Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Sovellus: harmoninen värähtely

Vaimentamaton vapaa värähtely

Tarkastellaan kuvan mukaista jousisysteemiä. Jousivakio on k>0 ja x-akselin nollapiste on kiinnitetty siten, että jousen tasapainotilassa x=0. Jos massa m liikkuu vapaasti ilman vastustavia voimia, niin x-suunnassa kappaleeseen vaikuttaa vain jousivoima F=kx. Kuvassa voima suuntautuu vasemmalle, kun x>0 ja oikealle, kun x<0.

../_images/diffyhtjousi.svg

Merkitään kappaleen paikkaa x(t) ajan t funktiona. Newtonin liikeyhtälön mukaan kokonaisvoima F(t)=ma(t)=mx(t), missä a(t) on kiihtyvyys, joten kappaleen paikkaa kuvaa differentiaaliyhtälö mx(t)=kx(t). Toisin sanoen

mx+kx=0,

missä m ja k ovat positiivisia vakioita. Kyseessä on siis homogeeninen vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön mλ2+k=0 ratkaisut ovat

λ=±ikm=±iω0,

missä ω0=km. Yhtälön yleiseksi ratkaisuksi saadaan

x(t)=acos(ω0t)+bsin(ω0t).

Ratkaistaan yhtälö alkuehdoilla x(0)=x0 (alkusijainti) ja x(0)=v0 (alkuvauhti).

x(t)=aω0sin(ω0t)+bω0cos(ω0t),

joten on oltava x(0)=a1+b0=x0 ja x(0)=aω00+bω01=v0, eli

a=x0jab=v0ω0.

Jos esimerkiksi valitaan ajan t nollakohta siten, että x(0)=0, ja x-akselin positiivinen suunta siten, että hetkellä t=0 liikutaan positiiviseen suuntaan vauhdilla v0>0, niin b>0 ja

x(t)=bsin(ω0t).
../_images/diffyhtvaimentamatonvapavarahtely.svg

Muunlaisilla alkuehdoilla voi olla a0 ja b0, jolloin paikan funktiossa on sekä kosini- että sinikomponentti. Värähtely pysyy kuitenkin sinimuotoisena. Tämä nähdään tulkitsemalla (a,b) A-säteisen origokeskisen ympyrän kehäpisteeksi. Olkoon kehäpistettä vastaava kulma ϕ(π,π], jolloin

A=a2+b2,a=Acosϕjab=Asinφ.
../_images/diffyhtvapvar1.svg

Summakaavaa

cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβ

käyttämällä saadaan harmoninen identiteetti

acos(ω0t)+bsin(ω0t)=Acosϕcos(ω0t)+Asinϕsin(ω0t)=Acos(ω0tϕ)

Paikan ratkaisu voidaan siis aina kirjoittaa muodossa

x(t)=Acos(ω0tϕ),

missä amplitudi A kuvaa suurinta etäisyyttä tasapainotilasta, ω0 on liikkeen kulmanopeus ja

ϕ={arctan(ba),jos a>0,arctan(ba)+π,jos a<0 ja b>0,arctan(ba)π,jos a<0, ja b<0.

värähtelyn vaihekulma. Kuvaajin tulkittuna vaihe edustaa aika-akselin suuntaista siirtymää tavallisen kosinifunktion kuvaajasta. Kappaleella kuluu jakson T=2πω0 verran aikaa palata lähtöpisteeseensä, ja värähtelyn taajuus on f=1T=ω02π.

Seuraavassa kuvassa ϕ>0 ja merkitään δ=ϕω0 (aikaviive).

../_images/diffythvaimvapvar3.svg

Esimerkki.

Kappaleen massa on m=4 kg ja jousivakio k=169 kg:math:/s2. Jousta venytetään 10 cm ja sysätään liikkeelle kohti tasapainotilaa vauhdilla 130 cm:math:/s hetkellä t=0 s. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt x0=10, v0=130, ω0=km=6,5, a=x0=10, b=v0ω0=20 ja A=a2+b222,4. Vaihekulma ϕ on neljännessä koordinaattineljänneksessä, joten ϕ=arctan(ba)=arctan(2)1,11. Siis

x(t)22,4cos(6,5t+1,11)

senttimetriä. Jakso on T=2πω00,967 sekuntia. Vastaako funktion x(t) kuvaaja intuitiota siitä, miten kappaleen pitäisi tässä tilanteessa liikkua?

../_images/diffyhtvaimvapvar4.svg

Vaimennettu vapaa värähtely

Oletetaan, että jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa liikettä vastustavia voimia, ja että ne ovat suoraan verrannollisia nopeuteen. Kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on siis F(t)=mx(t)=kx(t)cx(t), missä c>0 on vaimennuskerroin, eli

mx+cx+kx=0.

