- MAT-01330
- 5. Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 5.3 Sovellus: harmoninen värähtely
Sovellus: harmoninen värähtely¶
Vaimentamaton vapaa värähtely¶
Tarkastellaan kuvan mukaista jousisysteemiä. Jousivakio on k>0 ja x-akselin nollapiste on kiinnitetty siten, että jousen tasapainotilassa x=0. Jos massa m liikkuu vapaasti ilman vastustavia voimia, niin x-suunnassa kappaleeseen vaikuttaa vain jousivoima F=−kx. Kuvassa voima suuntautuu vasemmalle, kun x>0 ja oikealle, kun x<0.
Merkitään kappaleen paikkaa x(t) ajan t funktiona. Newtonin liikeyhtälön mukaan kokonaisvoima F(t)=ma(t)=mx″(t), missä a(t) on kiihtyvyys, joten kappaleen paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö mx″(t)=−kx(t). Toisin sanoen
missä m ja k ovat positiivisia vakioita. Kyseessä on siis homogeeninen vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön mλ2+k=0 ratkaisut ovat
missä ω0=√km. Yhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan
Ratkaistaan yhtälö alkuehdoilla x(0)=x0 (alkusijainti) ja x′(0)=v0 (alkuvauhti).
joten on oltava x(0)=a⋅1+b⋅0=x0 ja x′(0)=−aω0⋅0+bω0⋅1=v0, eli
Jos esimerkiksi valitaan ajan t nollakohta siten, että x(0)=0, ja x-akselin positiivinen suunta siten, että hetkellä t=0 liikutaan positiiviseen suuntaan vauhdilla v0>0, niin b>0 ja
Muunlaisilla alkuehdoilla voi olla a≠0 ja b≠0, jolloin paikan funktiossa on sekä kosini- että sinikomponentti. Värähtely pysyy kuitenkin sinimuotoisena. Tämä nähdään tulkitsemalla (a,b) A-säteisen origokeskisen ympyrän kehäpisteeksi. Olkoon kehäpistettä vastaava kulma ϕ∈(−π,π], jolloin
Summakaavaa
käyttämällä saadaan harmoninen identiteetti
Paikan ratkaisu voidaan siis aina kirjoittaa muodossa
missä amplitudi A kuvaa suurinta etäisyyttä tasapainotilasta, ω0 on liikkeen kulmanopeus ja
värähtelyn vaihekulma. Kuvaajin tulkittuna vaihe edustaa aika-akselin suuntaista siirtymää tavallisen kosinifunktion kuvaajasta. Kappaleella kuluu jakson T=2πω0 verran aikaa palata lähtöpisteeseensä, ja värähtelyn taajuus on f=1T=ω02π.
Seuraavassa kuvassa ϕ>0 ja merkitään δ=ϕω0 (aikaviive).
Esimerkki.
Kappaleen massa on m=4 kg ja jousivakio k=169 kg:math:/s2. Jousta venytetään 10 cm ja sysätään liikkeelle kohti tasapainotilaa vauhdilla 130 cm:math:/s hetkellä t=0 s. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.
Nyt x0=10, v0=−130, ω0=√km=6,5, a=x0=10, b=v0ω0=−20 ja A=√a2+b2≈22,4. Vaihekulma ϕ on neljännessä koordinaattineljänneksessä, joten ϕ=arctan(ba)=arctan(−2)≈−1,11. Siis
senttimetriä. Jakso on T=2πω0≈0,967 sekuntia. Vastaako funktion x(t) kuvaaja intuitiota siitä, miten kappaleen pitäisi tässä tilanteessa liikkua?
Vaimennettu vapaa värähtely¶
Oletetaan, että jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa liikettä vastustavia voimia, ja että ne ovat suoraan verrannollisia nopeuteen. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on siis F(t)=mx″(t)=−kx(t)−cx′(t), missä c>0 on vaimennuskerroin, eli
Tämä on vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön mλ2+cλ+k=0 ratkaisut ovat
missä γ0=c2m on vaimennuksen suhde kappaleen massaan. Ratkaisun tyyppi riippuu juurrettavan γ20−ω20 arvosta.
γ20−ω20>0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta λ1 ja λ2. Koska √γ20−ω20<√γ20=|γ0|, niin karakteristisen yhtälön ratkaisut
λ1,2=−γ0±√γ20−ω20<0.Molemmat ratkaisut ovat siis negatiivisia ja paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=c1eλ1t+c2eλ2t.Tällöin x(t)→0, kun t→∞, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on suuri ja massa m pieni suhteessa jousivakioon k, sanotaan ylivaimennetuksi. Esimerkkinä ylivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa iskunvaimentimet ovat kunnossa.
γ20−ω20=0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksinkertainen juuri λ=−γ0<0, joten paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=c1eλt+c2teλt.Tällöin x(t)→0, kun t→∞, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tämä tapaus jää ikään kuin kahden ääripään väliin, ja värähtelyn sanotaan olevan kriittisesti vaimennettu.
