1. Derivaatta »
  2. Ääriarvot ja funktion kulku
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Ääriarvot ja funktion kulku

Derivaatan tärkein sovellus matematiikassa on funktion kuvaajan kulun tutkiminen. Piirteitä, joista ollaan kiinnostuneita, ovat erityisesti funktion kasvu tai väheneminen kysytyillä väleillä, sekä niiden pisteiden sijainnit joissa funktio saa muita pisteitä suurempia tai pienempiä arvoja.

Määritelmä 5.6.1

Reaalifunktiolla \(f : A\to\R\) on määrittelyjoukon \(A\) pisteessä \(c\)

  • (globaali) maksimi, jos \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
  • (globaali) minimi, jos \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
  • lokaali maksimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\),
  • lokaali minimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\).

Pistettä \(c\) kutsutaan ääriarvopisteeksi (minimipisteeksi tai maksimipisteeksi) ja arvoa \(f(c)\) ääriarvoksi (minimiarvoksi tai maksimiarvoksi). Funktion \(f\) globaalia maksimiarvoa joukossa \(A\) merkitään \(\max_Af\) tai \(\max f\) ja minimiarvoa \(\min_Af\) tai \(\min f\).

Miten yllä olevaa määritelmää pitää tulkita? Vastaa seuraaviin kysymyksiin.

Mitä termillä globaali minimi tarkoitetaan määritelmän mukaan?
Mikä seuraavista kuvaa parhaiten termiä lokaali minimi?
Mikä seuraavista väitteistä on tosi jonkin funktion \(f\) minimeille?
Jos on olemassa piste \(c\), joka on samanaikaisesti funktion \(f : \R \to \R\) globaali minimipiste ja globaali maksimipiste, niin mikä seuraavista on funktion kuvaaja?

Tyypillisesti tarkastelujoukko on suljettu ja rajoitettu väli, eli \(A=[a,b]\).

../_images/derivaattamaksimitjaminimi.svg

Otetaan seuraava, varsin intuitiivinen ääriarvolause käyttöön ilman todistusta. Täsmällinen todistus nojaa reaalilukujoukon supremumin käsitteeseen ja reaalilukujen täydellisyysaksioomaan, joita ei tällä kurssilla käsitellä.

Lause 5.6.2

Suljetulla ja rajoitetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Toisin sanottuna, jos funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin löydetään sellaiset välin \([a, b]\) pisteet \(c\) ja \(d\), että

\[f(c) \leq f(x) \leq f(d),\]

kun \(x \in [a, b]\).

Seuraavat esimerkit osoittavat, että kaikki ääriarvolauseen oletukset (väli on suljettu, väli on rajoitettu ja funktio on jatkuva) ovat tarpeen.

Esimerkki 5.6.3

  1. Määritellään funktio \(f : [-1, 2) \to \R\) asettamalla \(f(x) = x^2\). Tällöin \(f\) on jatkuva ja väli on rajoitettu, mutta ei suljettu. Funktiolla \(f\) on minimi \(f(0) = 0\), mutta ei maksimia, sillä päätepisteen \(2\) läheisyydessä funktion arvot lähestyvät arvoa \(4\), mutta kyseistä arvoa ei saavuteta.

  2. Määritellään funktio \(g : [-1, \infty) \to \R\) asettamalla \(g(x) = x^2\). Tällöin \(g\) on jatkuva ja väli on suljettu, mutta ei rajoitettu. Funktiolla \(g\) on minimi \(g(0) = 0\), mutta ei maksimia.

  3. Määritellään funktio \(h : [-1, 2] \to \R\) asettamalla

    \[\begin{split}h(x) = \begin{cases} -2x - 1, & \text{kun } x < 0 \\ x^2, & \text{kun } x \geq 0. \end{cases}\end{split}\]

    Tällöin väli on suljettu ja rajoitettu, mutta \(h\) ei ole jatkuva. Funktiolla \(h\) on maksimi \(h(2) = 4\), mutta ei minimiä.

