- MAT-01330
- 5. Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 5.3 Sovellus: harmoninen värähtely
Sovellus: harmoninen värähtely¶
Vaimentamaton vapaa värähtely¶
Tarkastellaan kuvan mukaista jousisysteemiä. Jousivakio on k>0 ja x-akselin nollapiste on kiinnitetty siten, että jousen tasapainotilassa x=0. Jos massa m liikkuu vapaasti ilman vastustavia voimia, niin x-suunnassa kappaleeseen vaikuttaa vain jousivoima F=−kx. Kuvassa voima suuntautuu vasemmalle, kun x>0 ja oikealle, kun x<0.
Merkitään kappaleen paikkaa x(t) ajan t funktiona. Newtonin liikeyhtälön mukaan kokonaisvoima F(t)=ma(t)=mx″, missä a(t) on kiihtyvyys, joten kappaleen paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö mx''(t)=-kx(t). Toisin sanoen
missä m ja k ovat positiivisia vakioita. Kyseessä on siis homogeeninen vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön m\lambda^2 + k = 0 ratkaisut ovat
missä \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. Yhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan
Ratkaistaan yhtälö alkuehdoilla x(0)=x_0 (alkusijainti) ja x'(0)=v_0 (alkuvauhti).
joten on oltava x(0)=a\cdot1+b\cdot0=x_0 ja x'(0)=-a\omega_0\cdot0+b\omega_0\cdot1=v_0, eli
Jos esimerkiksi valitaan ajan t nollakohta siten, että x(0)=0, ja x-akselin positiivinen suunta siten, että hetkellä t=0 liikutaan positiiviseen suuntaan vauhdilla v_0>0, niin b>0 ja
Muunlaisilla alkuehdoilla voi olla a\ne0 ja b\ne0, jolloin paikan funktiossa on sekä kosini- että sinikomponentti. Värähtely pysyy kuitenkin sinimuotoisena. Tämä nähdään tulkitsemalla (a,b) A-säteisen origokeskisen ympyrän kehäpisteeksi. Olkoon kehäpistettä vastaava kulma \phi\in(-\pi,\pi], jolloin
Summakaavaa
käyttämällä saadaan harmoninen identiteetti
Paikan ratkaisu voidaan siis aina kirjoittaa muodossa
missä amplitudi A kuvaa suurinta etäisyyttä tasapainotilasta, \omega_0 on liikkeen kulmanopeus ja
värähtelyn vaihekulma. Kuvaajin tulkittuna vaihe edustaa aika-akselin suuntaista siirtymää tavallisen kosinifunktion kuvaajasta. Kappaleella kuluu jakson T = \frac{2\pi}{\omega_0} verran aikaa palata lähtöpisteeseensä, ja värähtelyn taajuus on f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}.
Seuraavassa kuvassa \phi>0 ja merkitään \delta=\dfrac{\phi}{\omega_0} (aikaviive).
Esimerkki.
Kappaleen massa on m=4 kg ja jousivakio k=169 kg:math:/s^2. Jousta venytetään 10 cm ja sysätään liikkeelle kohti tasapainotilaa vauhdilla 130 cm:math:/s hetkellä t=0 s. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.
Nyt x_0=10, v_0=-130, \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=6{,}5, a=x_0=10, b=\frac{v_0}{\omega_0}=-20 ja A=\sqrt{a^2+b^2}\approx22{,}4. Vaihekulma \phi on neljännessä koordinaattineljänneksessä, joten \phi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan(-2)\approx-1{,}11. Siis
senttimetriä. Jakso on T=\frac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}967 sekuntia. Vastaako funktion x(t) kuvaaja intuitiota siitä, miten kappaleen pitäisi tässä tilanteessa liikkua?
Vaimennettu vapaa värähtely¶
Oletetaan, että jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa liikettä vastustavia voimia, ja että ne ovat suoraan verrannollisia nopeuteen. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on siis F(t)=mx''(t)=-kx(t)-cx'(t), missä c>0 on vaimennuskerroin, eli
Tämä on vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön m\lambda^2 + c\lambda + k = 0 ratkaisut ovat
missä \gamma_0 = \frac{c}{2m} on vaimennuksen suhde kappaleen massaan. Ratkaisun tyyppi riippuu juurrettavan \gamma_0^2-\omega_0^2 arvosta.
\gamma_0^2 - \omega_0^2 > 0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta \lambda_1 ja \lambda_2. Koska \sqrt{\gamma_0^2-\omega_0^2}<\sqrt{\gamma_0^2}=|\gamma_0|, niin karakteristisen yhtälön ratkaisut
\lambda_{1, 2} = -\gamma_0\pm\sqrt{\gamma_0^2-\omega_0^2}<0.Molemmat ratkaisut ovat siis negatiivisia ja paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}.Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on suuri ja massa m pieni suhteessa jousivakioon k, sanotaan ylivaimennetuksi. Esimerkkinä ylivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa iskunvaimentimet ovat kunnossa.
\gamma_0^2 - \omega_0^2 = 0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksinkertainen juuri \lambda=-\gamma_0<0, joten paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=c_1e^{\lambda t}+c_2te^{\lambda t}.Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tämä tapaus jää ikään kuin kahden ääripään väliin, ja värähtelyn sanotaan olevan kriittisesti vaimennettu.
