$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Raja-arvon määrittäminen laskusääntöjen avulla¶

Raja-arvon tarkastelun lähtökohtana on se, että funktion arvojen käyttäytymistä voidaan tarkastella mielivaltaisen lähellä tiettyä pistettä $a$ . Siispä on luonnollista vaatia, että funktio on määritelty ainakin kyseisen pisteen läheisyydessä ja sen molemmilla puolilla, jotta pistettä voidaan ylipäätään lähestyä. Määritellään pisteen $a$ läheisyys seuraavaksi täsmällisemmin.

Määritelmä 4.2.1

Reaaliluvun $a$ sisältävää avointa väliä $(c,d)$ kutsutaan pisteen $a$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $(c,a)\cup(a,d)$ pisteen $a$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Välillä tarkasteltavaa funktiota ei ole määritelty pisteessä $a$ , jossa funktion raja-arvo halutaan määrittää. Tällöin kuitenkin riittää, että funktio on määritelty pisteen $a$ jossakin punkteeratussa ympäristössä, jotta funktion käyttäytymistä voidaan tutkia mielivaltaisen lähellä kyseistä pistettä. Tästä hyvänä esimerkkinä on esimerkin 4.1.1 kohdan 2 funktio, jota ei ole määritelty, kun $x=0$ , mutta silti voidaan tarkastella, mitä tapahtuu, kun lähestytään kyseistä pistettä. Siispä raja-arvoa määritettäessä ei oikeastaan olla kiinnostuneita, mitä funktiolle käy juuri pisteessä $a$ , vaan mitä sille käy, kun pistettä $a$ lähestytään.

Reaalifunktion tapauksessa piste $a$ on tyypillisesti jokin piste $x$ -akselilla, ja sitä voidaan siten lähestyä vasemmalta tai oikealta. Perustetaan tähän havaintoon seuraavat (epämuodolliset) raja-arvon käsitteet.

Määritelmä 4.2.2

Olkoon funktio $f$ on määritelty joukossa $\left( b,a \right)$ . Funktion $f$ vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ , jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua vasemmalta $\left( x < a \right)$ . Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a-}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a-}.$

Olkoon sitten funktio $f$ määritelty joukossa $\left( a,b \right)$ . Vastaavasti funktion $f$ oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ , jos funktion arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät lukua $L$ muuttujan $x$ lähestyessä lukua oikealta $\left( x > a \right)$ . Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a+}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a+}.$

Vasemman- ja oikeanpuoleisista raja-arvoista käytetään yhteisnimitystä toispuoleiset raja-arvot.

Funktion varsinainen raja-arvo on nyt luontevaa määritellä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Jos funktion toispuoleiset raja-arvot ovat pisteessä $a$ yhtä suuret, lähestyvät funktion arvot samaa arvoa riippumatta siitä, lähestytäänkö pistettä $a$ vasemmalta tai oikealta. Tällöin varsinaiseksi raja-arvoksi on järkevää määritellä toispuoleisten raja-arvojen yhteinen arvo.

Määritelmä 4.2.3

Funktion $f$ raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ jos ja vain jos sekä sen vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $a$ on $L$ . Tällöin merkitään

$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$

Ehdolle saadaan siis yhtäpitävä ilmaus

$\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L \qquad \text{jos ja vain jos} \qquad \lim\limits_{x \to a-} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a+} f\left( x \right) = L .$

Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu, että katkoviivalla merkityt funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät molemmat lukua $L$ , kun muuttuja $x$ lähestyy lukua $a$ vasemmalta ja oikealta. Idea on siis hyvin intuitiivinen.

../_images/Raja-arvon-havainnollistus.svg

Seuraava esimerkki perustelee, miksi toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on välttämätön ehto sille, että funktion raja-arvo on olemassa. Näiden olemassaolo ei kuitenkaan ole riittävä ehto, mikä tulee myös esimerkissä esiin.

Esimerkki 4.2.4

Havainnollistetaan erilaisten raja-arvojen käsitteitä, sekä toispuoleisten raja-arvojen samuuden välttämättömyyttä raja-arvon olemassaololle.

Funktiolla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1.$

Koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat, raja-arvoa $\lim\limits_{x\to1}f(x)$ ei ole olemassa määritelmän 4.2.3 mukaisesti.
Funktiolla

$\begin{split}g(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to0-}g(x)=0=\lim_{x\to0+}g(x).$

Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret, raja-arvo $\lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ on olemassa määritelmän 4.2.3 mukaisesti.
Funktiolla

$\begin{split}h(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on vasemmanpuoleinen raja-arvo $\lim\limits_{x\to0-}h(x)=1$ , mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0+}h(x)$ , eikä siten myöskään raja-arvoa $\lim\limits_{x\to0}h(x)$ . Esimerkissä 1.5 on perusteltu täsmällisesti, miksei raja-arvoa $\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$ ole olemassa.

Huomaa, että mikään yllä olevista funktioista ei ole määritelty siinä pisteessä, jossa raja-arvoa tutkitaan.

