Processing math: 5%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Sovellus: harmoninen värähtely

Vaimentamaton vapaa värähtely

Tarkastellaan kuvan mukaista jousisysteemiä. Jousivakio on k>0 ja x-akselin nollapiste on kiinnitetty siten, että jousen tasapainotilassa x=0. Jos massa m liikkuu vapaasti ilman vastustavia voimia, niin x-suunnassa kappaleeseen vaikuttaa vain jousivoima F=kx. Kuvassa voima suuntautuu vasemmalle, kun x>0 ja oikealle, kun x<0.

../_images/diffyhtjousi.svg

Merkitään kappaleen paikkaa x(t) ajan t funktiona. Newtonin liikeyhtälön mukaan kokonaisvoima F(t)=ma(t)=mx, missä a(t) on kiihtyvyys, joten kappaleen paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö mx''(t)=-kx(t). Toisin sanoen

mx''+kx=0,

missä m ja k ovat positiivisia vakioita. Kyseessä on siis homogeeninen vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön m\lambda^2 + k = 0 ratkaisut ovat

\lambda=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}} = \pm i\omega_0,

missä \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. Yhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan

x(t)=a\cos(\omega_0t)+b\sin(\omega_0t).

Ratkaistaan yhtälö alkuehdoilla x(0)=x_0 (alkusijainti) ja x'(0)=v_0 (alkuvauhti).

x'(t)=-a\omega_0\sin(\omega_0t)+b\omega_0\cos(\omega_0t),

joten on oltava x(0)=a\cdot1+b\cdot0=x_0 ja x'(0)=-a\omega_0\cdot0+b\omega_0\cdot1=v_0, eli

a=x_0\qquad\text{ja}\qquad b=\frac{v_0}{\omega_0}.

Jos esimerkiksi valitaan ajan t nollakohta siten, että x(0)=0, ja x-akselin positiivinen suunta siten, että hetkellä t=0 liikutaan positiiviseen suuntaan vauhdilla v_0>0, niin b>0 ja

x(t)=b\sin(\omega_0t).
../_images/diffyhtvaimentamatonvapavarahtely.svg

Muunlaisilla alkuehdoilla voi olla a\ne0 ja b\ne0, jolloin paikan funktiossa on sekä kosini- että sinikomponentti. Värähtely pysyy kuitenkin sinimuotoisena. Tämä nähdään tulkitsemalla (a,b) A-säteisen origokeskisen ympyrän kehäpisteeksi. Olkoon kehäpistettä vastaava kulma \phi\in(-\pi,\pi], jolloin

A=\sqrt{a^2+b^2},\qquad a=A\cos\phi\qquad\text{ja}\qquad b=A\sin\varphi.
../_images/diffyhtvapvar1.svg

Summakaavaa

\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

käyttämällä saadaan harmoninen identiteetti

a\cos(\omega_0 t)+b\sin(\omega_0 t)=A\cos\phi\cos(\omega_0 t)+A\sin\phi\sin(\omega_0 t)=A\cos(\omega_0 t-\phi)

Paikan ratkaisu voidaan siis aina kirjoittaa muodossa

x(t)=A\cos(\omega_0t-\phi),

missä amplitudi A kuvaa suurinta etäisyyttä tasapainotilasta, \omega_0 on liikkeen kulmanopeus ja

\begin{split}\phi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{b}{a}\right),&\text{jos }a>0,\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi,&\text{jos }a<0\text{ ja }b>0,\\ \arctan\left(\frac{b}{a}\right)-\pi,&\text{jos }a<0,\text{ ja }b<0.\\ \end{cases}\end{split}

värähtelyn vaihekulma. Kuvaajin tulkittuna vaihe edustaa aika-akselin suuntaista siirtymää tavallisen kosinifunktion kuvaajasta. Kappaleella kuluu jakson T = \frac{2\pi}{\omega_0} verran aikaa palata lähtöpisteeseensä, ja värähtelyn taajuus on f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}.

Seuraavassa kuvassa \phi>0 ja merkitään \delta=\dfrac{\phi}{\omega_0} (aikaviive).