../_images/derivaattaaariarvosaantiehdot.svg

Etsi pienimmät ja suurimmat arvot. Yritä ainakin aluksi päätellä ilman laskinta ja muistella, miten funktioiden kuvaajat käyttäytyvät. Kiinnitä erityistä huomiota alla annettujen funktioiden määrittelyjoukkoihin. Muistutukseksi: \(\pi \approx 3{,}14\). Kysymyksissä käsitellään funktioita

\[f \colon [0,2] \to \R, f(x)=\sin{x} \qquad\text{ja}\qquad g \colon (0,2] \to \R, f(x)=\cos{x}.\]
Mikä on funktion \(f\) globaali minimi?
Mikä on funktion \(f\) globaali maksimi?
Mikä on funktion \(g\) pienin arvo?
Mikä on funktion \(g\) suurin arvo?

Lause 5.6.4

Jos piste \(c\) on funktion \(f\) lokaali ääriarvokohta ja \(f\) on derivoituva pisteessä \(c\), niin \(f'(c)=0\).

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että \(c\) on samassa pisteessä derivoituvan funktion \(f\) lokaali maksimipiste. Koska \(f\) on derivoituva, niin

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]

ja koska \(c\) on lokaali maksimipiste, niin \(f(c+h) - f(c) \leq 0\) pienillä reaaliluvuilla \(h\). Jos nyt \(h > 0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0\]

ja tämän vuoksi myös

\[f'(c)=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0.\]

Vastaavasti, jos \(h<0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0\]

ja siten

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0.\]

On osoitettu, että \(f'(c)\le0\) ja \(f'(c)\ge0\), joten on oltava \(f'(c)=0\). Minimikohdan tapauksessa todistus on vastaava.

Edellisen lauseen nojalla siis ne funktion \(f\) ääriarvokohdat, joissa \(f\) on derivoituva, löytyvät derivaatan nollakohtien joukosta. Jokainen derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole ääriarvokohta.

Esimerkki 5.6.5

Olkoon \(f(x)=\dfrac14x^4-\dfrac43x^3+2x^2-1\). Haetaan derivaatan \(f'(x)=x^3-4x^2+4x\) nollakohdat.

\[\begin{split}\begin{aligned} &x^3-4x^2+4x=0\\ \Leftrightarrow\quad &x(x^2-4x+4)=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x^2-4x+4=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x=2 \end{aligned}\end{split}\]
../_images/derivaattanollakohtaeiaariarvo.svg

Kuvan avulla arvataan, että näistä \(x=0\) on lokaali minimipiste, mutta \(x=2\) ei ole lokaali ääriarvopiste. Tarkemmat perustelut jätetään myöhemmäksi.

Määritelmä 5.6.6

Pistettä \(c\), jossa \(f'(c)=0\) tai jossa \(f\) ei ole derivoituva, kutsutaan funktion \(f\) kriittiseksi pisteeksi.

Kriittisten pisteiden avulla voidaan kuvata myös ääriarvoja, jotka eivät osu pisteisiin, joissa funktio on derivoituva.

Lause 5.6.7

Olkoon \(f : [a,b] \to \R\) jatkuva funktio ja olkoon \(c\) funktion \(f\) ääriarvopiste. Tällöin \(c\) on joko kriittinen piste tai välin \([a,b]\) päätepiste.

Tämä tulos voidaan vihdoin muotoilla jatkuvan funktion \(f\) globaalien ääriarvojen etsintäohjeeksi suljetulla välillä \([a,b]\).

  1. Etsi kriittiset pisteet, eli derivaatan nollakohdat ja pisteet, joissa \(f\) ei ole derivoituva.
  2. Laske funktion \(f\) arvo kriittisissä pisteissä ja välin päätepisteissä \(a\) ja \(b\).
  3. Poimi saamistasi arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki 5.6.8

Etsi funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\) suurin ja pienin arvo välillä \([-2, 2]\).

Piilota/näytä ratkaisu

Funktio \(f\) on derivoituva ja \(f'(x)=3x^2-6x-9 = 3(x + 1)(x - 3)\). Derivaatan nollakohdat ovat siis \(x=-1\) ja \(x=3\), joista vain ensin mainittu on tarkasteluvälillä. Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisessä pisteessä.

\[f(-2) = 0, \qquad f(-1) = 7, \qquad f(2) = -20\]

Täten \(\min_{[-2, 2]}f = -20\) ja \(\max_{[-2, 2]} = 7\).