Tämä on vakiokertoiminen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka karakteristisen yhtälön mλ2+cλ+k=0 ratkaisut ovat

λ=c±c24km2m=c2m±(c2m)2km=γ0±γ20ω20,

missä γ0=c2m on vaimennuksen suhde kappaleen massaan. Ratkaisun tyyppi riippuu juurrettavan γ20ω20 arvosta.

  1. γ20ω20>0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta λ1 ja λ2. Koska γ20ω20<γ20=|γ0|, niin karakteristisen yhtälön ratkaisut

    λ1,2=γ0±γ20ω20<0.

    Molemmat ratkaisut ovat siis negatiivisia ja paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=c1eλ1t+c2eλ2t.

    Tällöin x(t)0, kun t, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on suuri ja massa m pieni suhteessa jousivakioon k, sanotaan ylivaimennetuksi. Esimerkkinä ylivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa iskunvaimentimet ovat kunnossa.

    ../_images/diffyhtvaimennettu1.svg
  2. γ20ω20=0. Karakteristisella yhtälöllä on kaksinkertainen juuri λ=γ0<0, joten paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=c1eλt+c2teλt.

    Tällöin x(t)0, kun t, eikä synny värähtelyliikettä. Funktiolla x on korkeintaan yksi nollakohta. Tämä tapaus jää ikään kuin kahden ääripään väliin, ja värähtelyn sanotaan olevan kriittisesti vaimennettu.

  3. γ20ω20<0. Karakteristisella yhtälöllä on imaginaarijuuret

    λ=γ0±iω20γ20=γ0±iω1

    missä ω1=ω20γ20. Siis paikan yhtälön yleinen ratkaisu on

    x(t)=eγ0t(c1cos(ω1t)+c2sin(ω1t)).

    Harmonista identiteettiä käyttämällä saadaan

    x(t)=Aeγ0tcos(ω1tϕ),

    missä

    A=c21+c22,c1=Acosϕjac2=Asinϕ.

    Tällöin x(t)0, kun t, mutta syntyy värähtelyliike, jonka kulmanopeus on ω1 ja jossa amplitudi Aeγ0t vaimenee ajan kuluessa. Funktion x(t) kuvaaja heilahtelee verhokäyrien x(t)=Aeγ0t ja x(t)=Aeγ0t välissä. Kulmanopeus ω1 on (odotusten mukaisesti) pienempi kuin vaimentamattoman värähtelyn luonnollinen kulmanopeus ω0=km. Tällaista tilannetta, missä vaimennuskerroin c on pieni ja massa m suuri suhteessa jousivakioon k, sanotaan alivaimennetuksi. Esimerkkinä alivaimennetusta värähtelystä on kierrejousilla varustettu auton jousitus, jossa on kuluneet iskunvaimentimet.

    ../_images/diffyhtvaimennettu2.svg

Vaimentamaton pakotettu värähtely

Oletetaan, että vaimentamattoman jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman kx lisäksi ulkoinen pakkovoima F0cos(ωt). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon

mx+kx=F0cos(ωt).

Vastaava homogeeninen yhtälö on jo ratkaistu), joten etsitään yksittäisratkaisua xp(t).

Oletetaan, että ωω0 ja haetaan yksittäisratkaisua määräämättömien kertoimien menetelmällä yritteellä

xp=Ccos(ωt)+Dsin(ωt).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi

mxp+kxp=C(kmω2)cos(ωt)+D(kmω2)sin(ωt)=Cm(ω20ω2)cos(ωt)+Dm(ω20ω2)sin(ωt)=F0cos(ωt),

aina, kun t>0, sillä ω20=km. Nähdään, että Cm(ω20ω2)=F0 ja D=0, joten

xp=F0m(ω20ω2)cos(ωt)

on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten

x(t)=Acos(ω0tϕ)+F0m(ω20ω2)cos(ωt).

Esimerkki.

Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100cos(13t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) ajanhetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt yleinen ratkaisu on muotoa

x(t)=xh(t)+xp(t)=acos(6,5t)+bsin(6,5t)+1004(6,52132)=:c0,197cos(13t),

jolle

x(t)=6,5asin(6,5t)+6,5bcos(6,5t)13csin(13t).

Tarkastellaan alkuehtoja (funktio F(t) esitetään newtoneina, joten otetaan paikan yksiköksi metri ja nopeuden yksiköksi m/s)

{x(0)=a+c=0,1x(0)=6,5b=0,2{a=0,1c0,297b=0,2/6,50,0308

Lisäksi A=a2+b20,299 ja ϕ=arctan(ba)0,103, joten ratkaisu on

x(t)0,299cos(6,5t+0,103)0,197cos(13t).

Ratkaisu on luonnollisella kulmanopeudella ω0=6,5 ja pakkovoiman kulmanopeudella ω=13 tapahtuvien harmonisten värähtelyjen summa. Näiden värähtelyjen jaksot ovat 2π/6,5 ja 2π/13, joten tässä esimerkissä x(t) on jaksollinen, jaksona 2π/6,50,967.

