Integraalifunktio

Olkoon seuraavassa $I\subset\mathbb R$ (rajoitettu tai rajoittamaton) reaalilukuväli.

Määritelmä.

Funktio $F : I\to\mathbb R$ on funktion $f : I\to\mathbb R$ integraalifunktio eli antiderivaatta (antiderivative) välillä $I$, jos $F'(x)=f(x)$ kaikilla välin $I$ pisteillä $x$.

Esimerkki.

Olkoon $f(x)=2x+1$. Silloin esimerkiksi $F(x)=x^2+x-4$ ja $G(x)=x^2+x+8$ ovat funktion $f$ integraalifunktioita, koska $F'(x)=f(x)$ ja $G'(x)=f(x)$.

Esimerkki näyttää, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen. Eri integraalifunktiot eroavat toisistaan kuitenkin vain vakion osalta.

Lause.

Olkoon $F$ jokin funktion $f$ integraalifunktio välillä $I$. Tällöin jokainen funktion $f$ integraalifunktio voidaan esittää muodossa $G(x)=F(x)+C$, missä $C\in\mathbb R$. Vakiota $C$ kutsutaan integroimisvakioksi.

Todistus.

Olkoot $F$ ja $G$ funktion $f$ integraalifunktioita välillä $I$. Merkitään $H(x)=G(x)-F(x)$. Silloin

$$H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0.$$

Differentiaalilaskennan väliarvolauseen seurauslauseen mukaan $H$ on silloin vakiofunktio, eli $H(x)=G(x)-F(x)=C$ jollain reaalivakiolla $C$. $\square$

Määritelmä.

Funktion $f : I\to\mathbb R$ integroimisella tarkoitetaan kaikkien funktion $f$ integraalifunktioiden määrittämistä välillä $I$. Funktion $f$ integraalifunktiolle $F$ käytetään merkintää

$$F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x.$$

Merkinnän katsotaan sisältävän kaikki funktion $f$ integraalifunktiot, joten integroimisvakiota ei tässä merkinnässä yleensä kirjoiteta näkyviin.

Esimerkki.

Integroinnin tulokset voi tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi on helppo nähdä, että

$$\begin{split}\begin{aligned} \int13x^3\,\mathrm{d}x&=\frac{13}{4}x^4+C,\\ \int\sin(3x)\,\mathrm{d}x&=-\frac13\cos(3x)+C,\\ \int e^{-9x}\,\mathrm{d}x&=-\frac19e^{-9x}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Integraalifunktion määritelmästä ja sen vakiota vailla yksikäsitteisyydestä seuraa suoraan, että integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita. Toisin sanoen, mikäli funktiolla $f$ on integraalifunktio välillä $I$, niin

$$D\int f(x)\,\mathrm{d}x=f(x)$$

ja mikäli $f$ on derivoituva välillä $I$, niin

$$\int f'(x)\,\mathrm{d}x=f(x)+C.$$

Integraalifunktioista puhuttaessa on oleellista, että tarkastelujoukkona $I$ on väli, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki.

Funktioille $F(x)=1$ ja

$$\begin{split}G(x)=\begin{cases} 0,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0 \end{cases}\end{split}$$

on $F'(x)=G'(x)=0$ kaikilla $x\ne0$, mutta silti $F(x)\ne G(x)+C$.

Seuraavassa lauseessa todetaan, että integrointi on lineaarinen operaatio, eli se toteuttaa samat vakion siirron ja summan laskusäännöt kuin derivaattakin.

Lause.

Olkoot $f,g : I \to \mathbb R$ funktioita ja $c$ reaaliluku. Tällöin

$$\begin{split}\begin{aligned} \int cf(x)\,\mathrm{d}x&=c\int f(x)\,\mathrm{d}x,\\ \int(f(x)+g(x))\,\mathrm{d}x&=\int f(x)\,\mathrm{d}x+\int g(x)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}\end{split}$$

Todistus.

Väitteet seuraavat suoraan derivoinnin lineaarisuudesta. Jos $F(x)$ on funktion $f(x)$ jokin integraalifunktio, niin $cf(x)=c(DF(x))=D(cF(x))$, joten funktiolla $cf(x)$ on integraalifunktio $cF(x)$. Toinen väite vastaavasti. $\square$

Esimerkki.

Lineaarisuutta käyttäen

$$\begin{split}\begin{aligned} \int 2x(\sqrt{x}-1)\,\mathrm{d}x&=\int\big(2x^{3/2}-2x\big)\,\mathrm{d}x =2\int x^{3/2}\,\mathrm{d}x-\int2x\,\mathrm{d}x\\ &=2\cdot\frac25x^{5/2}-x^2+C =\frac45 x^t2\sqrt{x}-x^2+C. \end{aligned}\end{split}$$

Kaikilla funktioilla ei ole integraalifunktiota.

Esimerkki.

Olkoon funktio $f : \mathbb R\to\mathbb R$ määritelty asettamalla

$$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x<0\\ 1, &\text{kun}\ x\ge0. \end{cases}\end{split}$$

Oletetaan, että sillä on integraalifunktio $F : \mathbb R\to\mathbb R$. Silloin

$$\begin{split}F(x)=\begin{cases} C, &\text{kun}\ x<0\\ x+D, &\text{kun}\ x>0. \end{cases}\end{split}$$

Koska $F$ on derivoituva pisteessä $x=0$, niin $F$ on jatkuva pisteessä $x=0$ ja siis $C=D$. Nyt funktion $F$ kuvaajalla on kulma pisteessä $x=0$, eikä $F$ täten ole derivoituva, kun $x=0$. Tämä ristiriita osoittaa, että funktiolla $f$ ei voi olla integraalifunktiota.

Integraalifunktion olemassaoloa pohditaan tarkemmin myöhemmin. Hyvä uutinen on, että jokaisella jatkuvalla funktiolla (ja monilla muillakin funktioilla) on integraalifunktio. Huono uutinen on, että monesti yksinkertaisenkaan näköisen jatkuvan funktion $f$ integraalifunktiota $F$ ei voida esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi

$$\frac{\sin x}{x},\qquad\frac{1}{\ln x},\qquad\frac{e^x}{x}\qquad \text{ja}\qquad e^{x^2}.$$

Integrointitekniikkaan omistautuneessa luvussa käydään läpi joitakin tapoja laskea integraalifunktio silloin, kun sille on lauseke olemassa.

Posting submission...