Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälö

Tarkastellaan seuraavaksi 1. kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä (linear first-order equation)

$$y'+a(x)y=f(x),$$

missä $a(x)$ ja $f(x)$ ovat jatkuvia avoimella välillä $I$. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Koska jatkuvat funktiot ovat integroituvia, niin funktiolla $a(x)$ on vakiota vaille yksikäsitteinen integraalifunktio välillä $I$. Valitaan näistä integraalifunktioista yksi ja merkitään sitä $A(x)$. Muodostetaan funktio $\mu(x)=e^{A(x)}\not=0$, jota kutsutaan integroivaksi tekijäksi (integrating factor). Kerrotaan normaalimuotoinen 1. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö puolittain funktiolla $\mu(x)$, jolloin

$$\left(y'(x)+a(x)y(x)\right)e^{A(x)}=f(x)e^{A(x)}.$$

Tämä muistuttaa tulon $y(x)\mu(x)$ derivaattaa

$$\begin{split}\begin{aligned} D_x\big(y(x)\mu(x)\big)&=y'(x)\mu(x)+y(x)\mu'(x)\\ &=y'(x)e^{A(x)}+y(x)e^{A(x)}A'(x)\\ &=y'(x)\mu(x)+y(x)\mu(x)a(x)\\ &=\mu(x)\left(y'(x)+a(x)y(x)\right), \end{aligned}\end{split}$$

eli differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa

$$D_x\big(y(x)\mu(x)\big)=\mu(x)f(x).$$

Integroimalla puolittain saadaan

$$y(x)\mu(x)=\int\mu(x)f(x)\,\mathrm{d}x+C,$$

josta funktio $y(x)$ on helppo ratkaista. Saatiin todistettua seuraava lause.

Lause.

Ensimmäisen kertaluvun lineaariyhtälön yleinen ratkaisu löydetään seuraavasti.

1. Muodosta integroiva tekijä $\mu(x)=e^{\int a(x)\,\mathrm{d}x}$.
2. Kerro yhtälö puolittain integroivalla tekijällä.
3. Tunnista yhtälön vasemmalta puolelta derivaatta $D_x\big(y(x)\mu(x)\big)$.
4. Integroi puolittain.

Lause.

Olkoon $x_0$ välin $I$ piste ja $y_0$ reaaliluku. Tällöin 1. kertaluvun lineaariyhtälöllä on täsmälleen yksi alkuehdon $y(x_0)=y_0$ toteuttava ratkaisu $y(x)$ välillä $I$.

Todistus.

Integraalifunktion $A(x)$ valinnalla ei ole vaikutusta funktioon $y(x)$. Nimittäin jos integroivan tekijän yhtälössä funktion $A(x)$ paikalle sijoitetaan $A(x)+D$, niin saadaan puolittain tekijä $e^{A(x)+D}=e^{A(x)}e^D$, joten vakio $e^D$ voidaan jakaa yhtälöstä puolittain pois.

Kiinnitetään siis jokin integraalifunktio $A(x)$. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöstä voidaan ratkaista yksikäsitteisesti sellainen $C$, että $y(x_0)=y_0$ ja

$$C=y_0\mu(x_0)-\left[\int\mu(x)f(x)\,\mathrm{d}x\right]_{x=x_0}.$$

$\square$

Esimerkki.

Ratkaise alkuarvotehtävä $x^3y'+x^2y=x^4$, $y(1)=0$.

Ratkaisu.

Muokataan yhtälö ensin normaalimuotoon

$$y'+\frac1xy=x,$$

missä $x\not= 0$. Oletus $x \not= 0$ ei rajoita ratkaisun yleisyyttä, sillä jos $x = 0$, niin mikä tahansa funktio $y$ toteuttaa yhtälön. Normaalimuodosta voidaan nyt tunnistaa $a(x)=\frac{1}{x}$ ja $f(x)=x$, joten kirjoitetaan

$$A(x)=\int\frac{dx}{x}=\ln|x|.$$

Koska alkuehdossa $x=1>0$, niin haetulle ratkaisulle $x>0$. Niinpä $A(x)=\ln x$ ja integroivaksi tekijäksi saadaan $\mu(x)=e^{\ln x}=x$. Kerrotaan normaalimuotoinen yhtälö tällä puolittain, jolloin

$$x^2 = xy' + y = D_x(xy).$$

Integroimalla saadaan

$$xy = \int x^2\,\mathrm{d}x + C = \frac{1}{3}x^3 + C \Leftrightarrow y(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{C}{x}.$$

Muistetaan alkuehto $y(1) = \frac{1}{3} + C = 0$, jolloin on oltava $C = -\frac{1}{3}$. Kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on siis

$$y(x)=\frac{1}{3}\left(x^2-\frac{1}{x}\right),$$

kun $x > 0$.

Havainnollistetaan vielä alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä edellisen esimerkin tapauksessa. Nyt $x_0=1\in(0,\infty)$. Kuvaan on piirretty alkuehdon $y(1)=0$ toteuttava ratkaisu ($C=-1/3$) sekä muutama muu ratkaisu (parametrin $C$ arvoilla $-2,-1,0,1$ ja $2$) välillä $(0,\infty)$. Vastaavasti myös välille $(-\infty,0)$ on piirretty muutama ratkaisu (parametrin $C$ arvoilla $-2,-1,0,1$ ja $2$). Jokaisen pisteen $(x_0,y_0)$ kautta kulkee kuitenkin aina täsmälleen yksi ratkaisukäyrä, sillä ne eivät koskaan leikkaa toisiaan.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'+3x^2y=6x^2$

Ratkaisu.

Yhtälö on jo valmiiksi normaalimuodossa. Yhtälön integroivaksi tekijäksi saadaan $\mu(x)=e^{\int 3x^2\,\mathrm{d}x}=e^{x^3}$. Kerrotaan yhtälö tällä puolittain ja saadaan

$$6x^2e^{x^3} = e^{x^3}y' + 3x^2e^{x^3}y = D_x\left(e^{x^3}y\right) \Leftrightarrow e^{x^3}y = \int 6x^2e^{x^3}\,\mathrm{d}x + C = 2e^{x^3} + C.$$

Täten yleinen ratkaisu on

$$y(x) = e^{-x^3}\left(2e^{x^3} + C\right) = 2 + Ce^{-x^3}.$$

Tarkastetaan ratkaisu sijoittamalla takaisin differentiaaliyhtälöön.

$$D_x\left(2 + Ce^{-x^3}\right) + 3x^2\left(2 + Ce^{-x^3}\right) = -3Cx^2e^{-x^3} + 6x^2 + 3Ce^{-x^3} = 6x^2$$

Huomautus.

Kun differentiaaliyhtälölle on saatu laskettua ratkaisu, kannattaa vielä erikseen tarkastaa, että ratkaisu $y(x)$ toteuttaa sekä differentiaaliyhtälön että mahdollisen alkuehdon.

Posting submission...