../_images/diffyhtpakotvar1.svg

Jos pakotetussa värähtelyssä ω=ω0, niin edellinen ratkaisu ei ole voimassa. Haetaan yksittäisratkaisua nyt yritteellä

xp=Ctcos(ω0t)+Dtsin(ω0t).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle saadaan ratkaisun ehdoksi

mxp+kxp=2mω0(Dcos(ω0t)Csin(ω0t))=F0cos(ω0t)

aina, kun t>0. Nähdään, että C=0 ja D=F0/(2mω0), joten

xp=F02mω0tsin(ω0t)

on eräs yksittäisratkaisu. Yleinen ratkaisu on siten

x(t)=Acos(ω0tϕ)+F02mω0tsin(ω0t).

Esimerkki.

Oletetaan, että vaimentamattoman vapaan värähtelijän esimerkin systeemiin vaikuttaa pakkovoima F(t)=100cos(6,5t) N. Määritä kappaleen paikka x(t) hetkellä t.

Ratkaisu.

Nyt

x(t)=xh(t)+xp(t)=acos(6,5t)+bsin(6,5t)+100246,5tsin(6,5t).

Vastaavalla tavoin kuin äskeisessä esimerkissä saadaan

x(t)0,105cos(6,5t+0,298)+1,923tsin(6,5t).

Nähdään, että jälkimmäisen termin itseisarvo ei pysy rajoitettuna, kun t. Kun pakkovoiman kulmanopeus on sama kuin luonnollinen kulmanopeus, syntyy resonanssi, jossa pienikin pakkovoima johtaa lopulta rajoittamattomaan värähtelyyn.

../_images/diffyhtpakotvar2.svg

Kuuluisa esimerkki resonanssista on Tacoman silta, joka romahti vuonna 1940. Tuuli aiheutti siltaan pakkovoimia, joiden taajuudet olivat lähellä sillan tiettyjen värähtelyjen luonnollisia taajuuksia. Syntyneen voimakkaan värähtelyn seurauksena silta romahti.

Vaimennettu pakotettu värähtely

Oletetaan, että vaimennetun jousisysteemin kappaleeseen vaikuttaa jousivoiman kx ja vaimennusvoiman cx lisäksi ulkoinen pakkovoima F0cos(ωt). Silloin kappaleen liikeyhtälö tulee muotoon

mx+cx+kx=F0cos(ωt).

Edellä nähtiin, että vastaavan homoneegisen yhtälön ratkaisu xh(t)0, kun t. Niinpä ajan kuluessa systeemi stabiloituu kohti tilaa x(t)=xp(t), missä xp(t) on yhtälön yksittäisratkaisu. Nyt iω ei ole karakteristisen yhtälön juuri, joten yksittäisratkaisu löytyy yritteellä

xp=Ccos(ωt)+Dsin(ωt).

Sijoittamalla yrite liikeyhtälön vasemmalle puolelle ja vertaamalla sinin ja kosinin kertoimia yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella saadaan ratkaisun ehdoksi

C=(kmω2)F0(kmω2)2+(cω)2jaD=cωF0(kmω2)2+(cω)2.

Harmonista identiteettiä käyttämällä ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon

xp(t)=Acos(ωtϕ),

missä

A=C2+D2=F0(kmω2)2+(cω)2=F0m1(ω20ω2)2+4γ20ω2,

sekä C=Acosϕ ja D=Asinϕ. Voidaan osoittaa, että amplitudi A=A(ω) pysyy rajoitettuna joukossa ω>0. Toisin sanoen rajoittamatonta resonanssi-ilmiötä ei esiinny.

Sähköinen värähtely

Tarkastellaan RLC-virtapiiriä, jossa on seuraavan taulukon mukaisia komponentteja.

komponentti suure tunnus mittayksikkö
käämi induktanssi L H = Vs/A
vastus vastus R Ω= V/A
kondensaattori kapasitanssi C F = C/V = As/V
virtalähde jännite E(t) V

Olkoon Q=Q(t) kondensaattorin varaus (C = As) ja I=I(t) sähkövirta (A) ajanhetkellä t (s). Käämissä, vastuksessa ja kondensaattorissa jännitehäviöt ovat LI(t), RI(t) ja 1CQ(t), joten

LI+RI+QC=E.

Tiedetään, että I(t)=Q(t). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan

LQ+RQ+QC=E.

Toisaalta derivoimalla ensimmäinen yhtälö ensin puolittain muuttujan t suhteen saadaan

LI+RI+IC=E.

Kaksi viimeistä yhtälöä ovat sinimuotoisen vaihtojännitteen E(t) tapauksessa samaa muotoa kuin mekaanisen värähtelyn liikeyhtälö ja voidaan ratkaista samaan tapaan.

Palautusta lähetetään...