- MAT-01330
- 4. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 4.3 Separoituva yhtälö
Separoituva yhtälö¶
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä sanotaan separoituvaksi (separable), jos se on muotoa .. _kaav-separyhtalo:
Jos \(g(y(x))\ne0\), niin separoituva voidaan kirjoittaa muodossa
joten integroimalla
Tehdään vasemmalle puolelle muuttujanvaihto \(y=y(x)\), jolloin päädytään kaavaan
Funktio \(y\) voidaan nyt (yrittää) ratkaista tästä yhtälöstä integroimalla. Lisäksi erikoisratkaisuja ovat vielä vakiofunktiot \(y(x)=a\), missä luku \(a\) on funktion \(g\) nollakohta.
Käytännössä jokaista vastaan tulevaa separoituvaa yhtälöä kohti edellinen kaava ”johdetaan” kirjoittamalla ensin
Tässä kerrotaan symbolilla \(\mathrm{d}x\) aivan kuin se olisi luku ja siirretään kirjaimen \(y\) esiintymät vasemmalle ja kirjaimen \(x\) esiintymät oikealle (separointi), jolloin saadaan
Tämä integroidaan puolittain:
Huomautus.
Separoituviin yhtälöihin liittyvässä kaavassa ja yleisestikin differentiaaliyhtälöiden yhteydessä integroimisvakio kirjoitetaan näkyviin ja merkintä \(\int f(x)\,\mathrm{d}x\) tarkoittaa yhtä (mitä tahansa) funktion \(f\) integraalifunktiota. Vertaa huomautukseen puolittain integroinnista.
Esimerkki.
Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'=x^2y^3\).
Kyseessä on separoituva differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=x^2\) ja \(g(y)=y^3\). Kirjoitetaan separointia varten \(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^2y^3\), jolloin ratkaisut toteuttavat
Täten yleiseksi ratkaisuksi saadaan
missä \(C^*=-2C\). Lisäksi erikoisratkaisuna saadaan \(y(x) = 0\).
Esimerkiksi alkuehdolla \(y(1)=3\) (siis \(C^*=\frac{7}{9}\)) saadaan ratkaisu
missä \(y\) on määritelty, kun \(x < \sqrt[3]{\frac{7}{6}}\).
Esimerkki.
Tarkastellaan populaation kokoa \(x(t)\) ajan \(t\) funktiona. Derivaatta \(x'(t)\) kuvaa koon muutosnopeutta. Toisin sanoen pienillä \(\Delta t>0\) on
Usein hyvä perusoletus on, että muutosnopeus \(x'(t)\) on suoraan verrannollinen populaation kokoon, eli
Siis esimerkiksi populaation kasvettua kooltaan kaksinkertaiseksi, sen kasvunopeus on myös kaksinkertaistunut. Ratkaistaan tämä yhtälö separoimalla, jolloin
Kääntämällä luonnollisen logaritmifunktion saadaan yleiseksi ratkaisuksi
missä \(C^* = e^{C} > 0\). Jos hetkellä \(t=0\) populaation koko on \(x_0\), niin \(x(0)=C^*e^0=C^*=x_0\), joten
Populaation koko siis kasvaa eksponentiaalisesti, jos \(k>0\) ja vähenee eksponentiaalisesti, jos \(k<0\).
Esimerkki.
Merkitään radioaktiivisen näytteen radioaktiivisen isotoopin ydinten lukumäärää ajan \(t\) funktiolla \(N(t)\). Hajoavien ydinten lukumäärä aikayksikössä eli \(-N'(t)\) on suoraan verrannollinen ydinten lukumäärään, eli
missä verrannollisuuskerroin \(k > 0\). Populaation kokoon liittyvän esimerkin mukaan
missä \(N_0=N(0)\). Olkoon \(\tau>0\) vakio ja lasketaan lukumäärien \(N(t+\tau)\) ja \(N(t)\) suhde.
Huomataan, että suhde ei riipu alkuajanhetkestä \(t\). Sovitaan, että \(\tau\) on puoliintumisaika, jonka kuluessa aktiivisten ytimien lukumäärä puolittuu. Nyt
Vakiota \(k\) kutsutaan hajoamisvakioksi.
Esimerkki.
Erään maan väkiluku vuonna 2019 on 1 500 000. Oletetaaan, että maan oma väestö lisääntyy 4 % vuodessa ja tämän lisäksi vuosittain maahan muuttaa 50 000 asukasta. Selvitä maan väkiluku ajan funktiona. Mikä on väkiluku vuonna 2039?
Merkitään väkilukua \(x(t)\) ajan \(t\) (vuosina, \(t=0\) vuonna 2019) funktiona. On ratkaistava alkuarvotehtävä
Voidaan kirjoittaa
eli yhtälö on separoituva ja
Ratkaistaan tästä funktio \(x\) yleisessä muodossa
Alkuehdosta saadaan \(x(0)=C^{*}-1~250~000=1~500~000\), joten \(C^*=2~750~000\). Niinpä väkiluku ajan \(t\) funktiona on
ja vuonna 2039 väkiluku on \(x(20)\approx4~870~000\).
Esimerkki.
Ratkaistaan johdannon esimerkistä löytyvä differentiaaliyhtälö, eli
Havaitaan, että tämä separoituu, jolloin
missä \(C^* = e^{C^{**}}\). Täten
missä \(C = \pm C^{*} = \pm e^{C^{**}}\).
Yleisen ratkaisun termi \(Ce^{-kt}\to0\), kun \(t\to\infty\), eli kappaleen lämpötila lähestyy lämpökylvyn lämpötilaa ajan kuluessa, kuten pitääkin. Lisäksi jos kappale on aluksi ympäristöä lämpimämpi eli \(T(0)-T_0>0\), niin \(C>0\) ja lämpötila \(T(t)\) vähenee kohti raja-arvoaan \(T_0\). Jos kappale on aluksi ympäristöä kylmempi eli \(T(0)-T_0<0\), niin \(C<0\) ja lämpötila \(T(t)\) kasvaa kohti raja-arvoaan \(T_0\). Oheisessa kuvassa ratkaisu kahdella erimerkkisellä parametrin \(C\) arvolla.
Erikoisratkaisuun \(T(t)=T_0\) päädytään silloin, kun \(T(0)-T_0=0\), toisin sanoen jos kappaleella on alussa sama lämpötila kuin ympäristöllä.