Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu

Määritelmä 4.2.3 ei riitä työkaluksi matemaattiseen päättelyyn. On tarpeen määritellä täsmällisemmin, mitä tarkoitetaan sillä, että funktion f arvot f(x) lähestyvät lukua L muuttujan x lähestyessä lukua a.

Määritelmä 4.5.1

Olkoon reaalifunktio f määritelty jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla f on raja-arvo (limit) LR pisteessä a, jos jokaista ε>0 kohti löydetään sellainen δ>0, että |f(x)L|<ε aina, kun 0<|xa|<δ, eli

ε>0 δ>0:0<|xa|<δ|f(x)L|<ε.

Tällöin merkitään

L=limxaf(x)taif(x)L, kun xa.

Huomautuksen 1.4.2 mukaisesti |xy| tarkoittaa lukujen x ja y etäisyyttä. Huomaa, että määritelmän ehdossa esiintyvän epäyhtälöketjun 0<|xa|<δ vasen puolikas eli 0<|xa| viittaa siihen, että xa. Pisteessä a etsittävän raja-arvon kannalta ei siis ole väliä, mikä funktion arvo f(a) on pisteessä a tai onko funktio f edes määritelty kyseisessä pisteessä.

Pohditaan sitten määritelmän ehdon muita osia. Ehdon pitää olla voimassa jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle ε. Luku ε esiintyy ehdossa lukujen f(x) ja L välisen etäisyyden |f(x)L| ylärajana. Vastaavasti luku δ on ehdossa yläraja lukujen x ja a etäisyydelle |xa|. Ehto sanoo, että valittiinpa ε>0 kuinka hyvänsä (oleellisesti: kuinka läheltä nollaa hyvänsä), niin voimme löytää jonkin sellaisen valitusta luvusta ε riippuvan positiivisen luvun δ, että kun piste x on korkeintaan luvun δ etäisyydellä pisteestä a, säilyy funktion arvo f(x) korkeintaan luvun ε etäisyydellä luvusta L. Kun tätä varsin monimutkaista ehtoa pohtii tarkemmin, niin huomaa, että se käytännössä muotoilee matemaattisen täsmällisesti intuitiivisen luonnehdinnan raja-arvolle, eli funktion arvo f(x) saadaan kuinka lähelle arvoa L tahansa, kun muuttuja x on riittävän lähellä pistettä a.

Selvennetään vielä määritelmän lukujen ε ja δ suhdetta toisiinsa kuvan avulla. Alla olevassa kuvassa valittua lukua ε vastaa sellainen luku δ, että kun x on välillä (aδ,a+δ), säilyvät funktion kuvaajalle punaisella merkityt arvot f(x) välillä (Lε,L+ε). Koska funktion arvolla pisteessä a ei ole raja-arvon kannalta väliä, sen poissaoloa tarkastelusta esitetään valkoiseksi jätetyllä pisteellä.

../_images/epsilon-delta-havainnollistus.svg

Ehdon pitää määritelmän mukaisesti toimia jokaiselle positiiviselle luvulle ε. Voit miettiä tai jopa itsellesi piirtää, mitä kuvassa muuttuu, jos luvun ε sijasta olisikin valittu pienempi luku, esimerkiksi ε2. Jotta funktion f raja-arvo olisi L, täytyisi pystyä löytämään jokin δ1, jotta väli (Lε2,L+ε2) sisältäisi kaikki ne funktion arvot f(x), joilla x(aδ1,a+δ1).

Määritelmää voisi siis ajatella eräänlaisena kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla f raja-arvo L kun muuttuja x lähestyy lukua a. Aloittava pelaaja E ”epäilijä” valitsee aina luvun ε ja toinen pelaaja U ”uskoja” luvun δ. Pelaaja E voittaa mikäli pelaaja U ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa δ. Pelaaja U voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja δ.

Määritelmän käytön yhteydessä käytetään usein sanotaan, että ε valitaan mielivaltaisesti tai saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tällä käytännössä tarkoitetaan, että käsitellään kaikkia ja erityisesti pieniä luvun ε arvoja kerralla. Lukujen ε ja δ yhteys esitetään yleensä niin, että ajatellaan luvun δ olevan muuttujaan ε liittyvä funktio ja sanotaan, että luku δ valitaan jollain tavalla, esimerkiksi ”valitaan δ=ε”.

Esimerkki 4.5.2

Osoita, että limx2f(x)=1, kun f(x)=3x+7.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon ε>0 mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen δ>0, että olettamalla 0<|x(2)|<δ saadaan perusteltua rajaus |f(x)1|<ε. Pyritään kirjoittamaan lauseketta |f(x)1| sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke |x(2)|=|x+2|.

|3x+71|=|3x+6|=|3(x+2)|=3|x+2|

Valitaan δ=ε3>0 ja oletetaan, että 0<|x+2|<δ. Tällöin edellisen nojalla

|f(x)1|=3|x+2|<3δ=3ε3=ε,

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 4.5.3

Osoita, että limx1f(x)=3, kun f(x)=x2+3x7.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon ε>0 mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen δ>0, että olettamalla 0<|x1|<δ saadaan perusteltua ehto |f(x)+3|<ε. Pyritään jälleen tuomaan |x1| näkyviin lausekkeessa |f(x)+3|.

|x2+3x7+3|=|x2+3x4|=|(x1)(x+4)|=|x1||x+4|

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle δ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi 1. Jos tiedetään, että δ1, niin rajauksen |x1|<δ jälkeen on oltava 0<x<2. Mutta tämän vuoksi 4<|x+4|<6, eli

4|x1|<|x1||x+4|<6|x1|.

