Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö

Siirrytään tarkastelemaan $n$. kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä

$$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x),$$

missä funktiot $p_i(x)$, $i = 1, 2, \ldots, n$ ja $f(x)$ ovat jatkuvia avoimella välillä $I$. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos $f(x) \not= 0$ jossakin välin $I$ pisteessä $x$, niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos $f(x)=0$ aina, kun $x\in I$, niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.

Jokaista positiivista kertalukua $n$ oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on $n$ kappaletta.

Lause.

Olkoon $x_0$ välin $I$ piste, sekä $b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}$ reaalilukuja. Tällöin $n$. kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä on täsmälleen yksi alkuehdot

$$y(x_0)=b_0,\qquad y'(x_0)=b_1,\qquad\ldots\qquad y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}$$

toteuttava ratkaisu $y(x)$ välillä $I$.

Toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti $n$. kertaluvun yhtälölle.

Lause.

Olkoot funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä $I$, sekä $c_1, c_2, \ldots, c_n$ reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio

$$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$$

on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä $I$.

Määritelmä.

Funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\mathbb R$ ovat lineaarisesti riippumattomia välillä $I$, jos

$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0$$

aina, kun $x \in I$ vain, jos $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$. Muutoin $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippuvia.

Funktiot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet $c_i$, joista jokin poikkeaa nollasta, että $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0$ jokaisessa välin $I$ pisteessä $x$. Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa

$$y_i = -\frac{c_1}{c_i}y_1 - \frac{c_2}{c_i}y_2 - \cdots - \frac{c_n}{c_i}y_n,$$

missä $c_i \not= 0$.

Määritelmä.

Olkoon jokainen funktioista $y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\mathbb R$ yhteensä $n-1$ kertaa derivoituva avoimella välillä $I$. Funktioiden $y_1,y_2,\ldots,y_n$ Wronskin determinantti on funktio

$$\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x)\\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\end{split}$$

missä $x\in I$.

Lause.

Olkoot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä $I$ ja olkoon $W(x)$ niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.

1. Jos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippuvia, niin $W(x)=0$ aina, kun $x\in I$.
2. Jos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ ovat lineaarisesti riippumattomia, niin $W(x)\ne0$ aina, kun $x\in I$.

Lause.

Olkoot $y_1,y_2,\ldots,y_n$ homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä $I$, sekä $c_1, c_2, \ldots, c_n$ reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio

$$y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$$

on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä $I$.

Lause.

Jos $y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n$ on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja $y_p$ on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

$$% y=y_h+y_p=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n+y_p.$$

Esimerkki.

Osoita, että $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x\ln x$ ja $y_3(x)=x^2$ ovat yhtälön

$$y'''-\frac1xy''+\frac{2}{x^2}y'-\frac{2}{x^3}y=0$$

lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä $(0,\infty)$ ja hae alkuehdot

$$y(1)=3,\quad y'(1)=2\quad\text{ja}\quad y''(1)=1$$

toteuttava ratkaisu $y$.

Ratkaisu.

Esimerkiksi $y_2$ on ratkaisu, sillä

$$y_2'=\ln x+1,\quad y_2''=\dfrac1x\quad\text{ja}\quad y_2'''=-\dfrac{1}{x^2},$$

ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin $y_1$ ja $y_3$ todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt

$$\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} x & x\ln x & x^2\\ 1 & \ln x+1 & 2x\\ 0 & \dfrac1x & 2 \end{vmatrix}=x(2\ln x + 2 - 2)-(2x\ln x - x)=x.\end{split}$$

Välillä $(0, \infty)$ on $W(x)\ne0$, joten $y_1$, $y_2$ ja $y_3$ eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on

$$y=c_1x+c_2x\ln x+c_3x^2,$$

jolle

$$\begin{aligned} y'=c_1+c_2(\ln x+1)+2c_3x\qquad\text{ja}\qquad y''=\frac{c_2}{x}+2c_3. \end{aligned}$$

Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa

$$\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} y(1)=c_1+c_3=3\\ y'(1)=c_1+c_2+2c_3=2\\ y''(1)=c_2+2c_3=1, \end{cases} \end{aligned}\end{split}$$

josta ratkaistaan $c_1=1$, $c_2=-3$ ja $c_3=2$. Haettu ratkaisu on siis

$$y(x)=x-3x\ln x+2x^2.$$

Keskitytään seuraavassa vakiokertoimiseen yhtälöön.

Määritelmä.

Olkoot $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n$ reaalilukuvakioita ja $a_n \not= 0$. Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön

$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$$

liittyvä karakteristinen yhtälö on

$$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.$$

Lause.

