Processing math: 100%
"

Virittävät joukot ja lineaarinen riippumattomuus

Matriisin määritelmässä on siis oleellista se, että se voidaan ajatella koostuvan joukosta vektoreita, jotka on ladottu sen sarakkeiksi. Sovelletaan tässä kappaleessa tätä huomiota ja tarkastellaan sitä, millaisen yhteyden matriisin määritelmä antaa vektorilaskennan ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisen välille.

Vektoriyhtälöt

Vektoriyhtälö on yhtälö

c1\vv1+c2\vv2++ck\vvk=\mb,

missä vektorit \vv1,...,\vvk,\mb ovat annettuja ja tuntemattomina ovat reaalilukukertoimet c1,...,ck. Vektoriyhtälön ratkaisun tarkasteleminen on siis ekvivalenttia sen kanssa, voidaanko vektori \mb esittää annettujen vektoreiden \vv1,...,\vvk lineaarikombinaationa. Seuraava lause antaa yhteyden vektoriyhtälön ratkaisemisen ja lineaaristen yhtälöryhmien välille.

Lause.

Olkoot \vv1,...,\vvk,\mb annettuja vektoreita ja A=[\vv1\vvk]. Vektoriyhtälöllä

c1\vv1+c2\vv2++ck\vvk=\mb,

ja yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|\mb], on täsmälleen sama ratkaisu.

Todistus.

Esimerkki.

Tutki, voidaanko vektori

[11]

esittää vektoreiden

[11], [22], [21], [01]

lineaarikombinaationa.

Ratkaisu.

Vektoreiden virittämät joukot

Määritelmä.  Jos S={\vv1,\vv2,,\vvk} on joukko avaruuden Rn vektoreita, niin vektoreiden \vv1,\vv2,,\vvk lineaarikombinaatioiden muodostamaa joukkoa kutsutaan vektoreiden :math:1,2,...,k virittämäksi joukoksi ja merkitään
span{\vv1,\vv2,,\vvk}=span(S).

Jos span(S)=Rn, niin S on avaruuden Rn virittävä joukko. ENDB Tarkemmin sanottuna, jos \xxspan{\vv1,\vv2,,\vvk}, niin

\xx=α1\vv1++αk\vvk,

kun αjR. Eli kun tutkimme sitä, kuuluuko annettu vektori \xx virittävään joukkoon span{\vv1,\vv2,,\vvk}, päädymme edellä mainittuun vektoriyhtälöön ja sen ratkaisemiseen.

Huomionarvoista on se, että vektoreiden S virittämä joukko on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, eli jos \xx,\yyspan(S) ja cR, niin
\xx+\yyspan(S)

ja

c\xxspan(S).

Lisäksi valitsemalla kertoimet α1==αk=0 nähdään, että nollavektori sisältyy jokaiseen virittävään joukkoon, eli

\m0span(S).

Tähän algebralliseen ominaisuuteen palataan seuraavassa luvussa.

Lineaarinen riippumattomuus

Tarkastellaan kahta nollasta eroavaa vektoria \xx ja \yy. Vektorien sanotaan olevan lineaarisesti riippuvat, jos toinen voidaan esittää toista skaalaamalla, siis jos on olemassa reaaliluku λ siten, että
\xx=λ\yy.

Hieman toisella tapaa muotoillen voidaan sanoa, että \xx ja \yy ovat lineaarisesti riippuvat, jos on olemassa nollasta poikkeavat vakiot c1 ja c2 siten, että

c1\xx+c2\yy=\nol.

(Edellinen tapaus seuraa luonnollisesti valinnoilla c1=1 ja c2=λ.) Lineaarisen riippuvuuden idea on siis se, että vektorit voidaan esittää toistensa avulla. Lineaarinen riippumattomuus puolestaan on tämän negaatio, toisin sanoen, ei löydy nollasta poikkeavia vakioita c1 ja c2 siten, että

c1\xx+c2\yy=\nol.

Tällöin vektoreita ei voida esittää toistensa avulla.

Laajennetaan tämän motivaation pohjalta määritelmä koskemaan mielivaltaista vektorijoukkoa.

Määritelmä.

Vektoreiden \vv1,\vv2,,\vvn joukko on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa skalaarit c1,c2,,cn, joista ainakin yksi poikkeaa nollasta ja joille

c1\vv1+c2\vv2++cn\vvn=0.

Vektoreiden joukko, joka ei ole lineaarisesti riippuva on lineaarisesti riippumaton, ts., jos

c1\vv1+c2\vv2++cn\vvn=0,

niin c1==cn=0.

Lause.

Vektorit \vv1,\vv2,,\vvnRm ovat lineaarisesti riippuvia, jos ja vain jos yksikin vektoreista voidaan ilmaista muiden lineaarikombinaationa.

Todistus.  () Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, niin c1\vv1+c2\vv2++cn\vvn=\nol (ja kaikki ci:t eivät ole nollia), joten jokainen vektori \vvi (jonka kerroin ci ei ole nolla) voidaan lausua
\vvi=c1ci\vv1ci1ci\vvi1ci+1ci\vvi+1cnci\vvn.

() Jos joku vektori voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa eli on olemassa vakiot c1,,cn joille \vvi=c1\vv1+c2\vv2++ci1\vvi1+ci+1\vvi+1+cn\vvn, niin uudelleen järjestelemällä saadaan

\vvic1\vv1c2\vv2ci1\vvi1ci+1\vvi+1cn\vvn=\nol,

missä kaikki kertoimet eivät ole nollia (esim. \vvi:n kerroin on yksi), joten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.

Oleellista virityksen kannalta on, että lineaarisesti riippuvat vektorit eivät muuta virittävää joukkoa ja ne voidaan näin ollen unohtaa virittävästä joukosta:

Seuraus.

Olkoot vektorit {\vv1,\vv2,,\vvk} lineaarisesti riippumattomia. Olkoon \xx jokin vektori niin, että joukko {\vv1,\vv2,,\vvk,\xx} on lineaarisesti riippuva. Tällöin

span{\vv1,\vv2,,\vvk}=span{\vv1,\vv2,,\vvk,\xx}.
Todistus.  Jää harjoitustehtäväksi.
Virittävien vektoreiden ja lineaarisen riippumattomuuden tarkastelu on näppärää suorittaa matriisien avulla, kuten kohta näemme.

Lause.

Olkoot \vv1,\vv2,,\vvm vektoreita joukossa Rn ja olkoon A n×m matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli A=[\vv1\vv2\vvm]. Tällöin vektorit \vv1,\vv2,,\vvm ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|0], on epätriviaali ratkaisu.

Todistus.  Lause seuraa suoraan aiemmin todistetusta lauseesta.
Tästä saadaan kontrapositiolain nojalla seuraava tulos:

Seuraus.

Olkoot \vv1,\vv2,,\vvm vektoreita joukossa Rn ja olkoon A n×m matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli A=[\vv1\vv2\vvm]. Tällöin vektorit \vv1,\vv2,,\vvm ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|0], on vain triviaaliratkaisu. ENDB Todistetaan lopuksi lause, joka rajaa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrän avaruuden dimensioon. Toisin sanoen esimerkiksi avaruudessa R3 voidaan löytää korkeintaan 3 lineaarisesti riippumatonta vektoria.

Lause.  Mikä tahansa m:n vektorin joukko joukossa Rn on lineaarisesti riippuva, jos m>n.

Todistus.