Esimerkki 5.6.9

Määritä funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) suurin ja pienin arvo, kun \(-1\le x\le\frac{1}{2}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Funktio \(f\) on jatkuva ja \(f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-1\), kun \(x\ne0\). Pisteessä \(x=0\) funktio \(f\) ei ole derivoituva, koska \(|f'(x)|\to\infty\), kun \(x\to0\) (perustelu sivuutetaan). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.

\[\frac23x^{-1/3}-1=0 \Leftrightarrow x^{-1/3}=\frac32 \Leftrightarrow x=\left(\frac32\right)^{-3}=\frac{8}{27}.\]

Välille \(\left[-1,\frac{1}{2}\right]\) sijoittuvat siis kriittiset pisteet \(0\) ja \(\frac{8}{27}\). Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisissä pisteissä.

\[f(-1) = 2, \qquad f(0) = 0, \qquad f\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{4}{27}, \qquad f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 - \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}\]

Täten \(\min_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 0\) ja \(\max_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 2\). Funktion kuvaaja hahmotellaan myöhemmässä esimerkissä.

Tarkastellaan funktiota \(f \colon [-2,2] \to \R\), \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\). Vastatessasi ota huomioon määrittelyjoukko.

Valitse seuraavista funktion \(f\) nollakohdat.
Valitse seuraavista kaikki funktion \(f\) kriittiset pisteet.
Mikä seuraavista on funktion \(f\) suurin arvo?
Valitse kaikki ne väitteet, jotka ovat tosia.

Raja-arvojen yhteydessä esiteltiin jatkuvien funktioiden väliarvolause ja samassa yhteydessä mainittiin differentiaalilaskennan väliarvolauseesta. Seuraavaksi todistetaan niin sanottu Rollen lause, jonka avulla tämä differentiaalilaskennan väliarvolause on suoraviivaista todistaa. Väliarvolauseiden tapaan seuraavat lauseet takaavat erityisen luvun olemassaolon mutta eivät kerro mitään siitä, miten kyseinen luku löydetään. Kuitenkin pelkkä tietoisuus tällaisen luvun olemassaolosta riittää perustelemaan tämän osion lopussa esitellyt keskeiset funktion kulkua kuvailevat tulokset.

Lause 5.6.10 (Rollen lause)

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos \(f(a)=f(b)=0\), niin \(f'(c)=0\) jollakin \(c\in(a,b)\).

Piilota/näytä todistus

Ääriarvolauseen mukaan \(f\) saavuttaa maksiminsa ja miniminsä välillä \([a,b]\). Tarkastellaan kolmea tapausta.

  1. \(f = 0\) välillä \((a, b)\). Tällöin myös \(f' = 0\) välillä \((a, b)\), joten löydetään \(c \in (a, b)\), jolle \(f'(c) = 0\).
  2. \(f\) saa positiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada maksimiaan välin päätepisteessä, eli maksimikohta \(c\) on välillä \((a, b)\). Toisaalta nyt aiemman lauseen nojalla \(f'(c) = 0\).
  3. \(f\) saa negatiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada minimiään välin päätepisteessä, ja päätellään kuten edellisessä kohdassa.

Siis löydetään välin \((a, b)\) piste \(c\), jolle \(f'(c) = 0\).

Tarkastellaan funktiota \(f \colon \R \to \R\), \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\), joka on määrittelyjoukkoa lukuunottamatta sama funktio kuin edellisessä tehtävässä. Nyt funktioon \(f\) halutaan soveltaa Rollen lausetta. Miten Rollen lauseen luvut \(a\) ja \(b\) tulee valita, jotta sen oletukset toteutuvat?

\(a =\)
\(b =\)

Mikä on nyt Rollen lauseen mainitsema luku \(c\)?

\(c =\)

Rollen lause voidaan yleistää differentiaalilaskennan väliarvolauseeksi.

Lause 5.6.11 (Differentiaalilaskennan väliarvolause)

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Tällöin

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

jollakin \(c \in (a, b)\).

