Integroimistekniikkaa

Yksinkertaisimmissa tapauksissa paras keino integraalifunktion selvittämiseksi on ”arvata” tai selvittää kokeilemalla, minkä funktion derivaatta integroitava funktio on. Lähtökohdaksi voidaan ottaa muutama peruskaava, jotka johdetaan suoraan derivointikaavoista. Liitetaulukossa on esitetty laajempi kokoelma samaan tapaan perusteltavia kaavoja.

Integraalifunktiota määritettäessä on syytä selvittää väli $I$, jolla tulos on voimassa (vertaa aiempaan esimerkkiin). Välejä voi olla useampiakin, jolloin tulos on voimassa kullakin välillä erikseen.

Yleensä funktiosta ei kuitenkaan näe suoraan, kuinka se olisi integroitava. Tällöin seuraavat integroimismenetelmät saattavat auttaa. Menetelmästä riippumatta integroinnin tulos kannattaa aina tarkastaa derivoimalla!

Osittaisintegrointi

Tulon derivoimissäännnön mukaan

$$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),$$

joten

$$f'(x)g(x)=D(f(x)g(x))-f(x)g'(x).$$

Integroimalla puolittain saadaan osittaisintegrointikaava (integration by parts), jota voi yrittää käyttää, kun integroitavana on tulo, jonka tekijöistä toinen osataan integroida ja toinen derivoida

$$\int f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x.$$

Huomautus.

Integraalifunktioita koskevissa yhtälöissä, kuten osittaisintegroinnin yhtälössä on muistettava, että laskettaessa puolittain jotkin integraalifunktiot yhtälö pätee vain vakiota vaille. Esimerkiksi yhtälöstä $1=1$ ei seuraa puolittain integroimalla, että $x=x+7$, vaikka sekä $F(x)=x$ että $G(x)=x+7$ ovat funktion $1$ integraalifunktioita.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int xe^{-x}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Valitaan $f'(x)=e^{-x}$ ja $g(x)=x$, jolloin $f(x)=\int e^{-x}\,\mathrm{d}x=-e^{-x}$. Integroimisvakio voidaan valita nollaksi, sillä osittaisintegroinnin kaava on voimassa kaikille funktion $f'(x)$ integraalifunktioille $f(x)$. Lisäksi $g'(x)=1$ ja nyt

$$\begin{aligned} \int xe^{-x}\,\mathrm{d}x&=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,\mathrm{d}x=-(x+1)e^{-x}+C. \end{aligned}$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Sovelletaan osittaisintegrointia kahdesti niin, että päästään ensin eroon tekijästä $x^2$ ja sitten tekijästä $x$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int x^2e^x\,\mathrm{d}x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x^2,& g'(x)=2x \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\int xe^x\,\mathrm{d}x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=x,& g'(x)=1 \end{cases}\\ &=x^2e^x-2\left(xe^x-\int e^x\,\mathrm{d}x\right)\\ &=(x^2-2x+2)e^x+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Sovelletaan taas ensin osittaisintegrointia kahdesti. Tällä kertaa

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\sin x,& g'(x)=\cos x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x&& \begin{cases} f'(x)=e^x,& f(x)=e^x\\ g(x)=\cos x,& g'(x)=-\sin x \end{cases}\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x\right) \end{aligned}\end{split}$$

On saatu yhtälö, jonka molemmilla puolilla esiintyy kysytty integraali, ja täten se voidaan ratkaista tavallisin menetelmin.

$$\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x=\frac12e^x(\sin x-\cos x)+C$$

Osittaisintegroinnin onnistuminen on suuresti kiinni siitä, kuinka funktiot $f$ ja $g$ valitaan. Väärä järjestys voi johtaa ojasta allikkoon ja monesti oikea tapa selviääkin vasta kokeilujen jälkeen.

Integrointi sijoituksen avulla

Olkoon $F$ funktion $f$ integraalifunktio. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä

$$DF(g(x))=f(g(x))g'(x)$$

saadaan integrointikaava

$$\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x=F(g(x))+C.$$

Erityisesti

$$\begin{split}\begin{aligned} &\int g'(x)e^{g(x)}\,\mathrm{d}x=e^{g(x)}+C,\\ &\int g'(x)(g(x))^a\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a+1}(g(x))^{a+1}+C&&(a\ne-1),\\ &\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,\mathrm{d}x=\ln|g(x)|+C&&(g(x)\ne0). \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Edellisen taulukon

1. ylimmän rivin mukaan

   $$\int x^2e^{4x^3}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{12}\int12x^2e^{4x^3}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{12}e^{4x^3}+C,$$

