Processing math: 100%
"

Matriisien summa, erotus ja skalaarilla kertominen

  • Matriisien summa. Olkoot A=[\aaa1\aaa2\aaan] ja B=[\bbb1\bbb2\bbbn] kaksi m×n-matriisia. Tällöin näiden matriisien summa A+B määritellään matriisina, jonka vastinvektorit on laskettu yhteen, siis

    A+B=[\aaa1+\bbb1\aaa2+\bbb2\aaan+\bbbn].

    Tästä seuraa, että jos A=[aij] ja B=[bij] ovat matriisin A+B alkiot ovat matriisien A ja B vastinalkioiden summia, eli

    A+B=[aij+bij].
  • Matriisien kertominen skalaarilla. Olkoon A=[\aaa1\aaa2\aaan]=[aij] jokin m×n-matriisi ja c skalaari. Tällöin matriisi cA on m×n-matriisi, missä jokainen matriisin A sarakevektori/alkio on kerrottu skalaarilla c, eli

    cA=[c\aaa1c\aaa2c\aaan]=[caij].
  • Matriisien erotus. Olkoon A jokin m×n-matriisi. Tällöin merkitään A:=(1)A ja näin saatua matriisia kutsutaan matriisin A vastamatriisiksi. Matriisien erotus saadaan seuraavasti. Jos A ja B ovat m×n-matriiseja, niin määritellään

    BA:=B+(A).
  • Jos A ja O ovat samankokoisia, niin

    A+O=O+A=A  ja  AA=A+A=O.

Esimerkki.

  • Olkoot
    A=[3201],B=[131023],C=[121213],D=[3012].

    Laske (jos mahdollista)

    (a) 2C+B, (b) A+3D, (c) B2A (d) D2A.
Ratkaisu.

Matriisitulo

Palautetaan mieliin lineaarinen yhtälöryhmä
{a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm

josta muodostetiin m×n-kerroinmatriisi A ja vektorit \xxRn sekä \bbbRm:

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn],\xx=[x1x2xn],\bbb=[b1b2bm].

Yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa vektorimuodossa

[a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxnam1x1+am2x2++amnxn]=\bbb.

Kysymys: Haluamme kirjoittaa yhtälöryhmän lyhyesti muotoon :math:A×=. Miten tulo :math:A× tulisi määritellä?

Vastaus: Määritellään se kuten yllä olevassa vektorimuodossa. Matriisi-vektori -tulo määritellään siis asettamalla
A\xx:=[a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxnam1x1+am2x2++amnxn].

Huomaa, että tulon määrittelyssä on oleellista, että m×n-matriisi kerrotaan n-vektorilla. Tulon laskemisen idean hahmottaminen vaatii muutaman toiston tekemistä ”oikeilla” matriiseilla. Jos matriisi A on annettu sarakevektorimuodossa

A=[\aaa1\aaa2\aaan],

on matriisi-vektoritulo

A\xx=x1\aaa1+x2\aaa2++xn\aaan.

Tarkastellaan seuraavia esimerkkejä.

Esimerkki.

Laske A\xx kun

A=[142203017]

ja

\xx=[123].
Ratkaisu.

Myös vektorien pistetulo voidaan esittää matriisitulona:

Lause.

Olkoot \xx,\yyRn. Tällöin

\xx\yy=\xxT\yy.
Todistus.  Vektorin (tai n×1 matriisin) \xx transpoosi
\xxT=[x1xn]

on 1×n-matriisi. Tällöin matriisi-vektoritulon määritelmän nojalla

\xxT\yy=[x1xn][y1yn]=x1y1++xnyn=\xx\yy,

sillä samaistamme 1×1-matriisit reaalilukujen kanssa.

Olkoon A jokin m×n matriisi ja B=[\bbb1\bbb2\bbbr] jokin n×r matriisi. Matriisien tulo AB, joka on siis m×r-matriisi, määritellään asettamalla
AB:=[A\bbb1A\bbb2A\bbbr],

siis matriisilla A kerrotaan jokaista matriisin B sarakevektoria.

