Matriisien summa, erotus ja skalaarilla kertominen¶
Matriisien summa. Olkoot A=[\aaa1\aaa2…\aaan] ja B=[\bbb1\bbb2…\bbbn] kaksi m×n-matriisia. Tällöin näiden matriisien summa A+B määritellään matriisina, jonka vastinvektorit on laskettu yhteen, siis
A+B=[\aaa1+\bbb1\aaa2+\bbb2…\aaan+\bbbn].Tästä seuraa, että jos A=[aij] ja B=[bij] ovat matriisin A+B alkiot ovat matriisien A ja B vastinalkioiden summia, eli
A+B=[aij+bij].Matriisien kertominen skalaarilla. Olkoon A=[\aaa1\aaa2…\aaan]=[aij] jokin m×n-matriisi ja c skalaari. Tällöin matriisi cA on m×n-matriisi, missä jokainen matriisin A sarakevektori/alkio on kerrottu skalaarilla c, eli
cA=[c\aaa1c\aaa2…c\aaan]=[caij].Matriisien erotus. Olkoon A jokin m×n-matriisi. Tällöin merkitään −A:=(−1)A ja näin saatua matriisia kutsutaan matriisin A vastamatriisiksi. Matriisien erotus saadaan seuraavasti. Jos A ja B ovat m×n-matriiseja, niin määritellään
B−A:=B+(−A).Jos A ja O ovat samankokoisia, niin
A+O=O+A=A ja A−A=−A+A=O.
Esimerkki.
- OlkootA=[−3201],B=[−131023],C=[1−212−13],D=[301−2].
Laske (jos mahdollista)
(a) 2C+B, (b) A+3D, (c) B−2A (d) D−2A.
Matriisitulo¶
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmjosta muodostetiin m×n-kerroinmatriisi A ja vektorit \xx∈Rn sekä \bbb∈Rm:
A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn],\xx=[x1x2⋮xn],\bbb=[b1b2⋮bm].Yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa vektorimuodossa
[a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn]=\bbb.Kysymys: Haluamme kirjoittaa yhtälöryhmän lyhyesti muotoon :math:A×=. Miten tulo :math:A× tulisi määritellä?
A\xx:=[a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn].Huomaa, että tulon määrittelyssä on oleellista, että m×n-matriisi kerrotaan n-vektorilla. Tulon laskemisen idean hahmottaminen vaatii muutaman toiston tekemistä ”oikeilla” matriiseilla. Jos matriisi A on annettu sarakevektorimuodossa
A=[\aaa1\aaa2…\aaan],on matriisi-vektoritulo
A\xx=x1\aaa1+x2\aaa2+⋯+xn\aaan.Tarkastellaan seuraavia esimerkkejä.
Esimerkki.
Laske A\xx kun
ja
Myös vektorien pistetulo voidaan esittää matriisitulona:
Lause.
Olkoot \xx,\yy∈Rn. Tällöin
\xxT=[x1⋯xn]on 1×n-matriisi. Tällöin matriisi-vektoritulon määritelmän nojalla
\xxT\yy=[x1⋯xn][y1⋮yn]=x1y1+⋯+xnyn=\xx⋅\yy,sillä samaistamme 1×1-matriisit reaalilukujen kanssa. ◻
AB:=[A\bbb1A\bbb2…A\bbbr],siis matriisilla A kerrotaan jokaista matriisin B sarakevektoria.
cij=n∑k=1aikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=\AAAi⋅\bbbj,missä \AAATi on matriisin A i:s vaakavektori.
Esimerkki.
Jos
laske AB ja BA (huom! Nämä voidaan laskea, koska matriisien koot täsmäävät.)
Huomautus.
- Matriisitulo ei ole vaihdannainen, eli AB≠BA.
- Matriisitulolle ei ole tulon nollasääntöä, eli vaikka AB=O niin voi olla, että A≠O ja B≠O.
Lemma. Jos
niin
A\eej=[⋮aij⋮]≠\m0,joka aiheuttaa ristiriidan oletuksen kanssa. ◻
Lause.
Olkoon A on m×n-matriisi. Tällöin
- jos \eei∈Rm niin \eeTiA on matriisin A i:s vaakarivi,
- jos \eej∈Rn niin A\eej on matriisin A j:s sarake.
Esimerkki.
Olkoot
A=[−3201],B=[−131023],C=[1−212−13] ja D=[301−2].Laske, jos mahdollista
- 2AB, (b) AC, (c) AD,
- DA, (e) AA=A2.
Matriisien potenssit¶
Ak=AA⋯A⏟k tekijää.Lisäksi määritellään A0=In.
- ArAs=Ar+s,
- (Ar)s=Ars .
Esimerkki.
Yksikkömatriisin potenssit ovat
kaikilla k∈N.
Matriisin transpoosi¶
Aiemmin olemme yhdistäneet vaaka- ja pystyvektorit ”operaatiolla”
Operaatiota kutsutaan transpoosiksi ja se voidaan määritellä myös matriiseille seuraavasti.
Vaihtoehtoinen määritelmä saadaan
Huomautus.
1×1-matriisin, eli skalaarin transpoosi on luonnollisesti luku itse, eli jos α∈R=R1×1, niin αT=α. ENDB Transpoosin avulla voidaan antaa seuraavat nimitykset:
Määritelmä. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos AT=A ja antisymmetrinen (tai vinosymmetrinen), jos AT=−A. ENDB Tarkastellaan symmetrisyyttä ja antisymmetrisyyttä esimerkkien avulla.
Esimerkki. Yksikkömatriisille ITn=In, eli yksikkömatriisi on symmetrinen.
Esimerkki.
Koska
on matriisi antisymmetrinen.