"
  1. Virittävät joukot ja lineaarinen riippumattomuus

Virittävät joukot ja lineaarinen riippumattomuus

Matriisin määritelmässä on siis oleellista se, että se voidaan ajatella koostuvan joukosta vektoreita, jotka on ladottu sen sarakkeiksi. Sovelletaan tässä kappaleessa tätä huomiota ja tarkastellaan sitä, millaisen yhteyden matriisin määritelmä antaa vektorilaskennan ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisen välille.

Vektoriyhtälöt

Vektoriyhtälö on yhtälö

\[c_1\vv_1+c_2\vv_2+\cdots+c_k\vv_k=\m{b},\]

missä vektorit \(\vv_1,...,\vv_k,\m{b}\) ovat annettuja ja tuntemattomina ovat reaalilukukertoimet \(c_1,...,c_k\). Vektoriyhtälön ratkaisun tarkasteleminen on siis ekvivalenttia sen kanssa, voidaanko vektori \(\m{b}\) esittää annettujen vektoreiden \(\vv_1,...,\vv_k\) lineaarikombinaationa. Seuraava lause antaa yhteyden vektoriyhtälön ratkaisemisen ja lineaaristen yhtälöryhmien välille.

Lause.

Olkoot \(\vv_1,...,\vv_k,\m{b}\) annettuja vektoreita ja \(A=\begin{bmatrix}\vv_1 & \cdots & \vv_k\end{bmatrix}\). Vektoriyhtälöllä

\[c_1\vv_1+c_2\vv_2+\cdots+c_k\vv_k=\m{b},\]

ja yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on \([A|\m{b}]\), on täsmälleen sama ratkaisu.

Todistus.

Kertoimet \(c_1,...,c_k\) toteuttavat vektoriyhtälön jos ja vain jos

\[\begin{split}c_1\begin{bmatrix} v_{11}\\ v_{21}\\ \vdots\\ v_{n1} \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} v_{12}\\ v_{22}\\ \vdots\\ v_{n2} \end{bmatrix}+\cdots +c_k\begin{bmatrix} v_{1k}\\ v_{2k}\\ \vdots\\ v_{nk} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n. \end{bmatrix},\end{split}\]

\(\iff\)

\[\begin{split}\begin{cases} v_{11}c_1+v_{12}c_2+\cdots+v_{1k}c_k=b_1\\ v_{21}c_1+v_{22}c_2+\cdots+v_{2k}c_k=b_2\\ \vdots\\ v_{n1}c_1+v_{n2}c_2+\cdots+v_{nk}c_k=b_n \end{cases}\end{split}\]

\(\iff\)

\[[A|\m{b}],\ \text{ kun }\ A=\begin{bmatrix} \m{v}_1 & \m{v}_2 & \cdots & \m{v}_k \end{bmatrix}.\]

\(\square\)

Esimerkki.

Tutki, voidaanko vektori

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}\end{split}\]

esittää vektoreiden

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\end{split}\]

lineaarikombinaationa.

Ratkaisu.

Tehtävänä on siis ratkaista vektoriyhtälö

\[\begin{split}c_1\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix} +c_3\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} +c_4\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Kirjoitetaan vektoriyhtälöä vastaava kokonaismatriisi

\[\begin{split}[A|\m{b}]=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 1\\ 1 & -2 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Huomaamme, että kyseinen systeemi on jo ratkaistu aiemmassa esimerkissä, joten vektoriyhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua

\[\begin{split}\begin{aligned} c_1 &= -\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}s,\\ c_2 &=-\frac{1}{4}t+\frac{1}{4}s +\frac{1}{2},\\ c_3 &= t,\\ c_4 &= s,\end{aligned}\end{split}\]

kun \(t,s\in\mathbb{R}\). Esimerkiksi valitsemalla \(t=s=1\) löydetään ratkaisu

\[\begin{split}-2\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} +\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2\\-2 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}\end{split}\]