Edellä oleva määritelmä voidaan kirjoittaa myös komponenttimuodossa, siis jos A=[aij] on m×n-matriisi ja B=[bij] on n×r-matriisi, niin matriisien tulo C=AB=[cij] on m×r-matriisi, jonka (i,j):s alkio saadaan kertomalla matriisin A i:nen vaakarivin alkiot matriisin B j:nen pystyrivin alkioilla pistetulon tapaan, eli
cij=nk=1aikbkj=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=\AAAi\bbbj,

missä \AAATi on matriisin A i:s vaakavektori.

Esimerkki.

Jos

A=[121210] ja B=[113213]

laske AB ja BA (huom! Nämä voidaan laskea, koska matriisien koot täsmäävät.)

Ratkaisu.

Huomautus.

  • Matriisitulo ei ole vaihdannainen, eli ABBA.
  • Matriisitulolle ei ole tulon nollasääntöä, eli vaikka AB=O niin voi olla, että AO ja BO.
ENDB Perustelu: Harjoitustehtävänä keksit kumpaankin kohtaan sopivan (yksinkertaisen) vastaesimerkin.
Kuitenkin seuraava tulos on voimassa.

Lemma.  Jos

A\xx=\m0  kaikilla  \xxRn,

niin

A=O.
Todistus.  Vastaoletetaan, että AO esimerkiksi siten, että aij0. Tällöin
A\eej=[aij]\m0,

joka aiheuttaa ristiriidan oletuksen kanssa.

Eräänä sovelluksena (jota jo implisiittisesti tarvitiin edellisen lemman todistuksessa) mainittakoon, että matriisi-vektori-tulon avulla voidaan matriisista poimia rivi tai sarake:

Lause.

Olkoon A on m×n-matriisi. Tällöin

  • jos \eeiRm niin \eeTiA on matriisin A i:s vaakarivi,
  • jos \eejRn niin A\eej on matriisin A j:s sarake.
Todistus.

Esimerkki.

  • Olkoot

    A=[3201],B=[131023],C=[121213] ja D=[3012].

    Laske, jos mahdollista

    • 2AB, (b) AC, (c) AD,
    • DA,   (e) AA=A2.
Ratkaisu.

Matriisien potenssit

Kun A ja B ovat n×n-matriiseja, niin AB on n×n-matriisi. Erityistilanne saadaan, jos A=B ja tällöin määritellään A2=AA ja yleisesti Ak, kun kN, on
Ak=AAAk tekijää.

Lisäksi määritellään A0=In.

Jos A on neliömatriisi ja r,s ei-negatiivisia kokonaislukuja, niin on selvää, että
  • ArAs=Ar+s,
  • (Ar)s=Ars .

Esimerkki.

Yksikkömatriisin potenssit ovat

Ikn=In

kaikilla kN.

Ratkaisu.

Matriisin transpoosi

Aiemmin olemme yhdistäneet vaaka- ja pystyvektorit ”operaatiolla”

\xx=[x1xn]\xxT=[x1\hdotsxn]

Operaatiota kutsutaan transpoosiksi ja se voidaan määritellä myös matriiseille seuraavasti.

Määritelmä.

m×n-matriisin A=[\aaa1\aaa2\aaan] transpoosi on n×m-matriisi

AT=[\aaaT1\aaaT2\aaaTn]

joka saadaan siis vaihtamalla matriisin A rivien ja sarakkeiden paikat eli matriisin AT i:s sarake on matriisin A i:s rivi, kaikille i.

Vaihtoehtoinen määritelmä saadaan

(AT)ij=Aji kaikille indekseille i ja j.

Huomautus.

1×1-matriisin, eli skalaarin transpoosi on luonnollisesti luku itse, eli jos αR=R1×1, niin αT=α. ENDB Transpoosin avulla voidaan antaa seuraavat nimitykset:

Määritelmä.  Neliömatriisi A on symmetrinen, jos AT=A ja antisymmetrinen (tai vinosymmetrinen), jos AT=A. ENDB Tarkastellaan symmetrisyyttä ja antisymmetrisyyttä esimerkkien avulla.

Esimerkki.  Yksikkömatriisille ITn=In, eli yksikkömatriisi on symmetrinen.

Esimerkki.

Koska

[0ββ0]T=[0ββ0]=[0ββ0],

on matriisi antisymmetrinen.