Separoituva yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa .. _kaav-separyhtalo:

$$y'(x)=f(x)g(y(x)).$$

Jos $g(y(x))\ne0$, niin separoituva voidaan kirjoittaa muodossa

$$\frac{y'(x)}{g(y(x))}=f(x),$$

joten integroimalla

$$\int\frac{y'(x)}{g(y(x))}\,\mathrm{d}x=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$$

Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto $y=y(x)$, jolloin päädytään kaavaan

$$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$$

Funktio $y$ voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot $y(x)=a$, missä luku $a$ on funktion $g$ nollakohta.

Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti edellinen kaava ”johdetaan” kirjoittamalla ensin

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y).$$

Tässä kerrotaan symbolilla $\mathrm{d}x$ aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen $y$ esiintymät vasemmalle ja kirjaimen $x$ esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan

$$\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\,\mathrm{d}x.$$

Tämä integroidaan puolittain:

$$\int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C.$$

Huomautus.

Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion $f$ integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'=x^2y^3$.

Ratkaisu.

Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa $f(x)=x^2$ ja $g(y)=y^3$. Kirjoitetaan separointia varten $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^2y^3$, jolloin ratkaisut toteuttavat

$$\int\frac{\mathrm{d}y}{y^3}=\int x^2\,\mathrm{d}x+C \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{1}{y^2}=\frac{1}{3}x^3+C.$$

Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan

$$y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{-2C - \frac{2}{3}x^3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{C^* - \frac{2}{3}x^3}},$$

missä $C^*=-2C$. Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan $y(x) = 0$.

Esimerkiksi alkuehdolla $y(1)=3$ (siis $C^*=\frac{7}{9}$) saadaan ratkaisu

$$y(x)=\frac{3}{\sqrt{7-6x^3}},$$

missä $y$ on määritelty, kun $x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}$.

Esimerkki.

Tarkastellaan populaation kokoa $x(t)$ ajan $t$ funktiona. Derivaatta $x'(t)$ kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä $\Delta t>0$ on

$$x'(t)\approx\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=\frac{\text{koon muutos}}{\text{aikaväli}}.$$

Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus $x'(t)$ on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli

$$x'(t)=kx(t).$$

Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = kx \Leftrightarrow \int\frac{\mathrm{d}x}{x} = k\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln x = kt + C.$$

Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi

$$x(t) = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt} = C^*e^{kt},$$

missä $C^* = e^{C} > 0$. Jos hetkellä $t=0$ populaation koko on $x_0$, niin $x(0)=C^*e^0=C^*=x_0$, joten

$$x(t)=x_0e^{kt}.$$

Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos $k>0$ ja vähenee eksponentiaalisesti, jos $k<0$.

Esimerkki.

Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan $t$ funktiolla $N(t)$. Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli $-N'(t)$ on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli

$$N'(t)=-kN(t),$$

missä verrannollisuuskerroin $k > 0$. Populaation kokoon liittyvän esimerkin mukaan

$$N(t)=N_0e^{-kt},$$

missä $N_0=N(0)$. Olkoon $\tau>0$ vakio ja lasketaan lukumäärien $N(t+\tau)$ ja $N(t)$ suhde.

$$\frac{N(t+\tau)}{N(t)}=\frac{N_0e^{-k(t+\tau)}}{N_0e^{-kt}}=e^{-k\tau}$$

Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä $t$. Sovitaan, että $\tau$ on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt

$$e^{-k\tau}=\frac12 \Leftrightarrow -k\tau=\ln\frac12=-\ln 2 \Leftrightarrow\tau=\frac{\ln 2}{k}.$$

Vakiota $k$ kutsutaan hajoamisvakioksi.

Esimerkki.

Erään maan väkiluku vuonna 2019 on 1 500 000. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy 4 % vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa 50 000 asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?

Ratkaisu.

Merkitään väkilukua $x(t)$ ajan $t$ (vuosina, $t=0$ vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä

$$x'(t)=0{,}04x(t)+50~000,\qquad x(0)=1~500~000.$$

Voidaan kirjoittaa

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0{,}04(x(t)+1~250~000),$$

eli yhtälö on separoituva ja

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x + 1~250~000} = 0{,}04\int\mathrm{d}t + C \Leftrightarrow \ln(x + 1~250~000) = 0{,}04t + C.$$

Ratkaistaan tästä funktio $x$ yleisessä muodossa

$$x(t) = e^{0{,}04t + C} - 1~250~000 = C^*e^{0{,}04t} - 1~250~000.$$

Alkuehdosta saadaan $x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000$, joten $C^*=2~750~000$. Niinpä väkiluku ajan $t$ funktiona on

$$x(t)=2~750~000e^{0{,}04t}-1~250~000$$

ja vuonna 2039 väkiluku on $x(20)\approx4~870~000$.

Esimerkki.

Ratkaistaan johdannon esimerkistä löytyvä differentiaaliyhtälö, eli

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_0).$$

Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin

$$\int\frac{\mathrm{d}T}{T - T_0} = -k\int\mathrm{d}t + C^{**} \Leftrightarrow \ln|T - T_0| = -kt + C^{**} \Leftrightarrow |T - T_0| = C^*e^{-kt},$$

missä $C^* = e^{C^{**}}$. Täten

$$T = T_0 \pm C^*e^{-kt} = T_0 + Ce^{-kt},$$

missä $C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}$.

Yleisen ratkaisun termi $Ce^{-kt}\to0$, kun $t\to\infty$, eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli $T(0)-T_0>0$, niin $C>0$ ja lämpötila $T(t)$ vähenee kohti raja-arvoaan $T_0$. Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli $T(0)-T_0<0$, niin $C<0$ ja lämpötila $T(t)$ kasvaa kohti raja-arvoaan $T_0$. Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin $C$ arvolla.

Erikoisratkaisuun $T(t)=T_0$ päädytään silloin, kun $T(0)-T_0=0$, toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.

Posting submission...