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä. Osan laskusäännöistä voi varsin helposti perustella itselleen geometrisesti, mutta niiden tarkka todistaminen vaatii raja-arvon täsmällisen määritelmän, minkä vuoksi todistukset sivuutetaan tässä kohtaa.

Lause 4.2.5

Jos $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}$ ja $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$ , sekä $c \in \R$ , niin

$\lim\limits_{x \to a}c = c$ ,
$\lim\limits_{x \to a}x = a$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M}$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM}$ ,
$\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}}$ , jos $M\ne0$ ,
$\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$ , $a>0$ ,
Jos $\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$ ja $\displaystyle{\lim_{x\to M}f(x)=f(M)}$ , niin $\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$ .

Edellisen lauseen viidennestä kohdasta seuraa suoraan seuraava tulos. Tuloksen voi todistaa yksinkertaisesti induktiolla ja hyödyntämällä kohtaa 5.

Seuraus 4.2.6

Jos $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ on olemassa, niin $\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,$ kun $n\in\N$ .

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä mainittuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Esimerkki 4.2.7

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia. Merkitään selvyyden vuoksi numeroin, mitä raja-arvon laskusääntöjä kussakin kohdassa on käytetty. Nyt

$\lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}\stackrel{6.}{=}\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)} \stackrel{4. \text{ ja } 3.}{=}\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3} \stackrel{2. \text{ ja } 1.}{=} \frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18},$

missä toisen yhtäsuuruuden kohdalla on käytetty lisäksi seurausta 4.2.6 termin $2x^3$ kohdalla.

Esimerkki 4.2.8

Raja-arvo

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}$

on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$ . Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteinen tekijä pois.

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)} =4$
Raja-arvoa

$\lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}$

ei ole olemassa. Kun $x$ lähestyy arvoa $2$ vasemmalta, eli $x<2$ , niin $2-x>0$ ja siten $\frac{1}{2-x}>0$ . Lisäksi nimittäjä $2-x$ lähestyy nollaa, eli nyt ykköstä jaetaan jollain pienellä nollaa lähellä olevalla luvulla. Tällainen luku on hyvin suuri ja kasvaa sitä mukaan, mitä lähempänä nollaa nimittäjä $2-x$ on. Täten $\frac{1}{2-x}$ kasvaa rajatta, kun $x \to 2+$ ja näin ollen oikean puoleista raja-arvoa ei ole olemassa. Tästä puolestaan seuraa, että raja-arvoa ei ole olemassa. Jos $x>2$ , niin $2-x$ on negatiivinen ja vastaavin perusteluin voidaan todeta, että $\frac{1}{2-x}$ saa mielivaltaisen pieniä arvoja, kun $x \to 2-$ .

Esimerkki 4.2.9

Raja-arvon laskusäännöistä seuraa, että

$\lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.$
Tutkitaan raja-arvoa

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$

Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $0$ , mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella $\sqrt{x+4}+2$ . Näin päästään eroon osoittajan neliöjuuresta ja jakolaskusta voidaan supistaa nollaa kohti menevät termit pois. Nimittäjään tuleva neliöjuurilauseke $\sqrt{x+4}+2$ ei lähesty nollaa, kun $x\to 0$ , joten se ei aiheuta ongelmia.

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to\frac14,$

kun $x \to 0$ .

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate, jonka todistaminen sivuutetaan. Todistus vaatii jälleen raja-arvon täsmällisen määritelmän.

Lause 4.2.10 (Kuristusperiaate)

Olkoon $f(x)\le g(x)\le h(x)$ aina, kun $x\ne a$ jossakin pisteen $a$ ympäristössä ja oletetaan, että

$\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).$

Tällöin $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ .

Kuristusperiaate antaa mahdollisuuden arvioida mielenkiinnon kohteena olevaa funktiota $g(x)$ ylös- ja alaspäin ja saada näin monimutkaisempi raja-arvo lasketuksi. Huomaa, että sekä ylä- että alarajan funktioiden $f$ ja $h$ täytyy supeta kohti samaa arvoa tarkastelun kohteena olevassa pisteessä $a$ . Aina sopivien rajoittavien funktioiden löytäminen ei ole helppoa, mutta esimerkiksi sinistä ja kosinista tiedetään, että niiden arvot ovat välillä $[-1,1]$ , ja tätä tietoa voidaan käyttää hyväksi kuristusperiaatetta käytettäessä. Havainnollistetaan tätä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4.2.11

Funktiolla $g(x)=x\sin\frac1x$ on raja-arvo $0$ pisteessä $0$ , sillä

$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$

ja $f(x)=-|x|\to0$ ja $h(x)=|x|\to0$ , kun $x\to0$ .

Funktiot $-|x|$ ja $|x|$ ikäänkuin ”kuristavat” funktion $x\sin \frac{1}{x}$ lähestymään arvoa $0$ .

Raja-arvon määrittäminen laskusääntöjen avulla¶

Tärkeitä raja-arvoja¶