Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö¶

Siirrytään tarkastelemaan \(n\). kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä

\[y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x),\]

missä funktiot \(p_i(x)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ja \(f(x)\) ovat jatkuvia avoimella välillä \(I\). Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos \(f(x) \not= 0\) jossakin välin \(I\) pisteessä \(x\), niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos \(f(x)=0\) aina, kun \(x\in I\), niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.

Jokaista positiivista kertalukua \(n\) oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on \(n\) kappaletta.

Lause.

Olkoon \(x_0\) välin \(I\) piste, sekä \(b_0, b_1, \ldots, b_{n-1}\) reaalilukuja. Tällöin \(n\). kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä on täsmälleen yksi alkuehdot

\[y(x_0)=b_0,\qquad y'(x_0)=b_1,\qquad\ldots\qquad y^{(n-1)}(x_0)=b_{n-1}\]

toteuttava ratkaisu \(y(x)\) välillä \(I\).

Toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti \(n\). kertaluvun yhtälölle.

Lause.

Olkoot funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä \(I\), sekä \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio

\[y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\]

on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä \(I\).

Määritelmä.

Funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\mathbb R\) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä \(I\), jos

\[c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0\]

aina, kun \(x \in I\) vain, jos \(c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\). Muutoin \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippuvia.

Funktiot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet \(c_i\), joista jokin poikkeaa nollasta, että \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ny_n(x)=0\) jokaisessa välin \(I\) pisteessä \(x\). Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa

\[y_i = -\frac{c_1}{c_i}y_1 - \frac{c_2}{c_i}y_2 - \cdots - \frac{c_n}{c_i}y_n,\]

missä \(c_i \not= 0\).

Määritelmä.

Olkoon jokainen funktioista \(y_1,y_2,\ldots,y_n\colon I\to\mathbb R\) yhteensä \(n-1\) kertaa derivoituva avoimella välillä \(I\). Funktioiden \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) Wronskin determinantti on funktio

\[\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \cdots & y_n(x)\\ y_1'(x) & y_2'(x) & \cdots & y_n'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \cdots & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\end{split}\]

missä \(x\in I\).

Lause.

Olkoot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä \(I\) ja olkoon \(W(x)\) niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.

Jos \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippuvia, niin \(W(x)=0\) aina, kun \(x\in I\).
Jos \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin \(W(x)\ne0\) aina, kun \(x\in I\).

Lause.

Olkoot \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä \(I\), sekä \(c_1, c_2, \ldots, c_n\) reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio

\[y=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\]

on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä \(I\).

Lause.

Jos \(y_h=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n\) on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja \(y_p\) on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

\[% y=y_h+y_p=c_1y_1+c_2y_2+\cdots+c_ny_n+y_p.\]

Esimerkki.

Osoita, että \(y_1(x)=x\), \(y_2(x)=x\ln x\) ja \(y_3(x)=x^2\) ovat yhtälön

\[y'''-\frac1xy''+\frac{2}{x^2}y'-\frac{2}{x^3}y=0\]

lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä \((0,\infty)\) ja hae alkuehdot

\[y(1)=3,\quad y'(1)=2\quad\text{ja}\quad y''(1)=1\]

toteuttava ratkaisu \(y\).

Ratkaisu.

Esimerkiksi \(y_2\) on ratkaisu, sillä

\[y_2'=\ln x+1,\quad y_2''=\dfrac1x\quad\text{ja}\quad y_2'''=-\dfrac{1}{x^2},\]

ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin \(y_1\) ja \(y_3\) todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt

\[\begin{split}W(x)=\begin{vmatrix} x & x\ln x & x^2\\ 1 & \ln x+1 & 2x\\ 0 & \dfrac1x & 2 \end{vmatrix}=x(2\ln x + 2 - 2)-(2x\ln x - x)=x.\end{split}\]

Välillä \((0, \infty)\) on \(W(x)\ne0\), joten \(y_1\), \(y_2\) ja \(y_3\) eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on

\[y=c_1x+c_2x\ln x+c_3x^2,\]

jolle

\[\begin{aligned} y'=c_1+c_2(\ln x+1)+2c_3x\qquad\text{ja}\qquad y''=\frac{c_2}{x}+2c_3. \end{aligned}\]

Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} y(1)=c_1+c_3=3\\ y'(1)=c_1+c_2+2c_3=2\\ y''(1)=c_2+2c_3=1, \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

josta ratkaistaan \(c_1=1\), \(c_2=-3\) ja \(c_3=2\). Haettu ratkaisu on siis

\[y(x)=x-3x\ln x+2x^2.\]

Keskitytään seuraavassa vakiokertoimiseen yhtälöön.

Määritelmä.

Olkoot \(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n\) reaalilukuvakioita ja \(a_n \not= 0\). Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön

\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0\]

liittyvä karakteristinen yhtälö on

\[a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.\]

Lause.

