Virittävät joukot ja lineaarinen riippumattomuus¶
Matriisin määritelmässä on siis oleellista se, että se voidaan ajatella koostuvan joukosta vektoreita, jotka on ladottu sen sarakkeiksi. Sovelletaan tässä kappaleessa tätä huomiota ja tarkastellaan sitä, millaisen yhteyden matriisin määritelmä antaa vektorilaskennan ja lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisen välille.
Vektoriyhtälöt¶
Vektoriyhtälö on yhtälö
missä vektorit \vv1,...,\vvk,\mb ovat annettuja ja tuntemattomina ovat reaalilukukertoimet c1,...,ck. Vektoriyhtälön ratkaisun tarkasteleminen on siis ekvivalenttia sen kanssa, voidaanko vektori \mb esittää annettujen vektoreiden \vv1,...,\vvk lineaarikombinaationa. Seuraava lause antaa yhteyden vektoriyhtälön ratkaisemisen ja lineaaristen yhtälöryhmien välille.
Lause.
Olkoot \vv1,...,\vvk,\mb annettuja vektoreita ja A=[\vv1⋯\vvk]. Vektoriyhtälöllä
ja yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|\mb], on täsmälleen sama ratkaisu.
Esimerkki.
Tutki, voidaanko vektori
esittää vektoreiden
lineaarikombinaationa.
Vektoreiden virittämät joukot¶
span{\vv1,\vv2,…,\vvk}=span(S).Jos span(S)=Rn, niin S on avaruuden Rn virittävä joukko. ENDB Tarkemmin sanottuna, jos \xx∈span{\vv1,\vv2,…,\vvk}, niin
\xx=α1\vv1+⋯+αk\vvk,kun αj∈R. Eli kun tutkimme sitä, kuuluuko annettu vektori \xx virittävään joukkoon span{\vv1,\vv2,…,\vvk}, päädymme edellä mainittuun vektoriyhtälöön ja sen ratkaisemiseen.
\xx+\yy∈span(S)ja
c\xx∈span(S).Lisäksi valitsemalla kertoimet α1=⋯=αk=0 nähdään, että nollavektori sisältyy jokaiseen virittävään joukkoon, eli
\m0∈span(S).Tähän algebralliseen ominaisuuteen palataan seuraavassa luvussa.
Lineaarinen riippumattomuus¶
\xx=λ\yy.Hieman toisella tapaa muotoillen voidaan sanoa, että \xx ja \yy ovat lineaarisesti riippuvat, jos on olemassa nollasta poikkeavat vakiot c1 ja c2 siten, että
c1\xx+c2\yy=\nol.(Edellinen tapaus seuraa luonnollisesti valinnoilla c1=1 ja c2=−λ.) Lineaarisen riippuvuuden idea on siis se, että vektorit voidaan esittää toistensa avulla. Lineaarinen riippumattomuus puolestaan on tämän negaatio, toisin sanoen, ei löydy nollasta poikkeavia vakioita c1 ja c2 siten, että
c1\xx+c2\yy=\nol.Tällöin vektoreita ei voida esittää toistensa avulla.
Lause.
Vektorit \vv1,\vv2,…,\vvn∈Rm ovat lineaarisesti riippuvia, jos ja vain jos yksikin vektoreista voidaan ilmaista muiden lineaarikombinaationa.
\vvi=−c1ci\vv1−⋯−ci−1ci\vvi−1−ci+1ci\vvi+1−⋯−cnci\vvn.(⇐) Jos joku vektori voidaan lausua muiden lineaarikombinaationa eli on olemassa vakiot c1,…,cn joille \vvi=c1\vv1+c2\vv2+⋯+ci−1\vvi−1+ci+1\vvi+1⋯+cn\vvn, niin uudelleen järjestelemällä saadaan
\vvi−c1\vv1−c2\vv2−⋯−ci−1\vvi−1−ci+1\vvi+1⋯−cn\vvn=\nol,missä kaikki kertoimet eivät ole nollia (esim. \vvi:n kerroin on yksi), joten vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. ◻
Seuraus.
Olkoot vektorit {\vv1,\vv2,…,\vvk} lineaarisesti riippumattomia. Olkoon \xx jokin vektori niin, että joukko {\vv1,\vv2,…,\vvk,\xx} on lineaarisesti riippuva. Tällöin
Lause.
Olkoot \vv1,\vv2,…,\vvm vektoreita joukossa Rn ja olkoon A n×m matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli A=[\vv1\vv2…\vvm]. Tällöin vektorit \vv1,\vv2,…,\vvm ovat lineaarisesti riippuvia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|0], on epätriviaali ratkaisu.
Seuraus.
Olkoot \vv1,\vv2,…,\vvm vektoreita joukossa Rn ja olkoon A n×m matriisi, jossa nämä vektorit muodostavat sarakkeet eli A=[\vv1\vv2…\vvm]. Tällöin vektorit \vv1,\vv2,…,\vvm ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos homogeenisella lineaarisella yhtälöryhmällä, jonka kokonaismatriisi on [A|0], on vain triviaaliratkaisu. ENDB Todistetaan lopuksi lause, joka rajaa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden määrän avaruuden dimensioon. Toisin sanoen esimerkiksi avaruudessa R3 voidaan löytää korkeintaan 3 lineaarisesti riippumatonta vektoria.
Lause. Mikä tahansa m:n vektorin joukko joukossa Rn on lineaarisesti riippuva, jos m>n.