2. keskimmäisen rivin mukaan

   $$\int(9x-7)^4\,\mathrm{d}x=\frac19\int9(9x-7)^4\,\mathrm{d}x=\frac19\cdot\frac15(9x-7)^5+C=\frac{1}{45}(9x-7)^5+C,$$

3. alimman rivin mukaan

   $$\int\tan x\,\mathrm{d}x=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x=-\int\frac{-\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C.$$

Näissä tulkitaan hankalan integraalin olevan muotoa $\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x$. Tällainen yhdistetyn funktion derivointiin perustuva integroimismenettely on onnistuessaan nopea ja tehokas, mutta vaatii kekseliäisyyttä tai kokeiluja integroitavan funktion saattamiseksi muotoon $f(g(x))g'(x)$. Menetelmä voidaan tehdä hieman mekaanisemmaksi kirjoittamalla aiempi kaava uuteen muotoon. Olkoon $u(x)$ sisäfunktio. Nyt

$$\int f(u(x))u'(x)\,\mathrm{d}x=\left[\int f(u)\,\mathrm{d}u\right]_{u=u(x)},$$

missä merkintä $[\,\cdot\,]_{u=u(x)}$ tarkoittaa, että sulkujen sisällä olevaan lausekkeeseen sijoitetaan muuttujan $u$ paikalle funktio $u=u(x)$. Tässä alkuperäisestä muuttujasta $x$ siirrytään muuttujanvaihdon (change of variables) eli sijoituksen (substitution) avulla uuteen muuttujaan $u=u(x)$. Tässä laskettavana on vasemman puolen integraali, josta tunnistetaan sopiva sisäfunktio $u(x)$ ja sen derivaatta $u'(x)$. Tällöin kyseessä on suora sijoitus. Muistisääntönä muuttujanvaihdossa differentiaalisymboleja $\mathrm{d}u$ ja $\mathrm{d}x$ käytetään ikään kuin ne olisivat lukuja. Siis tulkitaan, että

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u'(x) \Rightarrow u'(x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}u.$$

Jos vaihdetaan sijoituksessa kirjainten $x$ ja $u$ roolit, saadaan

$$\left[\int f(x)\,\mathrm{d}x\right]_{x=x(u)}=\int f(x(u))x'(u)\,\mathrm{d}u.$$

Oletetaan, että $x(u)$ on bijektio, jolloin tähän yhtälöön voidaan sijoittaa puolittain käänteisfunktio $u=u(x)$. Vasemmalle puolelle jää sijoitusten jälkeen $x=x(u(x))$, joten saadaan

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\left[\int f(x(u))x'(u)\,\mathrm{d}u\right]_{u=u(x)}.$$

Tässä kaavassa ajatellaan, että vasemmalle puolelle muuttujan $x$ paikalle sijoitetaan uusi funktio $x=x(u)$. Sopivalla sijoituksella oikean puolen integraali muuttujan $u$ suhteen voi tulla helpommin laskettavaksi kuin alkuperäinen integraali muuttujan $x$ suhteen. Tällaisesta sijoituksesta käytetään joskus nimitystä käänteinen sijoitus (inverse substitution). Tässä voidaan käyttää muistisääntöä

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=x'(u) \Rightarrow x'(u)\,\mathrm{d}u=\mathrm{d}x.$$

Bijektiivistä sijoitusta $x=x(u) \Leftrightarrow u=u(x)$ käytettäessä toisinaan keksitään ensin käänteisfunktio. Käänteisfunktion derivoimissääntöä käyttämällä voi käydä niin, että itse funktion lauseketta ei tarvitse selvittää. Nyt

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=x'(u)=\frac{1}{u'(x)}=\frac{1}{\ \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\ },$$

josta voidaan laskea sijoituksen jälkeen syntyvä integraali operoimalla muuttujien $x$ ja $u$ lisäksi myös symboleilla $\mathrm{d}x$ ja $\mathrm{d}u$ ikään kuin ne olisivat lukuja.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int e^{2x + 3}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Sijoitetaan $u=2x+3$. Tällöin

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2 \Rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u.$$

Niinpä

$$\int e^{2x+3}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int e^u\,\mathrm{d}u =\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{2x+3}+C.$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\mathrm{d}t$.

Ratkaisu.