Karakteristisen yhtälön juurten $\lambda$ avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön $n$ lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.

1. Jos $\lambda$ on $k$-kertainen reaalijuuri, niin funktiot

   $$e^{\lambda x},\quad xe^{\lambda x},\quad x^2e^{\lambda x},\quad\ldots,\quad x^{k-1}e^{\lambda x}$$

   ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa $k = 1$ ratkaisu on $e^{\lambda x}$.

2. Jos $\lambda=\alpha\pm i\beta$ on $k$-kertainen imaginaarijuuripari, niin

   $$\begin{split}\begin{aligned} &e^{\alpha x}\sin(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\sin(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x)&&\text{ja}\\ &e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) \end{aligned}\end{split}$$

   ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa $k = 1$ ratkaisut ovat

   $$e^{\alpha x}\sin(\beta x)\quad\text{ja}\quad e^{\alpha x}\cos(\beta x).$$

Yhteensä $n$ kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus.

Tehdään ratkaisuyrite $y=e^{\lambda x}$. Tällöin

$$y'=\lambda e^{\lambda x},\qquad y''=\lambda^2 e^{\lambda x},\qquad\ldots\qquad y^{(n)}=\lambda^n e^{\lambda x}.$$

Sijoitetaan nämä ratkaistavaan differentiaaliyhtälöön, jolloin

$$\left(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\right)e^{\lambda x}=0 \Leftrightarrow a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.$$

Kompleksitasossa tällä $n$. asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden $n$ juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain $\alpha\pm i\beta$. Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.

1. Jos $\lambda$ on yksinkertainen reaalijuuri, niin yläpuolen ekvivalenssin mukaan $y=e^{\lambda x}$ on ratkaisu. Jos $\lambda$ on $k$-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota $y=xe^{\lambda x}$ kolmannen kertaluvun yhtälölle.

2. Jos $\lambda=\alpha\pm i\beta$ on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin yläpuolen ekvivalenssin mukaan

   $$y=e^{\lambda x}=e^{\alpha x}\cos(\beta x)+ie^{\alpha x}\sin(\beta x)$$

   on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. 2. kertaluvun yhtälöiden lemmaan reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.

Yhteensä $n$ kappaletta kohtien 1–4 ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia. $\square$

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö $9y^{(5)}-6y^{(4)}+y^{(3)}=0$.

Ratkaisu.

Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön

$$9\lambda^5-6\lambda^4+\lambda^3=\lambda^3\left(9\lambda^2-6\lambda+1\right)=9\lambda^3\left(\lambda - \frac{1}{3}\right)^2=0$$

ratkaisut ovat $\lambda=0$ kolminkertaisena ja $\lambda=\frac{1}{3}$ kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

$$\begin{aligned} y&=c_1e^{0\cdot x}+c_2xe^{0\cdot x}+c_3x^2e^{0\cdot x}+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}} =c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}}. \end{aligned}$$

Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö $y'''+9y'=\sin x$.

Ratkaisu.

Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön

$$\lambda^3+9\lambda=\lambda\left(\lambda^2+9\right)=0$$

juuret ovat $\lambda=0$ ja $\lambda=\pm3i$. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten

$$y_h=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x).$$

Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä $y_p=A\cos x+B\sin x$. Derivoimalla saadaan

$$y_p'=-A\sin x+B\cos x,\ y_p''=-A\cos x-B\sin x,\ y_p'''=A\sin x-B\cos x,$$

jolloin $y_p$ on ratkaisu vain, jos

$$A\sin x-B\cos x+9(-A\sin x+B\cos x) = -8A\sin x + 8B\cos x =\sin x.$$

Näin ollen $A=-\frac{1}{8}$ ja $B=0$, joten yhtälön yleinen ratkaisu on

$$y=y_h+y_p=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x)-\frac18\cos x.$$

Esimerkki.

Ratkaistaan edellisen esimerkin differentiaaliyhtälö kahdella eri sovelluksella. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla $y(0)=0$, $y'(0)=1$ ja $y''(0)=0$.

Matlab ja sen Symbolic Math Toolbox

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x')
simplify(ans)
ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
      + C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x)

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x')
simplify(ans)
ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9

WolframAlpha

y'''+9*y'=sin(x)

$$y(x)=\frac13c_1\sin(3x)-\frac13c_2\cos(3x)+c_3+\frac{1}{72}(-9\cos(x)-2\cos(3 x))$$

y'''+9*y'=sin(x), y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0

$$y(x)=\frac{1}{72}(24\sin(3x)-9\cos(x)+\cos(3x)+8)$$

Posting submission...