../_images/diffythvaimvapvar3.svg

Esimerkki.

Kappaleen massa on m=4 kg ja jousivakio k=169 kg:math:/s^2. Jousta venytetään 10 cm ja sysätään liikkeelle kohti tasapainotilaa vauhdilla 130 cm:math:/s hetkellä t=0 s. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt x_0=10, v_0=-130, \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=6{,}5, a=x_0=10, b=\frac{v_0}{\omega_0}=-20 ja A=\sqrt{a^2+b^2}\approx22{,}4. Vaihekulma \phi on neljännessä koordinaattineljänneksessä, joten \phi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan(-2)\approx-1{,}11. Siis

x(t)\approx22{,}4\cos(6{,}5t+1{,}11)

senttimetriä. Jakso on T=\frac{2\pi}{\omega_0}\approx0{,}967 sekuntia. Vastaako funktion x(t) kuvaaja intuitiota siitä, miten kappaleen pitäisi tässä tilanteessa liikkua?

../_images/diffyhtvaimvapvar4.svg

Vaimennettu vapaa värähtely

Oletetaan, että jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa liikettä vastustavia voimia, ja että ne ovat suoraan verrannollisia nopeuteen. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on siis F(t)=mx''(t)=-kx(t)-cx'(t), missä c>0 on vaimennuskerroin, eli

mx''+cx'+kx=0.

Tämä on vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön m\lambda^2 + c\lambda + k = 0 ratkaisut ovat

\lambda=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4km}}{2m} = -\frac{c}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{c}{2m}\right)^2 - \frac{k}{m}} = -\gamma_0 \pm \sqrt{\gamma_0^2 - \omega_0^2},

missä \gamma_0 = \frac{c}{2m} on vaimennuksen suhde kappaleen massaan. Ratkaisun tyyppi riippuu juurrettavan \gamma_0^2-\omega_0^2 arvosta.

  1. \gamma_0^2 - \omega_0^2 > 0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta \lambda_1 ja \lambda_2. Koska \sqrt{\gamma_0^2-\omega_0^2}<\sqrt{\gamma_0^2}=|\gamma_0|, niin karakteristisen yhtälön ratkaisut

    \lambda_{1, 2} = -\gamma_0\pm\sqrt{\gamma_0^2-\omega_0^2}<0.

    Molemmat ratkaisut ovat siis negatiivisia ja paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}.

    Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on suuri ja massa m pieni suhteessa jousivakioon k, sanotaan ylivaimennetuksi. Esimerkkinä ylivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa iskunvaimentimet ovat kunnossa.

    ../_images/diffyhtvaimennettu1.svg
  2. \gamma_0^2 - \omega_0^2 = 0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksinkertainen juuri \lambda=-\gamma_0<0, joten paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=c_1e^{\lambda t}+c_2te^{\lambda t}.

    Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tämä tapaus jää ikään kuin kahden ääripään väliin, ja värähtelyn sanotaan olevan kriittisesti vaimennettu.

  3. \gamma_0^2 - \omega_0^2 < 0. Karakteristisella yhtälöllä on imaginaarijuuret

    \lambda=-\gamma_0\pm i\sqrt{\omega_0^2 - \gamma_0^2} = -\gamma_0 \pm i\omega_1

    missä \omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma_0^2}. Siis paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=e^{-\gamma_0t}(c_1\cos(\omega_1t)+c_2\sin(\omega_1t)).

    Harmonista identiteettiä käyttämällä saadaan

    x(t)=Ae^{-\gamma_0t}\cos(\omega_1t-\phi),

    missä

    A=\sqrt{c_1^2+c_2^2},\qquad c_1=A\cos\phi\qquad\text{ja}\qquad c_2=A\sin\phi.