Valitaan δ=min{ε6,1} ja oletetaan, että 0<|x1|<δ. Tällöin

|f(x)+3|=|x1||x+4|<6|x1|<6δ6ε6=ε,

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

limx48x20=12.

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla δ riipuu luvusta ε, mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen |f(x)L| sellaisessa muodossa, jossa esiintyy |xa|.

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun δ selvittämiseen?
Miten aloitetaan todistus? Olkoon ε>0. Valitaan
Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että x kuuluu punkteerattuun ympäristöön
Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa
Tällöin pätee
Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan δ:n etäisyydellä raja-arvopisteestä 4 on vain sellaisia lukuja x, joilla funktion arvo f(x) on väitetystä raja-arvosta 12 korkeintaan etäisyydellä ε,

Nyt raja-arvojen laskusäännöt voidaan todistaa nojautuen raja-arvon täsmälliseen määritelmään. Todistetaan näistä esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo. Koska εδ-todistustekniikka on haastava aihe, voit ottaa todistuksen seuraamisen matemaattisena haasteena.

Esimerkki 4.5.4

Osoita, että jos limxag(x)=M ja limxMf(x)=f(M), niin limxaf(g(x))=f(M).

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon ε>0. Tavoitteena on löytää sellainen luku δ>0, että

|f(g(x))f(M)|<εaina, kun0<|xa|<δ.

Merkitään selkeyden vuoksi ulkofunktion f muuttujaa kirjaimella y.

Koska raja-arvon f(M) oletetaan olevan olemassa, on raja-arvon määritelmän perusteella olemassa sellainen δ1>0, jolle

(1)|f(y)f(M)|<εaina, kun0<|yM|<δ1.

Vastaavasti raja-arvon M oletetun olemassaolon vuoksi voidaan löytää jokin δ2>0, jolle

|g(x)M|<δ1aina, kun0<|xa|<δ2.

Yllä olevalla rivillä on käytetty luvun ε sijaan lukua δ1, sillä määritelmän ehdon pitää olla voimassa kaikilla nollaa suuremmilla luvuilla, siis myös luvulla δ1.

Valitsemalla δ=δ2 saadaan aikaan se, että kun 0<|xa|<δ, niin |g(x)M|<δ1. Merkitään y=g(x). Määritelmän yhteydessä kerrottiin, että ehdossa 0<|yM|<δ1 raja-arvon selvittämisen kannalta oleellista on se, että myös epäyhtälöketjun vasen puolikas on voimassa. Tarkastetaan kuitenkin varmuuden vuoksi, mitä tapahtuu, jos |yM|=0 eli y=M. Sellaisissa pisteissä x, joissa y=g(x)=M, on voimassa

|f(g(x))f(M)|=|f(M)f(M)|=0<ε.

Kaikissa muissa pisteissä, eli silloin kun 0<|g(x)M|=|yM|<δ1, tiedetään kohdan (1) perusteella, että

|f(g(x))f(M)|=|f(y)f(M)|<ε.

Siispä kummassakin tapauksessa oletuksesta 0<|xa|<δ seuraa se, että

|f(g(x))f(M)|<ε.

Näin ollen raja-arvon määritelmän mukaisesti limxaf(g(x))=f(M).

Raja-arvon määritelmällä voidaan myös osoittaa, ettei raja-arvoa ole olemassa.

Esimerkki 4.5.5

Osoita, että raja-arvoa limx0sin1x ei ole olemassa.

Piilota/näytä ratkaisu

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan limx0sin1x on olemassa. Merkitään tätä raja-arvoa luvulla L, ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa väistämättä ristiriitaan.

Raja-arvon määritelmän mukainen ehto raja-arvon L olemassaololle koskee kaikkia positiivisia reaalilukuja ε. Näin ollen luku L ei olekaan raja-arvo, jos löydetään jokin luku ε>0, jolle määritelmän mukaista lukua δ>0 ei ole olemassa. Täytyy siis löytää sellainen luku ε>0, että millä tahansa luvulla δ>0 löytyy jokin luku x0, jolla on voimassa

0<|x00|=|x0|<δ,mutta silti|sin1x0L|ε.

On tärkeää huomata, että funktion sin1x kuvaaja heilahtelee voimakkaasti arvojen 1 ja 1 välillä, kun x0. Tämän havainnon perusteella voidaan raja-arvon määritelmässä valita ε=1 riippumatta siitä, mikä raja-arvo L on. Olkoon jatkossa δ jokin mielivaltainen positiivinen luku.

Nyt joko L0 tai L<0. Oletetaan ensin, että L0. Määritetään seuraavaksi, millä muuttujan x arvoilla sin1x=1.

sin1x0=11x0=3π2+2πnx0=13π2+2πn,

missä n on jokin kokonaisluku. Jotta vielä 0<|x0|<δ, pitää olla n>12(1πδ+32).

Tällöin vaikka 0<|x0|<δ, saadaankin

|sin1x0L|=|1L|=|1+L|=1+L1=ε,

eli raja-arvon määritelmän ehto ei toteudu millään positiivisella reaaliluvulla δ. Näin ollen luku L ei ole funktion sin1x raja-arvo. Siispä välttämättä L<0, ja tämä tapaus jätetään lukijalle pohdittavaksi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että tällöinkään luku L ei toteuta raja-arvon määritelmää. Tämä puolestaan on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, eli alkuperäinen väite on tosi.