- MAT-01330
- 2. Integraalifunktio ja määrätty integraali
- 2.2 Integraalifunktio
Integraalifunktio¶
Olkoon seuraavassa \(I\subset\mathbb R\) (rajoitettu tai rajoittamaton) reaalilukuväli.
Määritelmä.
Funktio \(F : I\to\mathbb R\) on funktion \(f : I\to\mathbb R\) integraalifunktio eli antiderivaatta (antiderivative) välillä \(I\), jos \(F'(x)=f(x)\) kaikilla välin \(I\) pisteillä \(x\).
Esimerkki.
Olkoon \(f(x)=2x+1\). Silloin esimerkiksi \(F(x)=x^2+x-4\) ja \(G(x)=x^2+x+8\) ovat funktion \(f\) integraalifunktioita, koska \(F'(x)=f(x)\) ja \(G'(x)=f(x)\).
Esimerkki näyttää, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen. Eri integraalifunktiot eroavat toisistaan kuitenkin vain vakion osalta.
Lause.
Olkoon \(F\) jokin funktion \(f\) integraalifunktio välillä \(I\). Tällöin jokainen funktion \(f\) integraalifunktio voidaan esittää muodossa \(G(x)=F(x)+C\), missä \(C\in\mathbb R\). Vakiota \(C\) kutsutaan integroimisvakioksi.
Olkoot \(F\) ja \(G\) funktion \(f\) integraalifunktioita välillä \(I\). Merkitään \(H(x)=G(x)-F(x)\). Silloin
Differentiaalilaskennan väliarvolauseen seurauslauseen mukaan \(H\) on silloin vakiofunktio, eli \(H(x)=G(x)-F(x)=C\) jollain reaalivakiolla \(C\). \(\square\)
Määritelmä.
Funktion \(f : I\to\mathbb R\) integroimisella tarkoitetaan kaikkien funktion \(f\) integraalifunktioiden määrittämistä välillä \(I\). Funktion \(f\) integraalifunktiolle \(F\) käytetään merkintää
Merkinnän katsotaan sisältävän kaikki funktion \(f\) integraalifunktiot, joten integroimisvakiota ei tässä merkinnässä yleensä kirjoiteta näkyviin.
Esimerkki.
Integroinnin tulokset voi tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi on helppo nähdä, että
Integraalifunktion määritelmästä ja sen vakiota vailla yksikäsitteisyydestä seuraa suoraan, että integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita. Toisin sanoen, mikäli funktiolla \(f\) on integraalifunktio välillä \(I\), niin
ja mikäli \(f\) on derivoituva välillä \(I\), niin
Integraalifunktioista puhuttaessa on oleellista, että tarkastelujoukkona \(I\) on väli, kuten seuraava esimerkki osoittaa.
Esimerkki.
Funktioille \(F(x)=1\) ja
on \(F'(x)=G'(x)=0\) kaikilla \(x\ne0\), mutta silti \(F(x)\ne G(x)+C\).
Seuraavassa lauseessa todetaan, että integrointi on lineaarinen operaatio, eli se toteuttaa samat vakion siirron ja summan laskusäännöt kuin derivaattakin.
Lause.
Olkoot \(f,g : I \to \mathbb R\) funktioita ja \(c\) reaaliluku. Tällöin
Esimerkki.
Lineaarisuutta käyttäen
Kaikilla funktioilla ei ole integraalifunktiota.
Esimerkki.
Olkoon funktio \(f : \mathbb R\to\mathbb R\) määritelty asettamalla
Oletetaan, että sillä on integraalifunktio \(F : \mathbb R\to\mathbb R\). Silloin
Koska \(F\) on derivoituva pisteessä \(x=0\), niin \(F\) on jatkuva pisteessä \(x=0\) ja siis \(C=D\). Nyt funktion \(F\) kuvaajalla on kulma pisteessä \(x=0\), eikä \(F\) täten ole derivoituva, kun \(x=0\). Tämä ristiriita osoittaa, että funktiolla \(f\) ei voi olla integraalifunktiota.
Integraalifunktion olemassaoloa pohditaan tarkemmin myöhemmin. Hyvä uutinen on, että jokaisella jatkuvalla funktiolla (ja monilla muillakin funktioilla) on integraalifunktio. Huono uutinen on, että monesti yksinkertaisenkaan näköisen jatkuvan funktion \(f\) integraalifunktiota \(F\) ei voida esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi
Integrointitekniikkaan omistautuneessa luvussa käydään läpi joitakin tapoja laskea integraalifunktio silloin, kun sille on lauseke olemassa.