Motivointia¶

Vain ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöillä ei vielä pystytä mallintamaan kaikkia mielenkiintoisia fysikaalisia ilmiöitä. Korkeampia derivaattoja käsitellään jo yksinkertaisessa kinematiikassa, jossa kappaleen kiihtyvyys on paikan toinen aikaderivaatta. Newtonin toinen lakikin voidaan ilmaista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälönä

\[a(t) = x''(t) = \frac{F(t)}{m},\]

missä voima \(F\) on jonkinlainen ajan funktio. Tietyn muotoiset tähän perustuvat liikeyhtälöt kuvaavat harmonista värähtelyä, tai sen muunnelmia. Tässä osiossa tutustutaan erityisesti korkeamman kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen ja yleisimpiin sovelluksiin. Lisälukemistoksi tarjotaan myös materiaalia korkeamman kertaluvun yhtälöiden palauttamiseksi useaan ensimmäisen kertaluvun yhtälöön, sekä niiden ratkaisemiseen numeerisesti.

Tärppejä tähän osioon:

Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö, homogeenisen yhtälön ratkaisut, karakteristinen yhtälö, Wronskin determinantti, epähomogeeninen yhtälö ja yritteet
Vaimentamaton/vaimennettu vapaa/pakotettu värähtely
Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt, erityisesti vakiokertoimisen yhtälön ratkaiseminen
Normaaliryhmä, ratkaiseminen eliminoimalla, korkeamman kertluvun yhtälön palauttaminen normaaliryhmäksi, normaaliryhmän numeerinen ratkaiseminen Matlabilla