Piilota/näytä todistus

Määritellään funktio \(F : [a, b] \to \R\) asettamalla

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),\]

jolloin sen derivaatta on

\[F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]

Nyt \(F(a) = f(a) - f(a) = 0\) ja \(F(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0\), sekä \(F\) on jatkuvien ja derivoituvien funktioiden summana jatkuva välillä \([a, b]\) ja derivoituva välillä \((a, b)\). Funktio \(F\) siis toteuttaa Rollen lauseen oletukset, joten on olemassa sellainen välin \((a, b)\) piste \(c\), että

\[F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \Leftrightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\qedhere\]

Geometrisesti lauseen väite on ilmeinen: jatkuvan ja derivoituvan funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on jossakin välin pisteessä \(c\) sama kuin pisteiden \((a,f(a))\) ja \((b,f(b))\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin.

../_images/derivaattadval.svg

Esimerkki 5.6.12

Autoilija ajaa tiellä, jonka nopeusrajoitus on \(80\) km/h. Osa tiestä kulkee tunnelin läpi, jonka pituus on \(500\) m. Poliisi tarkkailee tunnelin päitä ylinopeuksien varalta ja tutkalukemien lisäksi laskee, kuinka monta sekuntia autoilla kestää kulkea tunnelin läpi. Autoilija ajaa tunneliin nopeudella \(79\) km/h ja poistuu tunnelista nopeudella \(77\) km/h, ja tunnelin läpäisyyn kuluu \(20\) s. Pitääkö autoilijaa sakottaa ylinopeudesta?

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään tehtävän ratkaisussa differentiaalilaskennan väliarvolausetta. Olkoon \(x(t)\) funktio, joka kuvaa autoilijan paikkaa tunnelissa ajanhetkellä \(t\) siten, että \(x(0) = 0\) (m) ja \(x(20) = 500\) (m). Oletetaan lisäksi, että funktio \(x(t)\) on jatkuva välillä \([0,20]\) ja derivoituva välillä \((0,20)\).

Autoilijan nopeus ajanhetkellä \(t\in(0,20)\) saadaan laskemalla paikan aikaderivaatan arvo tässä pisteessä. Siispä tällä välillä \(v(t) = x'(t)\). Differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella nyt löytyy jokin sellainen \(t_0\in(0,20)\), jolle

\[v(t_0) = x'(t_0) = \frac{x(20) - x(0)}{20 - 0} = \frac{500 - 0}{20} = 25 \text{ (m/s)},\]

eli autoilijan nopeus ajanhetkellä \(t_0\) on ollut \(25\) m/s tai vastaavasti \(90\) km/h. Näin ollen autoilijaa tulee sakottaa ylinopeudesta.

Funktion kulun tutkiminen

Tarkastellaan seuraavaksi, miten funktion kulkua voidaan tutkia derivaatan avulla.

Lause 5.6.13

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), ja että \(f'(x)=0\) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on vakiofunktio.

Piilota/näytä todistus

Valitaan piste \(x\) väliltä \((a, b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Jollakin \(c\in(a,x)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0,\]

ja täten \(f(x)-f(a)=0\) eli \(f(x)=f(a)\) jokaisella \(x \in (a, b)\), missä \(f(a)\) on vakio. Funktio \(f\) saa pisteessä \(a\) luonnollisesti arvon \(f(a)\), ja jatkuvuuden nojalla \(f(b) = f(a)\).

Lause 5.6.14

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja että \(f'(x)>0\) (\(f'(x)<0\)) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on aidosti kasvava (aidosti vähenevä) välillä \([a,b]\).

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että \(f'(x)>0\) aina, kun \(x\in(a,b)\) (tapaus \(f'(x)<0\) voidaan todistaa vastaavasti). On osoitettava, että jos \(u, v \in [a, b]\) ja \(u < v\), niin \(f(u) < f(v)\). Sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([u,v]\). Jollakin \(c \in (u, v)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u} \Leftrightarrow f(v)-f(u)=f'(c)(v-u).\]

Mutta koska \(f'(c)>0\) ja \(v-u>0\), niin \(f(v)-f(u)>0\) ja siten \(f(u)<f(v)\).

