\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Usean muuttujan reaaliarvoiset funktiot
Tarkastellaan seuraavaksi usean muuttujan reaaliarvoisia funktioita \(f\colon D\to\R\), missä \(D\subseteq\R^n\). Usein tiedetään vain funktion lauseke, eikä määrittelyjoukkoa \(D\) erikseen ilmoiteta. Tällöin määrittelyjoukoksi otetaan suurin mahdollinen joukko, jossa funktio on määritelty. Lisäksi yksinkertaisuuden vuoksi merkitään jatkossa \(f\colon\R^n\to\R\), vaikka funktion \(f\) määrittelyjoukko ei olisikaan koko \(\R^n\).
Funktion \(f\colon\R^n\to\R\) arvoa pisteessä \(\bx=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\R^n\) merkitään
\[f(\bx)=f((x_1,x_2,\ldots,x_n))=f(x_1,x_2,\ldots,x_n).\]
Esimerkeissä useimmiten \(n=2\) tai \(n=3\).
- Kahden muuttujan funktio \(f\) liittää jokaiseen määrittelyjoukkonsa alkioon \((x,y)\) reaaliluvun \(f(x,y)\).
- Kolmen muuttujan funktio \(f\) liittää jokaiseen määrittelyjoukkonsa alkioon \((x,y,z)\) reaaliluvun \(f(x,y,z)\).
Monesti usean muuttujan funktion määrittelyjoukko on sellainen avaruuden \(\R^n\) osajoukko, jota kutsutaan alueeksi. Tämä liittyy siihen, että usein on oleellista tarkastella funktion \(f \colon \R^n \to \R\) arvoja jonkin määrittelyjoukon pisteen \(\bx\) läheisyydessä ja alueessa tämä on aina mahdollista. Voidaan esimerkiksi haluta laskea arvoja \(f(\bx + h\be)\), kun \(h\) on lähellä nollaa oleva (eli ”pieni”) positiivinen reaaliluku ja \(\be \in \R^n\) jokin yksikkövektori. Tällä kurssilla ei kuitenkaan perehdytä tarkemmin alueen käsitteeseen vaan tyydytään alla kuvailemaan, mitä se tarkoittaa.
Alue on avaruuden \(\R^n\) osajoukko, joka on yhtenäinen ja avoin. Yhtenäisyys tarkoittaa sitä, että mitkä tahansa kaksi joukon pistettä voidaan yhdistää kokonaisuudessaan joukon sisällä kulkevalla käyrällä. Kuvaannollisesti yhtenäisen joukon voi maalata nostamatta pensseliä. Joukon avoimuus taas tarkoittaa, että yksikään joukkoon kuuluva piste ei sijaitse joukon reunakäyrällä, vaan jokaisella pisteellä on ympärillään toisia saman joukon pisteitä ”joka suuntaan”. Tasossa tämä tarkoittaa, että avoimen joukon \(A\) mikä tahansa piste voidaan valita keskipisteeksi sellaiselle (mahdollisesti hyvin pienisäteiselle) ympyrälle, jonka sisällä ei ole mitään muita kuin joukon \(A\) pisteitä. Alla vasemmanpuoleinen vihreä joukko on alue, jos yksikään reunakäyrien pisteistä ei sisälly joukkoon. Oikeanpuoleinen punainen joukko ei ole alue, koska se ei ole yhtenäinen.
Yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota \(f \colon \R \to \R\) on totuttu havainnollistamaan geometrisesti kuvaajalla \(y = f(x)\). Tarkemmin sanottuna yhden muuttujan reaaliarvoisen funktion \(f(x)\) kuvaaja (graph) on joukko
(1)\[G_f=\{\, (x,f(x))\in\R^2\,:\, x\in\R\,\}=\{\,(x,y)\in\R^2\,:\, y=f(x),\ x\in\R\,\}.\]
Kuvaaja voidaan piirtää \(xy\)-koordinaatistoon. Esimerkiksi
Vastaavalla tavalla geometrisesti voidaan havainnollistaa kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota \(f \colon \R^2 \to \R\). Funktion \(f(x,y)\) kuvaaja on joukko
\[\begin{split}\begin{aligned}
G_f&=\{\,(x,y,f(x,y))\in\R^3\,:\, (x,y)\in\R^2\,\}\\
&=\{\,(x,y,z)\in\R^3\,:\, z=f(x,y),\ (x,y)\in\R^2\,\},
\end{aligned}\end{split}\]
joka voidaan piirtää \(xyz\)-koordinaatistoon.
Käsitellään esimerkkinä erästä kahden muuttujan funktioon liittyvää kuvaajapintaa.
Esimerkki 7.2.1
Tarkastellaan pintaa
\[f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}=z.\]
Huomataan, että kuvaaja nousee pystysuoraksi suoran \(y=-x\) kohdalla. Tämä on luonnollista, sillä tätä suoraa lähestyttäessä nimittäjä \(x+y\) lähestyy nollaa, kun taas \(x-y\) ei. Tämä tarkoittaa, että funktion arvo kasvaa mielivaltaisen suureksi tai pienenee mielivaltaisen pieneksi.
Tietysti myös funktion \(f \colon \R^n \to \R\) havainnollistamisessa voisi tarkastella joukkoa
\[G_f = \{\, (x_1,\dots,x_n,f(x_1,\dots,x_n)) \,:\, (x_1,\dots,x_n) \in \R^n \,\}.\]
Kun \(n \ge 3\), tällaista ei kuitenkaan voida piirtää mielekkäällä tavalla, vaan funktion geometrinen käyttäytyminen jää mielikuvien tasolle. Kuitenkin jonkinlaista geometrista tuntumaa on silloinkin mahdollista hakea ainakin tapauksessa \(n=3\) niin sanottujen tasa-arvopintojen avulla. Tasa-arvopintoja ovat ne pistejoukot, joita funktioon sijoittamalla saadaan sama vakioarvo. Esimerkiksi eräs tasa-arvopinta olisi joukko \(\{(x,y,z)\in \mathbb{R} : f(x,y,z)=1\}\). Tasa-arvopintoja ei käsitellä tämän enempää tällä opintojaksolla, vaan niihin tutustutaan tarkemmin kurssilla Usean muuttujan funktiot.