Vektoreiden virittämät joukot

Määritelmä.  Jos \(S = \{\vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k \}\) on joukko avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, niin vektoreiden \(\vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\) lineaarikombinaatioiden muodostamaa joukkoa kutsutaan vektoreiden :math:`vv_1, vv_2, ldots, vv_k` virittämäksi joukoksi ja merkitään
\[\text{span}\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\}= \text{span}(S).\]

Jos \(\text{span}(S)=\mathbb R^n\), niin \(S\) on avaruuden \(\mathbb R^n\) virittävä joukko. ENDB Tarkemmin sanottuna, jos \(\xx\in\text{span}\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\}\), niin

\[\xx=\alpha_1\vv_1+\cdots+\alpha_k\vv_k,\]

kun \(\alpha_j\in\mathbb{R}\). Eli kun tutkimme sitä, kuuluuko annettu vektori \(\xx\) virittävään joukkoon \(\text{span}\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\}\), päädymme edellä mainittuun vektoriyhtälöön ja sen ratkaisemiseen.

Huomionarvoista on se, että vektoreiden \(S\) virittämä joukko on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen, eli jos \(\xx,\yy\in\text{span}(S)\) ja \(c\in\mathbb{R}\), niin
\[\xx+\yy\in\text{span}(S)\]

ja

\[c\xx\in\text{span}(S).\]

Lisäksi valitsemalla kertoimet \(\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0\) nähdään, että nollavektori sisältyy jokaiseen virittävään joukkoon, eli

\[\m{0}\in\text{span}(S).\]

Tähän algebralliseen ominaisuuteen palataan seuraavassa luvussa.

Lineaarinen riippumattomuus

Tarkastellaan kahta nollasta eroavaa vektoria \(\xx\) ja \(\yy\). Vektorien sanotaan olevan lineaarisesti riippuvat, jos toinen voidaan esittää toista skaalaamalla, siis jos on olemassa reaaliluku \(\lambda\) siten, että
\[\xx=\lambda\yy.\]

Hieman toisella tapaa muotoillen voidaan sanoa, että \(\xx\) ja \(\yy\) ovat lineaarisesti riippuvat, jos on olemassa nollasta poikkeavat vakiot \(c_1\) ja \(c_2\) siten, että

\[c_1\xx+c_2\yy=\nol.\]

(Edellinen tapaus seuraa luonnollisesti valinnoilla \(c_1=1\) ja \(c_2=-\lambda\).) Lineaarisen riippuvuuden idea on siis se, että vektorit voidaan esittää toistensa avulla. Lineaarinen riippumattomuus puolestaan on tämän negaatio, toisin sanoen, ei löydy nollasta poikkeavia vakioita \(c_1\) ja \(c_2\) siten, että

\[c_1\xx+c_2\yy=\nol.\]

Tällöin vektoreita ei voida esittää toistensa avulla.

Laajennetaan tämän motivaation pohjalta määritelmä koskemaan mielivaltaista vektorijoukkoa.

Määritelmä.

Vektoreiden \(\vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_n\) joukko on lineaarisesti riippuva, jos on olemassa skalaarit \(c_1, c_2, \ldots, c_n\), joista ainakin yksi poikkeaa nollasta ja joille

\[c_1\vv_1+c_2 \vv_2+ \cdots + c_n \vv_n = \mathbf{0}.\]

Vektoreiden joukko, joka ei ole lineaarisesti riippuva on lineaarisesti riippumaton, ts., jos

\[c_1\vv_1+c_2 \vv_2+ \cdots + c_n \vv_n = \mathbf{0},\]

niin \(c_1=\cdots=c_n=0\).

Lause.

Vektorit \(\vv_1, \vv_2, \ldots , \vv_n \in \mathbb R^m\) ovat lineaarisesti riippuvia, jos ja vain jos yksikin vektoreista voidaan ilmaista muiden lineaarikombinaationa.