Esimerkki 5.6.15

Funktion \(f(x)=x^3-3x+1\) derivaatan \(f'(x)=3x^2-3\) nollakohdat ovat \(x=-1\) ja \(x=1\). Koska lisäksi derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, tiedetään että \(f'\) saa negatiivisia arvoja välillä \((-1, 1)\) ja positiivisia muualla. Täten funktio \(f\) on siis aidosti kasvava väleillä \((-\infty, -1)\) ja \((1, \infty)\), sekä aidosti vähenevä välillä \((-1, 1)\). Tieto voidaan koota myös kuvan mukaiseksi merkkikaavioksi, josta voidaan myös päätellä, onko kriittisessä pisteessä lokaali minimi tai maksimi.

../_images/esim-funktion-kulku1.svg

Samaa menetelmää voidaan yrittää soveltaa myös silloin, kun \(f\) ei ole derivoituva koko välillä, tai sen määrittelyjoukko ei ole suljettu ja rajoitettu väli. Tällöin etsitään nämä ehdot täyttäviä määrittelyjoukon osavälejä, ja otetaan muulla tavalla huomioon hankalat pisteet.

Esimerkki 5.6.16

Tutkitaan esimerkin 5.6.9 funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) kulkua. Derivaatan

\[f'(x)=\frac23x^{-1/3}-1\]

ainoa nollakohta on \(\frac{8}{27}\). Lisäksi \(f\) ei ole derivoituva pisteessä \(0\), mikä näkyy funktion kuvaajalla origon kohdalla olevana kärkenä. Funktion kuvaaja ja merkkikaavio voidaan esittää kuten alla.

../_images/esim-funktion-kulku2edit.svg

Esimerkki 5.6.17

Tutkitaan funktion \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-x}\) kulkua. Nimittäjän \(x^2-x=x(x-1)\) nollakohdissa \(0\) ja \(1\) funktio \(f\) ei ole määritelty. Derivaatan

\[f'(x)=\frac{-2x+1}{(x^2-x)^2}\]

nimittäjä on määrittelyjoukossa positiivinen, joten derivaatan merkki määräytyy osoittajasta \(-2x+1\), jonka ainoa nollakohta on \(x=\frac{1}{2}\). Epäjatkuvuuskohdat on kuitenkin syytä ottaa huomioon merkkikaaviossa erikseen.

../_images/esim-funktion-kulku3.svg

Differentiaalilaskennan väliarvolause antaa työkalun, jolla käytännössä lasketaan toispuoleiset derivaatat. Sen mukaan toispuoleiset derivaatat saadaan derivaatan toispuoleisena raja-arvona.

Lause 5.6.18

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos derivaatalla on olemassa raja-arvo

\[L=\lim_{x\to a+}f'(x),\]

niin funktiolla \(f\) on pisteessä \(a\) oikeanpuoleinen derivaatta \(f'(a+)\) ja \(f'(a+)=L\). Vastaava tulos on voimassa vasemmanpuoleiselle derivaatalle \(f'(b-)\) pisteessä \(b\).

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että derivaattafunktiolla on oikeanpuoleinen raja-arvo \(L\) pisteessä \(a\). Oletetaan lisäksi, että \(x\in(a,b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Nyt siis

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c(x))\]

jollakin ylärajasta \(x\) riippuvalla välin \((a, x)\) pisteellä \(c(x)\). Toisaalta nyt

\[f'(a+) = \lim_{x \to a+}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a+}f'(c(x)),\]

missä \(c(x) \to a+\), kun \(x \to a+\). Täten siis oletuksen nojalla

\[f'(a+) = \lim_{c \to a+}f'(c) = L.\qedhere\]

Lause tarkoittaa, että avoimella välillä derivoituvan funktion toispuoleiset derivaatat välin päätepisteissä voidaan laskea suoraan derivaattafunktion toispuoleisina raja-arvoina, jos kyseiset raja-arvot ovat olemassa.