    Tällöin x(t)\to0, kun t\to\infty, mutta syntyy värähtelyliike, jonka kulmanopeus on \omega_1 ja jossa amplitudi Ae^{-\gamma_0t} vaimenee ajan kuluessa. Funktion x(t) kuvaaja heilahtelee verhokäyrien x(t)=Ae^{-\gamma_0t} ja x(t)=-Ae^{-\gamma_0t} välissä. Kulmanopeus \omega_1 on (odotusten mukaisesti) pienempi kuin vaimentamattoman värähtelyn luonnollinen kulmanopeus \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on pieni ja massa m suuri suhteessa jousivakioon k, sanotaan alivaimennetuksi. Esimerkkinä alivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa on kuluneet iskunvaimentimet.

    ../_images/diffyhtvaimennettu2.svg

Vaimentamaton pakotettu värähtely

Oletetaan, että vaimentamattoman jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman -kx lisäksi ulkoinen pakkovoima F_0\cos(\omega t). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon

mx''+kx=F_0\cos(\omega t).

Vastaava homogeeninen yhtälö on jo ratkaistu), joten etsitään yksittäisratkaisua x_p(t).

Oletetaan, että \omega\ne\omega_0 ja haetaan yksittäisratkaisua määräämättömien kertoimien menetelmällä yritteellä

x_p=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi

\begin{split}\begin{aligned} mx_p''+kx_p&=C(k-m\omega^2)\cos(\omega t)+D(k-m\omega^2)\sin(\omega t)\\ &=Cm(\omega_0^2-\omega^2)\cos(\omega t)+Dm(\omega_0^2-\omega^2)\sin(\omega t) = F_0\cos(\omega t), \end{aligned}\end{split}

aina, kun t > 0, sillä \omega_0^2=\frac{k}{m}. Nähdään, että Cm(\omega_0^2-\omega^2)=F_0 ja D=0, joten

x_p=\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega t)

on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten

x(t)=A\cos(\omega_0t-\phi)+\frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\cos(\omega t).

Esimerkki.

Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100\cos(13t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt yleinen ratkaisu on muotoa

\begin{aligned} x(t)=x_h(t)+x_p(t)=a\cos(6{,}5t)+b\sin(6{,}5t)+\underbrace{\frac{100}{4(6{,}5^2-13^2)}}_{=:c\approx-0{,}197}\cos(13t), \end{aligned}

jolle

x'(t)=-6{,}5a\sin(6{,}5t)+6{,}5b\cos(6{,}5t)-13c\sin(13t).

Tarkastellaan alkuehtoja (funktio F(t) esitetään newtoneina, joten otetaan paikan yksiköksi metri ja nopeuden yksiköksi m/s)

\begin{split}\begin{cases} x(0)=a+c=0{,}1\\ x'(0)=6{,}5b=-0{,}2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0{,}1-c\approx0{,}297\\ b=-0{,}2/6{,}5\approx-0{,}0308 \end{cases}\end{split}

Lisäksi A=\sqrt{a^2+b^2}\approx0{,}299 ja \phi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\approx-0{,}103, joten ratkaisu on

x(t)\approx0{,}299\cos(6{,}5t+0{,}103)-0{,}197\cos(13t).

Ratkaisu on luonnollisella kulmanopeudella \omega_0=6{,}5 ja pakkovoiman kulmanopeudella \omega=13 tapahtuvien harmonisten värähtelyjen summa. Näiden värähtelyjen jaksot ovat 2\pi/6{,}5 ja 2\pi/13, joten tässä esimerkissä x(t) on jaksollinen, jaksona 2\pi/6{,}5\approx0{,}967.

../_images/diffyhtpakotvar1.svg

Jos pakotetussa värähtelyssä \omega=\omega_0, niin edellinen ratkaisu ei ole voimassa. Haetaan yksittäisratkaisua nyt yritteellä

x_p=Ct\cos(\omega_0 t)+Dt\sin(\omega_0 t).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi

\begin{aligned} mx_p''+kx_p&=2m\omega_0(D\cos(\omega_0t)-C\sin(\omega_0t))=F_0\cos(\omega_0 t) \end{aligned}

aina, kun t > 0. Nähdään, että C=0 ja D=F_0/(2m\omega_0), joten

x_p=\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin(\omega_0t)

on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten

x(t)=A\cos(\omega_0t-\phi)+\frac{F_0}{2m\omega_0}t\sin(\omega_0t).

