 & -2 \end{array}\right].\end{split}\]

    Laske, jos mahdollista

    • \(2AB\), (b) \(AC\), (c) \(AD\),
    • \(DA\),   (e) \(AA=A^2\).
Ratkaisu.
    • Matriisien tulo on mahdollista laskea, jos tulon vasemmanpuoleisella matriisilla on sama määrä sarakkeita (pystyrivejä) kuin oikeanpuoleisella vaakarivejä. Tämä pätee matriisien \(A\) ja \(B\) kohdalla (tässä järjestyksessä), joten tulo \(2AB\) voidaan laskea.
      Matriisitulo lasketaan kertomalla vasemmanpuoleisen matriisin jokainen rivi kunkin oikeanpuoleisen matriisin sarakkeen kanssa. Tulomatriisin rivien määrä määräytyy vasemman matriisin rivien määrän mukaan ja sarakkeiden määrä oikeanpuoleisen matriisin sarakkeiden määrän mukaan.
      \[\begin{split}\begin{aligned} 2AB&=2\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -6\cdot(-1)+4\cdot0 & -6 \cdot 3+4 \cdot2 & -6 \cdot 1+4\cdot3 \\ 0 \cdot (-1)+2 \cdot0 & 0 \cdot3+2 \cdot2 & 0 \cdot1+2\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -10 & 6 \\ 0 & 4 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

    • Dimensiot eivät täsmää (\(A\):lla kaksi pystyriviä ja \(C\):llä kolme vaakariviä), joten ei voida laskea.

    • Samankokoisten neliömatriisien tulo voidaan laskea.

      \[\begin{split}\begin{aligned} AD &= \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\cdot3+2\cdot1 & -3\cdot0+2\cdot(-2) \\ 0\cdot3+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot(-2) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

    • Tämäkin voidaan laskea ja samalla huomataan, ettei matriisitulo tosiaan ole vaihdannainen.

      \[\begin{split}\begin{aligned} DA &= \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\cdot(-3)+0\cdot0 & 3\cdot2+0\cdot1 \\ 1\cdot(-3)+(-2)\cdot0 & 1\cdot2+(-2)\cdot1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -9 & 6 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

    • Neliömatriisit voidaan kertoa myös itsensä kanssa (ja saada matriisin potensseja).

      \[\begin{split}\begin{aligned} AA=A^2&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\cdot(-3)+2\cdot0 & -3\cdot2+2\cdot1 \\ 0\cdot(-3)+1\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot1 \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Matriisien potenssit

Kun \(A\) ja \(B\) ovat \(n \times n\)-matriiseja, niin \(AB\) on \(n \times n\)-matriisi. Erityistilanne saadaan, jos \(A=B\) ja tällöin määritellään \(A^2=AA\) ja yleisesti \(A^k\), kun \(k \in \mathbb N\), on
\[A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ tekijää}}.\]

Lisäksi määritellään \(A^0=I_n\).

Jos \(A\) on neliömatriisi ja \(r, s\) ei-negatiivisia kokonaislukuja, niin on selvää, että
  • \(A^rA^s=A^{r+s}\),
  • \((A^r)^s=A^{rs}\) .

Esimerkki.

Yksikkömatriisin potenssit ovat

\[I^k_n=I_n\]

kaikilla \(k\in\mathbb{N}\).

Ratkaisu.

On helppoa nähdä, että koska

\[I_n=\begin{bmatrix} \ee_1 & ...& \ee_n \end{bmatrix},\]

niin

\[I_n^2=[\ee_i^T\ee_j]=[\ee_i\cdot\ee_j]=I_n,\]

sillä \(\ee_i\cdot\ee_j=\delta_{ij}\). Yleinen tulos seuraa välittömästi tästä.

Matriisin transpoosi

Aiemmin olemme yhdistäneet vaaka- ja pystyvektorit ”operaatiolla”

\[\begin{split}\xx=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n\end{bmatrix}\Leftrightarrow \xx^T=\begin{bmatrix} x_1 & \hdots &x_n\end{bmatrix}\end{split}\]

Operaatiota kutsutaan transpoosiksi ja se voidaan määritellä myös matriiseille seuraavasti.

Määritelmä.

\(m \times n\)-matriisin \(A=\begin{bmatrix} \aaa_1 & \aaa_2 & \cdots & \aaa_n \end{bmatrix}\) transpoosi on \(n \times m\)-matriisi

\[\begin{split}A^T=\begin{bmatrix} \aaa_1^T \\ \aaa_2^T \\ \vdots \\ \aaa_n^T \end{bmatrix}\end{split}\]

joka saadaan siis vaihtamalla matriisin \(A\) rivien ja sarakkeiden paikat eli matriisin \(A^T\) \(i\):s sarake on matriisin \(A\) \(i\):s rivi, kaikille \(i\).

Vaihtoehtoinen määritelmä saadaan

\[(A^T)_{ij}=A_{ji} \text{ kaikille indekseille } i \text{ ja }j.\]

Huomautus.

\(1\times 1\)-matriisin, eli skalaarin transpoosi on luonnollisesti luku itse, eli jos \(\alpha\in\mathbb{R}=\mathbb{R}^{1\times 1}\), niin \(\alpha^T=\alpha\). ENDB Transpoosin avulla voidaan antaa seuraavat nimitykset:

Määritelmä.  Neliömatriisi \(A\) on symmetrinen, jos \(A^T=A\) ja antisymmetrinen (tai vinosymmetrinen), jos \(A^T=-A\). ENDB Tarkastellaan symmetrisyyttä ja antisymmetrisyyttä esimerkkien avulla.

Esimerkki.  Yksikkömatriisille \(I_n^T=I_n\), eli yksikkömatriisi on symmetrinen.

Esimerkki.

Koska

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 & \beta\\ -\beta & 0 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 0 & -\beta\\ \beta & 0 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} 0 & \beta\\ -\beta & 0 \end{bmatrix},\end{split}\]

on matriisi antisymmetrinen.