Esimerkki 5.6.19

Tarkastellaan itseisarvofunktiota \(f(x)=|x|\). Koska

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} -x,&\text{kun }x<0\\ x,&\text{kun }x\ge0,\end{cases}\end{split}\]

niin \(f(x)\) on derivoituva väleillä \((-\infty, 0)\) ja \((0, \infty)\), ja

\[\begin{split}f'(x)=\begin{cases} -1,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0.\end{cases}\end{split}\]

Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(0\), joten edellisen lauseen nojalla toispuoleiset derivaatat siinä ovat

\[f'(0-)=\lim_{x\to0-}f'(x)=-1\ne1=\lim_{x\to0+}f'(x)=f'(0+).\]

Täten \(f\) ei ole derivoituva, mikä näkyy kärkenä (kulmana) funktion \(f\) kuvaajassa.

../_images/itseisarvokuvaaja.svg

Esimerkki 5.6.20

Määritä ne vakioiden \(a\) ja \(b\) arvot, joilla funktio

\[\begin{split}f(x)= \begin{cases} x+a,&\text{ kun }x<1\\ bx^2,&\text{ kun }x\ge1 \end{cases}\end{split}\]

on derivoituva kaikkialla.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska polynomifunktiot ovat derivoituvia, funktio \(f\) on jo valmiiksi derivoituva, kun \(x\ne1\). Derivoituvuuden edellytys on jatkuvuus, ja jotta \(f\) olisi jatkuva pisteessä \(x=1\), on oltava

\[\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(x+a)=1+a=b=f(1).\]

Lauseen ?? nojalla derivoituvuuteen pisteessä \(x=1\) vaaditaan

\[f'(1-)=\lim_{x\to1-}f'(x)=\lim_{x\to1-}1=1=2b=\lim_{x\to1+}2bx=\lim_{x\to1+}f'(x)=f'(1+).\]

Näistä kahdesta ehdosta muodostuu yhtälöpari

\[\begin{split}\begin{cases} 1+a=b\\ 1=2b, \end{cases}\end{split}\]

jonka ratkaisuksi saadaan \(a=-\frac{1}{2}\) ja \(b=\frac{1}{2}\). Geometrisesti ongelmassa on kyse suoran ja paraabelin liittämisestä pisteessä \(x=1\) siten, että kuvaajaan ei jää kulmaa.

../_images/derivaattasuoraparaabeliliitto.svg

Huomautus 5.6.21

  1. Lauseen ?? oletus jatkuvuudesta on oleellinen. Esimerkin 5.6.3 funktion \(h\) derivaatan

    \[\begin{split}h'(x) = \begin{cases} -2, & \text{kun } x < 0 \\ 2x, & \text{kun } x > 0 \end{cases}\end{split}\]

    vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä \(0\) on \(\lim\limits_{x\to0-}h'(x)=-2\), mutta erotusosamäärän raja-arvoa

    \[\lim_{x \to 0-}\frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = -2 - \lim_{x \to 0-}\frac{1}{x},\]

    ja täten vasemmanpuoleista derivaattaa \(h'(0-)\) ei ole olemassa.

  2. Oletus \(L = \lim\limits_{x \to a+}f'(x)\) tarkoittaa, että derivaattafunktio \(f'\) on oikealta jatkuva pisteessä \(a\). Oletus raja-arvon olemassaolosta ei ole kuitenkaan aina välttämätön toispuoleisen derivaatan olemassaololle. Esimerkiksi funktiolle

    \[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right),&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0, \end{cases}\end{split}\]

    on kuristusperiaatteen nojalla

    \[f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0,\]

    mutta raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to0+}f'(x)\) ei ole olemassa.

Joskus funktion \(f : \R\to\R\) kuvaajan hahmottelemisessa voidaan käyttää apuna sen asymptoottista käyttäytymistä. Sanotaan, että suora \(y=ax+b\) on kuvaajan \(y=f(x)\) asymptootti, jos

\[\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0.\]

Jos \(a = 0\), on kyseessä vaakasuora asymptootti. Tähän luokkaan kuuluva asymptootti kuvaa siis funktion käytöstä hyvin suurilla tai pienillä reaaliluvuilla: funktion kuvaaja lähestyy (mutta ei saavuta) asymptoottiaan, kun \(x\) kasvaa rajatta.