Todistus.  (\(\Rightarrow\)) Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, niin \(c_1\vv_1+c_2\vv_2+ \cdots + c_n\vv_n = \nol\) (ja kaikki \(c_i\):t eivät ole nollia), joten jokainen vektori \(\vv_i\) (jonka kerroin \(c_i\) ei ole nolla) voidaan lausua
\[\vv_i=-\frac{c_1}{c_i}\vv_1 - \cdots -\frac{c_{i-1}}{c_i}\vv_{i-1} -\frac{c_{i+1}}{c_i}\vv_{i+1}-\cdots -\frac{c_{n}}{c_i}\vv_{n}.\]

(\(\Leftarrow\)) Jos joku vektori voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa eli on olemassa vakiot \(c_1, \ldots, c_n\) joille \(\vv_i=c_1\vv_1+c_2\vv_2+ \cdots + c_{i-1}\vv_{i-1}+c_{i+1}\vv_{i+1}\cdots +c_n\vv_n\), niin uudelleen järjestelemällä saadaan

\[\vv_i-c_1\vv_1-c_2\vv_2- \cdots - c_{i-1}\vv_{i-1}-c_{i+1}\vv_{i+1} \cdots -c_n\vv_n=\nol,\]

missä kaikki kertoimet eivät ole nollia (esim. \(\vv_i\):n kerroin on yksi), joten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. \(\square\)

Oleellista virityksen kannalta on, että lineaarisesti riippuvat vektorit eivät muuta virittävää joukkoa ja ne voidaan näin ollen unohtaa virittävästä joukosta:

Seuraus.

Olkoot vektorit \(\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\}\) lineaarisesti riippumattomia. Olkoon \(\xx\) jokin vektori niin, että joukko \(\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k,\xx\}\) on lineaarisesti riippuva. Tällöin

\[\text{span}\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k\}=\text{span}\{ \vv_1, \vv_2, \ldots, \vv_k,\xx\}.\]
Todistus.  Jää harjoitustehtäväksi. \(\square\)
Virittävien vektoreiden ja lineaarisen riippumattomuuden tarkastelu on näppärää suorittaa matriisien avulla, kuten kohta näemme.

Lause.

Olkoot \(\vv_1, \vv_2, \ldots , \vv_m\) vektoreita joukossa \(\mathbb R^n\) ja olkoon \(A\) \(n \times m\) matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli \(A=\begin{bmatrix}\vv_1 & \vv_2 &\ldots & \vv_m\end{bmatrix}\). Tällöin vektorit \(\vv_1, \vv_2, \ldots , \vv_m\) ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on \([A | \mathbf{0}]\), on epätriviaali ratkaisu.

Todistus.  Lause seuraa suoraan aiemmin todistetusta lauseesta. \(\square\)
Tästä saadaan kontrapositiolain nojalla seuraava tulos:

Seuraus.

Olkoot \(\vv_1, \vv_2, \ldots , \vv_m\) vektoreita joukossa \(\mathbb R^n\) ja olkoon \(A\) \(n \times m\) matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli \(A=\begin{bmatrix}\vv_1 & \vv_2 &\ldots & \vv_m\end{bmatrix}\). Tällöin vektorit \(\vv_1, \vv_2, \ldots , \vv_m\) ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on \([A | \mathbf{0}]\), on vain triviaaliratkaisu. ENDB Todistetaan lopuksi lause, joka rajaa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrän avaruuden dimensioon. Toisin sanoen esimerkiksi avaruudessa \(\mathbb{R}^3\) voidaan löytää korkeintaan 3 lineaarisesti riippumatonta vektoria.

Lause.  Mikä tahansa \(m\):n vektorin joukko joukossa \(\mathbb R^n\) on lineaarisesti riippuva, jos \(m>n\).

Todistus.
Olkoon \(\vv_i\) pystyvektori. Tällöin jos \(A=\begin{bmatrix}\vv_1 & \vv_2 &\ldots & \vv_m\end{bmatrix}\), niin kokonaismatriisi \([A | \nol]\) vastaa \(n\) tuntemattoman muuttujan ja \(m\) yhtälön homogeenista lineaarista yhtälöryhmää. Jos \(m>n\) on on muuttujia enemmän kuin yhtälöitä, joten joukossa täytyy olla vapaita muuttujia ja tällöin kokonaismatriisia \([A | \nol]\) vastaavalla yhtälöryhmällä on epätriviaali ratkaisu ja tällöin sarakkeet ovat lineaarisesti riippuvia. \(\square\)