\gamma_0^2 - \omega_0^2 < 0. Karakteristisella yhtälöllä on imaginaarijuuret
\lambda=-\gamma_0\pm i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma_0^2} = -\gamma_0 \pm i\omega_1missä \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma_0^2}. Siis paikan yhtälön yleinen ratkaisu on
x(t)=e^{-\gamma_0t}(c_1\cos(\omega_1t)+c_2\sin(\omega_1t)).Harmonista identiteettiä käyttämällä saadaan
x(t)=Ae^{-\gamma_0t}\cos(\omega_1t-\phi),missä
A=\sqrt{c_1^2+c_2^2},\qquad c_1=A\cos\phi\qquad\text{ja}\qquad c_2=A\sin\phi.Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, mutta syntyy värähtelyliike, jonka kulmanopeus on \omega_1 ja jossa amplitudi Ae^{-\gamma_0t} vaimenee ajan kuluessa. Funktion x(t) kuvaaja heilahtelee verhokäyrien x(t)=Ae^{-\gamma_0t} ja x(t)=-Ae^{-\gamma_0t} välissä. Kulmanopeus \omega_1 on (odotusten mukaisesti) pienempi kuin vaimentamattoman värähtelyn luonnollinen kulmanopeus \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on pieni ja massa m suuri suhteessa jousivakioon k, sanotaan alivaimennetuksi. Esimerkkinä alivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa on kuluneet iskunvaimentimet.
Vaimentamaton pakotettu värähtely¶
Oletetaan, että vaimentamattoman jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman -kx lisäksi ulkoinen pakkovoima F_0\cos(\omega t). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon
Vastaava homogeeninen yhtälö on jo ratkaistu), joten etsitään yksittäisratkaisua x_p(t).
Oletetaan, että \omega\ne\omega_0 ja haetaan yksittäisratkaisua määräämättömien kertoimien menetelmällä yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi
aina, kun t > 0, sillä \omega_0^2=\frac{k}{m}. Nähdään, että Cm(\omega_0^2-\omega^2)=F_0 ja D=0, joten
on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten
Esimerkki.
Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100\cos(13t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.
Nyt yleinen ratkaisu on muotoa
jolle
Tarkastellaan alkuehtoja (funktio F(t) esitetään newtoneina, joten otetaan paikan yksiköksi metri ja nopeuden yksiköksi m/s)
Lisäksi A=\sqrt{a^2+b^2}\approx0{,}299 ja \phi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\approx-0{,}103, joten ratkaisu on
Ratkaisu on luonnollisella kulmanopeudella \omega_0=6{,}5 ja pakkovoiman kulmanopeudella \omega=13 tapahtuvien harmonisten värähtelyjen summa. Näiden värähtelyjen jaksot ovat 2\pi/6{,}5 ja 2\pi/13, joten tässä esimerkissä x(t) on jaksollinen, jaksona 2\pi/6{,}5\approx0{,}967.
Jos pakotetussa värähtelyssä \omega=\omega_0, niin edellinen ratkaisu ei ole voimassa. Haetaan yksittäisratkaisua nyt yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi
aina, kun t > 0. Nähdään, että C=0 ja D=F_0/(2m\omega_0), joten
on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten
Esimerkki.
Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100\cos(6{,}5t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) hetkellä t.
Nyt
Vastaavalla tavoin kuin äskeisessä esimerkissä saadaan
Nähdään, että jälkimmäisen termin itseisarvo ei pysy rajoitettuna, kun t\to\infty. Kun pakkovoiman kulmanopeus on sama kuin luonnollinen kulmanopeus, syntyy resonanssi, jossa pienikin pakkovoima johtaa lopulta rajoittamattomaan värähtelyyn.
Kuuluisa esimerkki resonanssista on Tacoman silta, joka romahti vuonna 1940. Tuuli aiheutti siltaan pakkovoimia, joiden taajuudet olivat lähellä sillan tiettyjen värähtelyjen luonnollisia taajuuksia. Syntyneen voimakkaan värähtelyn seurauksena silta romahti.
Vaimennettu pakotettu värähtely¶
Oletetaan, että vaimennetun jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman -kx ja vaimennusvoiman -cx' lisäksi ulkoinen pakkovoima F_0\cos(\omega t). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon
Edellä nähtiin, että vastaavan homoneegisen yhtälön ratkaisu x_h(t)\to0, kun t\to\infty. Niinpä ajan kuluessa systeemi stabiloituu kohti tilaa x(t)=x_p(t), missä x_p(t) on yhtälön yksittäisratkaisu. Nyt i\omega ei ole karakteristisen yhtälön juuri, joten yksittäisratkaisu löytyy yritteellä
Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle ja vertaamalla sinin ja kosinin kertoimia yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella saadaan ratkaisun ehdoksi
Harmonista identiteettiä käyttämällä ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon
missä
sekä C=A\cos\phi ja D=A\sin\phi. Voidaan osoittaa, että amplitudi A=A(\omega) pysyy rajoitettuna joukossa \omega>0. Toisin sanoen rajoittamatonta resonanssi-ilmiötä ei esiinny.
Sähköinen värähtely¶
Tarkastellaan RLC-virtapiiriä, jossa on seuraavan taulukon mukaisia komponentteja.
komponentti | suure | tunnus | mittayksikkö |
---|---|---|---|
käämi | induktanssi | L | H = Vs/A |
vastus | vastus | R | \Omega= V/A |
kondensaattori | kapasitanssi | C | F = C/V = As/V |
virtalähde | jännite | E(t) | V |
Olkoon Q=Q(t) kondensaattorin varaus (C = As) ja I=I(t) sähkövirta (A) ajanhetkellä t (s). Käämissä, vastuksessa ja kondensaattorissa jännitehäviöt ovat LI'(t), RI(t) ja \frac{1}{C}Q(t), joten
Tiedetään, että I(t)=Q'(t). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan
Toisaalta derivoimalla ensimmäinen yhtälö ensin puolittain muuttujan t suhteen saadaan
Kaksi viimeistä yhtälöä ovat sinimuotoisen vaihtojännitteen E(t) tapauksessa samaa muotoa kuin mekaanisen värähtelyn liikeyhtälö ja voidaan ratkaista samaan tapaan.