\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Korkeammat derivaatat
Jos derivoituvan funktion \(f\) derivaatta \(f'\) on sekin derivoituva, niin derivaattaa \(D(f'(x))\) kutsutaan funktion \(f\) toiseksi derivaataksi ja merkitään
\[f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)).\]
Vastaavasti määritellään \(f\):n kolmas derivaatta
\[f^{(3)}(x)=D(f''(x)),\]
ja yleisesti \(n\):s derivaatta
\[f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)).\]
Huomaa, että korkeampien derivaattojen numerolla tai kirjaimella \(n\) esitetty yläindeksimerkintä laitetaan aina sulkuihin erotukseksi potenssiin korotuksesta.
Esimerkki 5.7.1
Lasketaan funktion \(f(x)=x^3+x^{3/2}\) neljä ensimmäistä derivaattaa.
\[\begin{split}\begin{aligned}
f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\
f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\
f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\
f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2}
\end{aligned}\end{split}\]
Korkeampia derivaattoja käytetään esimerkiksi funktion approksimointiin Taylorin polynomeilla, jotka parantavat lineaarista approksimaatiota. Toisen derivaatan avulla voidaan lisäksi tutkia derivaattafunktion kulkua ja tehdä tarkempia päätelmiä myös funktion \(f\) käyttäytymisestä.
Lause 5.7.2
Olkoon \(f\) kahdesti derivoituva välillä \((a,b)\) ja olkoon välin \((a,b)\) piste \(c\) funktion \(f\) kriittinen piste, eli \(f'(c)=0\).
- Jos \(f''(x)>0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali minimipiste.
- Jos \(f''(x)<0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali maksimipiste.
Piilota/näytä todistus
Jos
\(f''(x)>0\), niin
lauseen 5.6.14 nojalla funktio
\(f'\) on aidosti kasvava välillä
\((a,b)\). Tämän vuoksi sen merkin on vaihduttava negatiivisesta positiiviseksi pisteessä
\(c\), ja
\(c\) on funktion
\(f\) lokaali minimipiste. Tapaus
\(f''(x)<0\) todistuu vastaavasti.
Esimerkki 5.7.3
Esimerkin 5.6.15 funktion \(f(x)=x^3-3x+1\) derivaatalla \(f'(x)=3x^2-3\) on nollakohdat pisteissä \(\pm 1\). Toinen derivaatta \(f''(x)=6x\) on negatiivinen pisteen \(-1\) ja positiivinen pisteen \(1\) ympäristössä, joten funktiolla \(f\) on pisteissä \(-1\) ja \(1\) lokaalit maksimi- ja minimipisteet.
Alaspäin kupera funktion \(f\) kuvaaja kaareutuu aina ylöspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa yläpuolella, sillä \(f'\) on kasvava funktio. Vastaavasti ylöspäin kuperan funktion derivaatta on vähenevä, joten funktion kuvaaja kaareutuu alaspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa alapuolella.
Esitellään seuraavaksi hyvä muistisääntö siihen, miten toisen derivaatan merkki vaikuttaa ääriarvon laatuun. Funktion kuvaajan ääriarvokohdan paikalle kannattaa kuvitella kasvot, jonka suun funktion kuvaaja muodostaa. Jos toinen derivaatta on positiivinen, nostaa se hymyn kasvoille ja tällöin kuvaajassa on lokaali minimipiste. Negatiivinen toinen derivaatta saa puolestaan suunpielet alaspäin, eli kuvaajaan muodostuu lokaali maksimipiste.
Esimerkki 5.7.5
Tarkastellaan funktiota \(f(x)=\sin x\) välillä \((-\pi,\pi)\). Nyt \(f'(x)=\cos x\) ja \(f''(x)=-\sin x\). Toisen derivaatan arvo pisteessä \(0\) on \(f''(0) = 0\), ja samalla \(f''\) vaihtaa merkkiä. Piste \(0\) on siis funktion \(f\) käännepiste, jossa funktio muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi.
