1. Usean muuttujan funktiot »
  2. Lokaalit ääriarvot
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Lokaalit ääriarvot

Osittaisderivaatat liittyvät oleellisesti usean muuttujan funktion ääriarvoihin. Ennen usean muuttujan funktion lokaalin ääriarvon käsitteen määrittelyä on tarpeellista pohtia, mitä tässä tapauksessa tarkoittaa pisteen ympäristö. Siinä missä yhden muuttujan funktiolla tietyn pisteen \(a\) ympäristö oli avoin väli \((c,d)\), jossa pisteestä \(a\) voidaan edetä vain joko kohti pistettä \(c\) tai pistettä \(d\), kahden tai useamman muuttujan tapauksessa ympäristö levittäytyy useampaan suuntaan pisteestä \(\ba\) katsottuna. Pisteen \(\ba\) ympäristöllä tarkoitetaan yleisessä tapauksessa siis avointa palloa \(B(\ba,r)=\{\bx\in\R^n\ :\ \|\bx-\ba\|<r\}\), missä \(\ba\) on keskipiste ja \(r\) säde. Alueen reuna, joka on kolmiulotteisessa tapauksessa pallokuori, ei sisälly avoimeen palloon.

Kahden muuttujan tapauksessa määrittelyjoukko on tasoalue ja \(\ba\) on kaksiulotteinen piste \((a,b)\), jolloin varsinaisen pallon sijasta joukkona on \((a,b)\)-keskinen \(r\)-säteinen kiekko eli ympyräkäyrän sisäänsä sulkema alue (ilman, että itse reuna kuuluu alueeseen).

Määritelmä 7.4.1

Funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) on joukossa \(D\subseteq\R^n\) pisteessä \(\ba\in D\)

  • lokaali maksimi, jos \(f(\bx)\le f(\ba)\) jossakin pisteen \(\ba\) ympäristössä

    \(\bx\in B(\ba,r)\cap D\), ja

  • lokaali minimi, jos \(f(\bx)\ge f(\ba)\) jossakin pisteen \(\ba\) ympäristössä

    \(\bx\in B(\ba,r)\cap D\).

Pistettä \(\ba\) kutsutaan ääriarvopisteeksi (minimipisteeksi tai maksimipisteeksi) ja arvoa \(f(\ba)\) ääriarvoksi (minimiarvoksi tai maksimiarvoksi). Toisin sanoen jos funktion kaikki arvot ovat pienempiä (vastaavasti suurempia) pisteen \(\ba\) sisältävän pallon sisällä, niin pisteessä \(\ba\) on funktiolla lokaali minimi (vastaavasti maksimi).

Esimerkki 7.4.2

Funktiolla \(f(x,y)=(\frac12-x^2+y^2)\exp(1-x^2-y^2)\) on kaksi lokaalia minimiä ja kaksi lokaalia maksimia.

../_images/lokminmax.svg

Lause 7.4.3 (Välttämätön ehto lokaalille ääriarvolle)

Jos funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) on lokaali ääriarvopiste \(\ba\) ja funktiolla \(f\) on kaikki osittaisderivaatat pisteessä \(\ba\), niin kaikki \(f\):n osittaisderivaatat ovat nollia pisteessä \(\ba\) eli

\[\frac{\partial f}{\partial x_i}(\ba)=0\]

kaikilla \(i=1,\ldots,n\).

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite funktiolle \(f\colon\R^2\to\R\) (\(n\):n muuttujan tapaus vastaavasti). Oletetaan, että \((a,b)\in\R^2\) on funktion \(f\) lokaali maksimipiste ja että on olemassa \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) sekä \(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\). Tarkastellaan apufunktioita \(g(x) = f(x, b)\) ja \(h(y) = f(a,y)\), jotka ovat nyt yhden muuttujan funktioita. Aiemman huomautuksen perusteella

\[g'(a) = \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\]

ja

\[h'(b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) .\]

Tällöin siis apufunktio \(g\) on derivoituva pisteessä \(a\) ja vastaavasti apufunktio \(h\) pisteessä \(b\). Lisäksi nämä pisteet ovat näiden apufunktioiden lokaalit maksimipisteet funktion \(f\) lokaalin maksimipisteen \((a,b)\) perusteella. Totea tämä määritelmien 7.4.1 ja 5.6.1 avulla. Tällöin yhden muuttujan funktioita koskevan lauseen 5.6.4 perusteella saadaan, että \(g'(a) = 0\) ja \(h'(b) = 0\). Siis

\[\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = 0.\qedhere\]

Lokaalissa ääriarvopisteessä osittaisderivaatat ovat nollia. Nämä eivät kuitenkaan ole ainoita pisteitä, joissa kaikki osittaisderivaatat häviävät. Pistettä, jossa osittaisderivaatat ovat nollia, mutta joka ei ole lokaali ääriarvopiste, kutsutaan satulapisteeksi (saddle point).

Esimerkki 7.4.4

Seuraavien funktioiden osittaisderivaatat ovat nollia pisteessä \((0,0)\):

  1. Funktiolla \(f(x,y)=x^2+y^2\) on lokaali minimi pisteessä \((0,0)\).
  2. Funktiolla \(f(x,y)=1-x^2-y^2\) on lokaali maksimi pisteessä \((0,0)\).
  3. Funktiolle \(f(x,y)=x^2-y^2\) piste \((0,0)\) on satulapiste.
../_images/minimaxisatula.svg

Tarkastellaan funktiota \(f(x,y) = xy+x^2y\).

Mitkä ovat osittaisderivaatan \(\frac{\partial f}{\partial x}\) nollakohdat?
Mitkä ovat osittaisderivaatan \(\frac{\partial f}{\partial y}\) nollakohdat?
Funktion kriittinen piste on piste, jossa joko kaikki funktion osittaisderivaatat ovat nollia tai jossa vähintään yksi osittaisderivaatta ei ole määritelty. Valitse seuraavista kaikki funktion \(f\) kriittiset pisteet.