Esimerkki.

Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100\cos(6{,}5t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) hetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt

\begin{aligned} x(t)=x_h(t)+x_p(t)=a\cos(6{,}5t)+b\sin(6{,}5t)+\frac{100}{2\cdot4\cdot6{,}5}t\sin(6{,}5t). \end{aligned}

Vastaavalla tavoin kuin äskeisessä esimerkissä saadaan

x(t)\approx0{,}105\cos(6{,}5t+0{,}298)+1{,}923t\sin(6{,5}t).

Nähdään, että jälkimmäisen termin itseisarvo ei pysy rajoitettuna, kun t\to\infty. Kun pakkovoiman kulmanopeus on sama kuin luonnollinen kulmanopeus, syntyy resonanssi, jossa pienikin pakkovoima johtaa lopulta rajoittamattomaan värähtelyyn.

../_images/diffyhtpakotvar2.svg

Kuuluisa esimerkki resonanssista on Tacoman silta, joka romahti vuonna 1940. Tuuli aiheutti siltaan pakkovoimia, joiden taajuudet olivat lähellä sillan tiettyjen värähtelyjen luonnollisia taajuuksia. Syntyneen voimakkaan värähtelyn seurauksena silta romahti.

Vaimennettu pakotettu värähtely

Oletetaan, että vaimennetun jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman -kx ja vaimennusvoiman -cx' lisäksi ulkoinen pakkovoima F_0\cos(\omega t). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon

mx''+cx'+kx=F_0\cos(\omega t).

Edellä nähtiin, että vastaavan homoneegisen yhtälön ratkaisu x_h(t)\to0, kun t\to\infty. Niinpä ajan kuluessa systeemi stabiloituu kohti tilaa x(t)=x_p(t), missä x_p(t) on yhtälön yksittäisratkaisu. Nyt i\omega ei ole karakteristisen yhtälön juuri, joten yksittäisratkaisu löytyy yritteellä

x_p=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle ja vertaamalla sinin ja kosinin kertoimia yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella saadaan ratkaisun ehdoksi

\begin{aligned} C=\frac{(k-m\omega^2)F_0}{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}\qquad\text{ja}\qquad D=\frac{c\omega F_0}{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}. \end{aligned}

Harmonista identiteettiä käyttämällä ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

x_p(t)=A\cos(\omega t-\phi),

missä

A=\sqrt{C^2+D^2}=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}} = \frac{F_0}{m}\frac{1}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma_0^2\omega^2}},

sekä C=A\cos\phi ja D=A\sin\phi. Voidaan osoittaa, että amplitudi A=A(\omega) pysyy rajoitettuna joukossa \omega>0. Toisin sanoen rajoittamatonta resonanssi-ilmiötä ei esiinny.

Sähköinen värähtely

Tarkastellaan RLC-virtapiiriä, jossa on seuraavan taulukon mukaisia komponentteja.

komponentti suure tunnus mittayksikkö
käämi induktanssi L H = Vs/A
vastus vastus R \Omega= V/A
kondensaattori kapasitanssi C F = C/V = As/V
virtalähde jännite E(t) V

Olkoon Q=Q(t) kondensaattorin varaus (C = As) ja I=I(t) sähkövirta (A) ajanhetkellä t (s). Käämissä, vastuksessa ja kondensaattorissa jännitehäviöt ovat LI'(t), RI(t) ja \frac{1}{C}Q(t), joten

LI'+RI+\frac{Q}{C}=E.

Tiedetään, että I(t)=Q'(t). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan

LQ''+RQ'+\frac{Q}{C}=E.

Toisaalta derivoimalla ensimmäinen yhtälö ensin puolittain muuttujan t suhteen saadaan

LI''+RI'+\frac{I}{C}=E'.

Kaksi viimeistä yhtälöä ovat sinimuotoisen vaihtojännitteen E(t) tapauksessa samaa muotoa kuin mekaanisen värähtelyn liikeyhtälö ja voidaan ratkaista samaan tapaan.

Palautusta lähetetään...