γ20−ω20<0. Karakteristisella yhtälöllä on imaginaarijuuret
λ=−γ0±i√ω20−γ20=−γ0±iω1missä ω1=√ω20−γ20. Siis paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=e−γ0t(c1cos(ω1t)+c2sin(ω1t)).Harmonista identiteettiä käyttämällä saadaan
x(t)=Ae−γ0tcos(ω1t−ϕ),missä
A=√c21+c22,c1=Acosϕjac2=Asinϕ.Tällöin x(t)→0, kun t→∞, mutta syntyy värähtelyliike, jonka kulmanopeus on ω1 ja jossa amplitudi Ae−γ0t vaimenee ajan kuluessa. Funktion x(t) kuvaaja heilahtelee verhokäyrien x(t)=Ae−γ0t ja x(t)=−Ae−γ0t välissä. Kulmanopeus ω1 on (odotusten mukaisesti) pienempi kuin vaimentamattoman värähtelyn luonnollinen kulmanopeus ω0=√km. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on pieni ja massa m suuri suhteessa jousivakioon k, sanotaan alivaimennetuksi. Esimerkkinä alivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa on kuluneet iskunvaimentimet.
Vaimentamaton pakotettu värähtely¶
Oletetaan, että vaimentamattoman jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman −kx lisäksi ulkoinen pakkovoima F0cos(ωt). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon
Vastaava homogeeninen yhtälö on jo ratkaistu), joten etsitään yksittäisratkaisua xp(t).
Oletetaan, että ω≠ω0 ja haetaan yksittäisratkaisua määräämättömien kertoimien menetelmällä yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi
aina, kun t>0, sillä ω20=km. Nähdään, että Cm(ω20−ω2)=F0 ja D=0, joten
on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten
Esimerkki.
Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100cos(13t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.
Nyt yleinen ratkaisu on muotoa
jolle
Tarkastellaan alkuehtoja (funktio F(t) esitetään newtoneina, joten otetaan paikan yksiköksi metri ja nopeuden yksiköksi m/s)
Lisäksi A=√a2+b2≈0,299 ja ϕ=arctan(ba)≈−0,103, joten ratkaisu on
Ratkaisu on luonnollisella kulmanopeudella ω0=6,5 ja pakkovoiman kulmanopeudella ω=13 tapahtuvien harmonisten värähtelyjen summa. Näiden värähtelyjen jaksot ovat 2π/6,5 ja 2π/13, joten tässä esimerkissä x(t) on jaksollinen, jaksona 2π/6,5≈0,967.
Jos pakotetussa värähtelyssä ω=ω0, niin edellinen ratkaisu ei ole voimassa. Haetaan yksittäisratkaisua nyt yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi
aina, kun t>0. Nähdään, että C=0 ja D=F0/(2mω0), joten
on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten
Esimerkki.
Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100cos(6,5t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) hetkellä t.
Nyt
Vastaavalla tavoin kuin äskeisessä esimerkissä saadaan
Nähdään, että jälkimmäisen termin itseisarvo ei pysy rajoitettuna, kun t→∞. Kun pakkovoiman kulmanopeus on sama kuin luonnollinen kulmanopeus, syntyy resonanssi, jossa pienikin pakkovoima johtaa lopulta rajoittamattomaan värähtelyyn.
Kuuluisa esimerkki resonanssista on Tacoman silta, joka romahti vuonna 1940. Tuuli aiheutti siltaan pakkovoimia, joiden taajuudet olivat lähellä sillan tiettyjen värähtelyjen luonnollisia taajuuksia. Syntyneen voimakkaan värähtelyn seurauksena silta romahti.
Vaimennettu pakotettu värähtely¶
Oletetaan, että vaimennetun jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman −kx ja vaimennusvoiman −cx′ lisäksi ulkoinen pakkovoima F0cos(ωt). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon
Edellä nähtiin, että vastaavan homoneegisen yhtälön ratkaisu xh(t)→0, kun t→∞. Niinpä ajan kuluessa systeemi stabiloituu kohti tilaa x(t)=xp(t), missä xp(t) on yhtälön yksittäisratkaisu. Nyt iω ei ole karakteristisen yhtälön juuri, joten yksittäisratkaisu löytyy yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle ja vertaamalla sinin ja kosinin kertoimia yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella saadaan ratkaisun ehdoksi
Harmonista identiteettiä käyttämällä ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon
missä
sekä C=Acosϕ ja D=Asinϕ. Voidaan osoittaa, että amplitudi A=A(ω) pysyy rajoitettuna joukossa ω>0. Toisin sanoen rajoittamatonta resonanssi-ilmiötä ei esiinny.
Sähköinen värähtely¶
Tarkastellaan RLC-virtapiiriä, jossa on seuraavan taulukon mukaisia komponentteja.
komponentti | suure | tunnus | mittayksikkö |
---|---|---|---|
käämi | induktanssi | L | H = Vs/A |
vastus | vastus | R | Ω= V/A |
kondensaattori | kapasitanssi | C | F = C/V = As/V |
virtalähde | jännite | E(t) | V |
Olkoon Q=Q(t) kondensaattorin varaus (C = As) ja I=I(t) sähkövirta (A) ajanhetkellä t (s). Käämissä, vastuksessa ja kondensaattorissa jännitehäviöt ovat LI′(t), RI(t) ja 1CQ(t), joten
Tiedetään, että I(t)=Q′(t). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan
Toisaalta derivoimalla ensimmäinen yhtälö ensin puolittain muuttujan t suhteen saadaan
Kaksi viimeistä yhtälöä ovat sinimuotoisen vaihtojännitteen E(t) tapauksessa samaa muotoa kuin mekaanisen värähtelyn liikeyhtälö ja voidaan ratkaista samaan tapaan.