Terminologiaa ja integroimistehtävä¶

Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö

\[F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,\]

jossa esiintyy yksi muuttuja \(x\), siitä riippuva tuntematon funktio \(y=y(x)\), sekä sen derivaattoja \(y', y'',\ldots, y^{(n)}\). Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella \(F\). Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden \(y\) määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.

Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.

Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista.
Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio \(y\), joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua \(y\), joka toteuttaa yhden tai useampia funktiolle \(y\) ja sen derivaatoille asetettuja alkuehtoja (initial condition) \(y(x_0)=y_0\), \(y'(x_0)=y_1,\ldots\).

Esimerkki.

Yhtälö

\[2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}\]

on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion \(y\) muuttuja jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti

\[2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.\]

Esimerkki.

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä \(y' = y^2\). Tälle yhtälölle \(y_1(x)=-\frac{1}{x+1}\) on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.

\[y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2\]

Yhtälön yleinen ratkaisu on

\[y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\mathbb R,\quad(x\ne -C),\]

missä \(C\in\mathbb R\) ja \(x \not= -C\). Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu \(y_0(x)=0\). Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.

Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon \(y(0)=2\) toteuttaa ratkaisu

\[y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},\]

eli \(y_2\) on alkuarvotehtävän \(y' = y^2\) ja \(y(0)=2\) ratkaisu. Seuraavaan kuvaan on piirretty differentiaaliyhtälön *ratkaisuparven* funktiot parametrin \(C\) arvoilla \(-1,0,1\) ja \(2\) (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen \((0,2)\) kautta.

Jos differentiaaliyhtälö on muokattavissa muotoon \(y'(x)=f(x)\), niin se voidaan ratkaista suoraan integroimalla. Tämä on niin sanottu integroimistehtävä.

Esimerkki.

Ratkaise alkuarvotehtävä \(3y'=x^2\), \(y(1)=\frac{1}{2}\).

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälö muotoon

\[y'(x)=\frac13x^2,\]

josta integroimalla

\[y(x)=\int\frac13x^2\,\mathrm{d}x=\frac19x^3+C.\]

Integraalifunktioiden ominaisuuksien nojalla tämä on yhtälön yleinen ratkaisu. Alkuehdon \(y(1)=\frac{1}{2}\) toteuttava ratkaisu määritetään asettamalla

\[y(1)=\frac19+C=\frac12,\]

joten \(C=\frac{7}{18}\) ja siten kysytty alkuarvotehtävän ratkaisu on

\[y(x)=\frac19x^3+\frac{7}{18}.\]

Oheiseen kuvaan on piirretty alkuehdon \(y(1)=\frac{1}{2}\) (\(C=7/18\)) toteuttavan ratkaisun lisäksi muutama muukin ratkaisu.