Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu¶
Määritelmä 4.2.3 ei riitä työkaluksi matemaattiseen päättelyyn. On tarpeen määritellä täsmällisemmin, mitä tarkoitetaan sillä, että funktion f arvot f(x) lähestyvät lukua L muuttujan x lähestyessä lukua a.
Huomautuksen 1.4.2 mukaisesti |x−y| tarkoittaa lukujen x ja y etäisyyttä. Huomaa, että määritelmän ehdossa esiintyvän epäyhtälöketjun 0<|x−a|<δ vasen puolikas eli 0<|x−a| viittaa siihen, että x≠a. Pisteessä a etsittävän raja-arvon kannalta ei siis ole väliä, mikä funktion arvo f(a) on pisteessä a tai onko funktio f edes määritelty kyseisessä pisteessä.
Pohditaan sitten määritelmän ehdon muita osia. Ehdon pitää olla voimassa jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle ε. Luku ε esiintyy ehdossa lukujen f(x) ja L välisen etäisyyden |f(x)−L| ylärajana. Vastaavasti luku δ on ehdossa yläraja lukujen x ja a etäisyydelle |x−a|. Ehto sanoo, että valittiinpa ε>0 kuinka hyvänsä (oleellisesti: kuinka läheltä nollaa hyvänsä), niin voimme löytää jonkin sellaisen valitusta luvusta ε riippuvan positiivisen luvun δ, että kun piste x on korkeintaan luvun δ etäisyydellä pisteestä a, säilyy funktion arvo f(x) korkeintaan luvun ε etäisyydellä luvusta L. Kun tätä varsin monimutkaista ehtoa pohtii tarkemmin, niin huomaa, että se käytännössä muotoilee matemaattisen täsmällisesti intuitiivisen luonnehdinnan raja-arvolle, eli funktion arvo f(x) saadaan kuinka lähelle arvoa L tahansa, kun muuttuja x on riittävän lähellä pistettä a.
Selvennetään vielä määritelmän lukujen ε ja δ suhdetta toisiinsa kuvan avulla. Alla olevassa kuvassa valittua lukua ε vastaa sellainen luku δ, että kun x on välillä (a−δ,a+δ), säilyvät funktion kuvaajalle punaisella merkityt arvot f(x) välillä (L−ε,L+ε). Koska funktion arvolla pisteessä a ei ole raja-arvon kannalta väliä, sen poissaoloa tarkastelusta esitetään valkoiseksi jätetyllä pisteellä.
Ehdon pitää määritelmän mukaisesti toimia jokaiselle positiiviselle luvulle ε. Voit miettiä tai jopa itsellesi piirtää, mitä kuvassa muuttuu, jos luvun ε sijasta olisikin valittu pienempi luku, esimerkiksi ε2. Jotta funktion f raja-arvo olisi L, täytyisi pystyä löytämään jokin δ1, jotta väli (L−ε2,L+ε2) sisältäisi kaikki ne funktion arvot f(x), joilla x∈(a−δ1,a+δ1).
Määritelmää voisi siis ajatella eräänlaisena kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla f raja-arvo L kun muuttuja x lähestyy lukua a. Aloittava pelaaja E ”epäilijä” valitsee aina luvun ε ja toinen pelaaja U ”uskoja” luvun δ. Pelaaja E voittaa mikäli pelaaja U ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa δ. Pelaaja U voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja δ.
Määritelmän käytön yhteydessä käytetään usein sanotaan, että ε valitaan mielivaltaisesti tai saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tällä käytännössä tarkoitetaan, että käsitellään kaikkia ja erityisesti pieniä luvun ε arvoja kerralla. Lukujen ε ja δ yhteys esitetään yleensä niin, että ajatellaan luvun δ olevan muuttujaan ε liittyvä funktio ja sanotaan, että luku δ valitaan jollain tavalla, esimerkiksi ”valitaan δ=√ε”.
Esimerkki 4.5.2
Osoita, että limx→−2f(x)=1, kun f(x)=3x+7.
Olkoon ε>0 mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen δ>0, että olettamalla 0<|x−(−2)|<δ saadaan perusteltua rajaus |f(x)−1|<ε. Pyritään kirjoittamaan lauseketta |f(x)−1| sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke |x−(−2)|=|x+2|.
Valitaan δ=ε3>0 ja oletetaan, että 0<|x+2|<δ. Tällöin edellisen nojalla
mikä todistaa väitteen.
Esimerkki 4.5.3
Osoita, että limx→1f(x)=−3, kun f(x)=x2+3x−7.