../_images/derivaattaasymptootti.svg

Suora \(x=a\) on puolestaan kuvaajan \(y=f(x)\) pystysuora asymptootti, jos

\[\lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty.\]

Esimerkki 5.6.22

Hahmotellaan funktion \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x+2}\) kuvaaja. Koska \(x + 2 \to 0\), kun \(x \to -2\pm\), niin

\[\lim_{x\to-2\pm}f(x)=\pm\infty\]

ja kuvaajalla on pystysuora asymptootti \(x=-2\). Derivaatan

\[f'(x)=\frac{(2x-2)(x+2)-(x^2-2x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x-1}{(x+2)^2}\]

nollakohdiksi saadaan ratkaisukaavalla \(x=-2\pm\sqrt5\). Lisäksi funktiota \(f\) ei ole määritelty, kun \(x=-2\). Kulkukaavioksi saadaan seuraavanlainen taulukko.

../_images/derivaattakuvaajahahmottelukulku.svg

Suoritetaan funktion \(f\) määrittelevän lausekkeen jakolasku.

../_images/derivaattajakokulma1.svg

Jakojäännökseksi jää \(5\), joten

\[f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+2}=x-4+\frac{5}{x+2}.\]

Tässä \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x+2}=0\), eli suora \(y=x-4\) on asymptootti.

Kun piirretään asymptootit, lasketaan funktion \(f\) arvot derivaatan nollakohdissa ja huomataan, että \(f(x)<x-4\), kun \(x<-2\) ja \(f(x)>x-4\), kun \(x>-2\), niin voidaan hahmotella kuvaaja.

../_images/derivaattakuvaajahahmottelukuvaajaa.svg
Jos ajatellaan mitä tahansa rationaalifunktiota, niin mitkä nimittäjän nollakohdista aiheuttavat rationaalifunktion kuvaajalle pystysuoran asymptootin?
Mitä kannattaa yleensä tehdä, jos tutkii, onko jollain rationaalifunktiolla kalteva asymptoottisuora?

Tarkastellaan sitten funktiota

\[f(x)=\frac{3x^2-x+2}{x}.\]
Mikä seuraavista on funktion \(f\) pystysuora asymptootti?
Funktiolla \(f\) on toinenkin asymptootti. Mikä seuraavista on funktion \(f\) asymptootti?

Esimerkki 5.6.23

Halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen säilyketölkki. Vaippa ja pohjat valmistetaan ohuesta metallilevystä. Miten tölkin korkeus ja pohjan halkaisija on valittava, jotta levyä kuluisi mahdollisimman vähän? Vaipan ja pohjan liitoskohdissa tarvittaviin taitoksiin kuluva levy jätetään yksinkertaisuuden vuoksi huomiotta.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon tölkin korkeus \(h\) (cm) ja pohjan halkaisija \(d\) (cm). Tölkin tilavuudeksi halutaan 500 kuutiosenttimetriä, joten merkitään

\[\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2h=500.\]

Ilmaistaan tölkin korkeus pohjan halkaisijan avulla.

\[h=\frac{2000}{\pi d^2}\]

Kulunutta levyn määrää on kätevä mitata tölkin pinta-alalla, joka on lierion vaipan ja kahden pohjaympyrän alan summa, eli

\[A = \pi dh+2\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 =\frac{2000}{d}+\frac{\pi}{2}d^2 = A(d).\]

On selvitettävä funktion \(A(d)\) pienin arvo välillä \((0, \infty)\). Funktio \(A\) on jatkuva tällä välillä, joten riittää tarkastella vain derivaatan nollakohtia. Lasketaan derivaatta

\[A'(d)=-\frac{2000}{d^2}+\pi d\]

ja sen nollakohta

\[\frac{2000}{d^2}=\pi d \quad\Leftrightarrow\quad d=\sqrt[3]{\frac{2000}{\pi}}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\]

Koska \(-2000/d^2\) ja \(\pi d\) ovat kasvavia funktioita joukossa \((0, \infty)\), niin derivaatta on kasvava funktio ja siten negatiivinen pisteen \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\) vasemmalla ja positiivinen oikealla puolella. Tämän vuoksi funktion \(A\) minimi saavutetaan kohdassa \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\). Vastaava korkeus on

\[h=\frac{2000}{\pi\left(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\right)^2}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} = d.\]

Sekä tölkin korkeudeksi että pohjan halkaisijaksi on siis valittava \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\), eli noin 8,6 cm.