Terminologiaa ja integroimistehtävä

Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö

$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,$$

jossa esiintyy yksi muuttuja $x$, siitä riippuva tuntematon funktio $y=y(x)$, sekä sen derivaattoja $y', y'',\ldots, y^{(n)}$. Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella $F$. Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden $y$ määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.

Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.

• Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista.
• Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio $y$, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
• Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
• Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
• Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua $y$, joka toteuttaa yhden tai useampia funktiolle $y$ ja sen derivaatoille asetettuja alkuehtoja (initial condition) $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1,\ldots$.

Esimerkki.

Yhtälö

$$2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}$$

on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion $y$ muuttuja jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti

$$2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.$$

Esimerkki.

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä $y' = y^2$. Tälle yhtälölle $y_1(x)=-\frac{1}{x+1}$ on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.

$$y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2$$

Yhtälön yleinen ratkaisu on

$$y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\mathbb R,\quad(x\ne -C),$$

missä $C\in\mathbb R$ ja $x \not= -C$. Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu $y_0(x)=0$. Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.

Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon $y(0)=2$ toteuttaa ratkaisu

$$y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},$$

eli $y_2$ on alkuarvotehtävän $y' = y^2$ ja $y(0)=2$ ratkaisu. Seuraavaan kuvaan on piirretty differentiaaliyhtälön *ratkaisuparven* funktiot parametrin $C$ arvoilla $-1,0,1$ ja $2$ (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen $(0,2)$ kautta.

Jos differentiaaliyhtälö on muokattavissa muotoon $y'(x)=f(x)$, niin se voidaan ratkaista suoraan integroimalla. Tämä on niin sanottu integroimistehtävä.

Esimerkki.

Ratkaise alkuarvotehtävä $3y'=x^2$, $y(1)=\frac{1}{2}$.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö muotoon

$$y'(x)=\frac13x^2,$$

josta integroimalla

$$y(x)=\int\frac13x^2\,\mathrm{d}x=\frac19x^3+C.$$

Integraalifunktioiden ominaisuuksien nojalla tämä on yhtälön yleinen ratkaisu. Alkuehdon $y(1)=\frac{1}{2}$ toteuttava ratkaisu määritetään asettamalla

$$y(1)=\frac19+C=\frac12,$$

joten $C=\frac{7}{18}$ ja siten kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on

$$y(x)=\frac19x^3+\frac{7}{18}.$$

Oheiseen kuvaan on piirretty alkuehdon $y(1)=\frac{1}{2}$ ($C=7/18$) toteuttavan ratkaisun lisäksi muutama muukin ratkaisu.

Posting submission...