Olkoon ε>0 mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen δ>0, että olettamalla 0<|x−1|<δ saadaan perusteltua ehto |f(x)+3|<ε. Pyritään jälleen tuomaan |x−1| näkyviin lausekkeessa |f(x)+3|.
Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle δ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi 1. Jos tiedetään, että δ≤1, niin rajauksen |x−1|<δ jälkeen on oltava 0<x<2. Mutta tämän vuoksi 4<|x+4|<6, eli
Valitaan δ=min{ε6,1} ja oletetaan, että 0<|x−1|<δ. Tällöin
mikä todistaa väitteen.
Nyt raja-arvojen laskusäännöt voidaan todistaa nojautuen raja-arvon täsmälliseen määritelmään. Todistetaan näistä esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo. Koska ε–δ-todistustekniikka on haastava aihe, voit ottaa todistuksen seuraamisen matemaattisena haasteena.
Esimerkki 4.5.4
Osoita, että jos limx→ag(x)=M ja limx→Mf(x)=f(M), niin limx→af(g(x))=f(M).
Olkoon ε>0. Tavoitteena on löytää sellainen luku δ>0, että
Merkitään selkeyden vuoksi ulkofunktion f muuttujaa kirjaimella y.
Koska raja-arvon f(M) oletetaan olevan olemassa, on raja-arvon määritelmän perusteella olemassa sellainen δ1>0, jolle
Vastaavasti raja-arvon M oletetun olemassaolon vuoksi voidaan löytää jokin δ2>0, jolle
Yllä olevalla rivillä on käytetty luvun ε sijaan lukua δ1, sillä määritelmän ehdon pitää olla voimassa kaikilla nollaa suuremmilla luvuilla, siis myös luvulla δ1.
Valitsemalla δ=δ2 saadaan aikaan se, että kun 0<|x−a|<δ, niin |g(x)−M|<δ1. Merkitään y=g(x). Määritelmän yhteydessä kerrottiin, että ehdossa 0<|y−M|<δ1 raja-arvon selvittämisen kannalta oleellista on se, että myös epäyhtälöketjun vasen puolikas on voimassa. Tarkastetaan kuitenkin varmuuden vuoksi, mitä tapahtuu, jos |y−M|=0 eli y=M. Sellaisissa pisteissä x, joissa y=g(x)=M, on voimassa
Kaikissa muissa pisteissä, eli silloin kun 0<|g(x)−M|=|y−M|<δ1, tiedetään kohdan (1) perusteella, että
Siispä kummassakin tapauksessa oletuksesta 0<|x−a|<δ seuraa se, että
Näin ollen raja-arvon määritelmän mukaisesti limx→af(g(x))=f(M).
Raja-arvon määritelmällä voidaan myös osoittaa, ettei raja-arvoa ole olemassa.
Esimerkki 4.5.5
Osoita, että raja-arvoa limx→0sin1x ei ole olemassa.
Tehdään vastaoletus, jonka mukaan limx→0sin1x on olemassa. Merkitään tätä raja-arvoa luvulla L, ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa väistämättä ristiriitaan.
Raja-arvon määritelmän mukainen ehto raja-arvon L olemassaololle koskee kaikkia positiivisia reaalilukuja ε. Näin ollen luku L ei olekaan raja-arvo, jos löydetään jokin luku ε>0, jolle määritelmän mukaista lukua δ>0 ei ole olemassa. Täytyy siis löytää sellainen luku ε>0, että millä tahansa luvulla δ>0 löytyy jokin luku x0, jolla on voimassa
On tärkeää huomata, että funktion sin1x kuvaaja heilahtelee voimakkaasti arvojen 1 ja −1 välillä, kun x→0. Tämän havainnon perusteella voidaan raja-arvon määritelmässä valita ε=1 riippumatta siitä, mikä raja-arvo L on. Olkoon jatkossa δ jokin mielivaltainen positiivinen luku.
Nyt joko L≥0 tai L<0. Oletetaan ensin, että L≥0. Määritetään seuraavaksi, millä muuttujan x arvoilla sin1x=−1.
missä n on jokin kokonaisluku. Jotta vielä 0<|x0|<δ, pitää olla n>12(1πδ+32).
Tällöin vaikka 0<|x0|<δ, saadaankin
eli raja-arvon määritelmän ehto ei toteudu millään positiivisella reaaliluvulla δ. Näin ollen luku L ei ole funktion sin1x raja-arvo. Siispä välttämättä L<0, ja tämä tapaus jätetään lukijalle pohdittavaksi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että tällöinkään luku L ei toteuta raja-arvon määritelmää. Tämä puolestaan on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, eli alkuperäinen väite on tosi.