Karakteristisen yhtälön juurten \(\lambda\) avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön \(n\) lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.

Jos \(\lambda\) on \(k\)-kertainen reaalijuuri, niin funktiot

\[e^{\lambda x},\quad xe^{\lambda x},\quad x^2e^{\lambda x},\quad\ldots,\quad x^{k-1}e^{\lambda x}\]

ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa \(k = 1\) ratkaisu on \(e^{\lambda x}\).
Jos \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) on \(k\)-kertainen imaginaarijuuripari, niin

\[\begin{split}\begin{aligned} &e^{\alpha x}\sin(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\sin(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\sin(\beta x)&&\text{ja}\\ &e^{\alpha x}\cos(\beta x),\quad xe^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad\ldots\qquad x^{k-1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) \end{aligned}\end{split}\]

ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa \(k = 1\) ratkaisut ovat

\[e^{\alpha x}\sin(\beta x)\quad\text{ja}\quad e^{\alpha x}\cos(\beta x).\]

Yhteensä \(n\) kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus.

Tehdään ratkaisuyrite \(y=e^{\lambda x}\). Tällöin

\[y'=\lambda e^{\lambda x},\qquad y''=\lambda^2 e^{\lambda x},\qquad\ldots\qquad y^{(n)}=\lambda^n e^{\lambda x}.\]

Sijoitetaan nämä ratkaistavaan differentiaaliyhtälöön, jolloin

\[\left(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0\right)e^{\lambda x}=0 \Leftrightarrow a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0.\]

Kompleksitasossa tällä \(n\). asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden \(n\) juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain \(\alpha\pm i\beta\). Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.

Jos \(\lambda\) on yksinkertainen reaalijuuri, niin yläpuolen ekvivalenssin mukaan \(y=e^{\lambda x}\) on ratkaisu. Jos \(\lambda\) on \(k\)-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota \(y=xe^{\lambda x}\) kolmannen kertaluvun yhtälölle.
Jos \(\lambda=\alpha\pm i\beta\) on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin yläpuolen ekvivalenssin mukaan

\[y=e^{\lambda x}=e^{\alpha x}\cos(\beta x)+ie^{\alpha x}\sin(\beta x)\]

on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. 2. kertaluvun yhtälöiden lemmaan reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.

Yhteensä \(n\) kappaletta kohtien 1–4 ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia. \(\square\)

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(9y^{(5)}-6y^{(4)}+y^{(3)}=0\).

Ratkaisu.

Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön

\[9\lambda^5-6\lambda^4+\lambda^3=\lambda^3\left(9\lambda^2-6\lambda+1\right)=9\lambda^3\left(\lambda - \frac{1}{3}\right)^2=0\]

ratkaisut ovat \(\lambda=0\) kolminkertaisena ja \(\lambda=\frac{1}{3}\) kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

\[\begin{aligned} y&=c_1e^{0\cdot x}+c_2xe^{0\cdot x}+c_3x^2e^{0\cdot x}+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}} =c_1+c_2x+c_3x^2+c_4e^{\frac{x}{3}}+c_5xe^{\frac{x}{3}}. \end{aligned}\]

Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.

Esimerkki.

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'''+9y'=\sin x\).

Ratkaisu.

Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön

\[\lambda^3+9\lambda=\lambda\left(\lambda^2+9\right)=0\]

juuret ovat \(\lambda=0\) ja \(\lambda=\pm3i\). Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten

\[y_h=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x).\]

Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä \(y_p=A\cos x+B\sin x\). Derivoimalla saadaan

\[y_p'=-A\sin x+B\cos x,\ y_p''=-A\cos x-B\sin x,\ y_p'''=A\sin x-B\cos x,\]

jolloin \(y_p\) on ratkaisu vain, jos

\[A\sin x-B\cos x+9(-A\sin x+B\cos x) = -8A\sin x + 8B\cos x =\sin x.\]

Näin ollen \(A=-\frac{1}{8}\) ja \(B=0\), joten yhtälön yleinen ratkaisu on

\[y=y_h+y_p=c_1+c_2\sin(3x)+c_3\cos(3x)-\frac18\cos x.\]

Esimerkki.

Ratkaistaan edellisen esimerkin differentiaaliyhtälö kahdella eri sovelluksella. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla \(y(0)=0\), \(y'(0)=1\) ja \(y''(0)=0\).

Matlab ja sen Symbolic Math Toolbox

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x')
simplify(ans)
ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
      + C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x)

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x')
simplify(ans)
ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9

WolframAlpha

y'''+9*y'=sin(x)

\[y(x)=\frac13c_1\sin(3x)-\frac13c_2\cos(3x)+c_3+\frac{1}{72}(-9\cos(x)-2\cos(3 x))\]

y'''+9*y'=sin(x), y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0

\[y(x)=\frac{1}{72}(24\sin(3x)-9\cos(x)+\cos(3x)+8)\]