Sijoitetaan $u=3-5t^5$, jolloin

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-25t^4 \Rightarrow t^4\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{25}\mathrm{d}u.$$

Siten

$$\begin{aligned} \int t^4\sqrt[3]{3-5t^5}\,\mathrm{d}t &=-\frac{1}{25}\int u^{1/3}\,\mathrm{d}u =-\frac{1}{25}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3}+C=-\frac{3}{100}(3-5t^5)^{4/3}+C. \end{aligned}$$

Kaksi edellistä esimerkkiä oltaisiin voitu integroida myös suoraan kaavoja käyttäen. Aina sopiva sijoitus ei ole yhtä ilmeinen.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Sijoitetaan $u=x^2$. Nyt

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x \Rightarrow x\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{2},$$

joten

$$\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x=\frac12\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1} =\frac12\arctan u+C=\frac12\arctan(x^2)+C.$$

Kolmessa edeltävässä esimerkissä tehtiin suora sijoitus, jossa löydettiin sopiva sisäfunktio ja sen derivaatta. Seuraavissa käytetään käänteistä sijoitusta.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int x^2\sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Ratkaistaan tehtävä kahdella tapaa.

Tapa 1. Kokeillaan sijoitusta $u=x-1$, jolloin $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ ja $x=u+1$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} \int x^2\sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x &=\int(u+1)^2\sqrt{u}\,\mathrm{d}u =\int(u^2+2u+1)u^{1/2}\,\mathrm{d}u\\ &=\int(u^{5/2}+2u^{3/2}+u^{1/2})\,\mathrm{d}u =\frac27u^{7/2}+\frac45u^{5/2}+\frac23u^{3/2}+C\\ &=\frac27(x-1)^{7/2}+\frac45(x-1)^{5/2}+\frac23(x-1)^{3/2}+C \end{aligned}\end{split}$$

Tapa 2. Kokeillaan sijoitusta $u=\sqrt{x-1}$, jolloin

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2u} \Rightarrow \mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u$$

ja $x=u^2+1$. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} \int x^2\sqrt{x-1}\,\mathrm{d}x &=\int(u^2+1)^2u\cdot2u\,\mathrm{d}u =2\int(u^4+2u^2+1)u^2\,\mathrm{d}u\\ &=2\int(u^6+2u^4+u^2)\,\mathrm{d}u =\frac27u^7+\frac45u^5+\frac23u^3+C\\ &=\frac27(x-1)^{7/2}+\frac45(x-1)^{5/2}+\frac23(x-1)^{3/2}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(5-x^2)^{3/2}}$.

Ratkaisu.

Jotta integroitava funktio on määritelty, on oltava $|x|<\sqrt5$. Tehdään sijoitus $x=\sqrt5\sin u$, joka on bijektio välillä $-\pi/2<u<\pi/2$.

Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta havaitaan, että

$$\cos u=\frac{\sqrt{5-x^2}}{\sqrt5}\qquad\text{ja}\qquad \tan u=\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}.$$

Lisäksi $\mathrm{d}x=\sqrt5\cos u\,\mathrm{d}u$, joten

$$\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{\mathrm{d}x}{(5-x^2)^{3/2}} &=\int\frac{\sqrt5\cos u}{5^{3/2}\cos^3u}\,\mathrm{d}u =\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm{d}u}{\cos^2u}\\ &=\frac{1}{5}\tan u+C =\frac{1}{5}\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Vastaavalla tavoin monien muidenkin lausekkeen $\sqrt{x^2+a^2}$, $\sqrt{a^2-x^2}$ tai $\sqrt{x^2-a^2}$ sisältävien funktioiden integroimiseksi löydetään sopiva trigonometrinen sijoitus suorakulmaisen kolmion avulla.

Tietokoneohjelmat, kuten Matlab, Maxima, Maple ja WolframAlpha suoriutuvat integraalifunktion hakemisesta varsin hyvin, joten soveltajalle riittää ymmärtää sijoituskeinon pääperiaatteet.

Esimerkki.

Lasketaan edellisen esimerkin integraalifunktio kahdella eri sovelluksella.

Matlab ja sen Symbolic Math Toolbox:

syms x
int((5-x^2)^(-3/2),x)
ans = x/(5*(5 - x^2)^(1/2))

WolframAlpha

int(1/(5-x^2)^(3/2),x)

$$\int\frac{x}{(5-x^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{5\sqrt{5-x^2}}+\text{constant}$$

Rationaalifunktion integrointi

Rationaalifunktio on muotoa

$$\frac{p(x)}{q(x)},$$

missä $p$ ja $q$ ovat reaalikertoimisia polynomifunktioita. Jokainen rationaalifunktio voidaan integroida alkeisfunktioita käyttäen. Tarkastellaan seuraavassa integrointimenetelmän vaiheita.

Jos polynomin $p$ aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin $q$ aste, niin jakolaskulla saadaan

$$\frac{p(x)}{q(x)}=r(x)+\frac{s(x)}{q(x)},$$

missä $r$ ja $s$ ovat polynomeja ja polynomin $s$ aste on pienempi kuin polynomin $q$ aste. Polynomi $r$ osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida $p(x)/q(x)$ tapauksessa, jossa polynomin $p$ aste on pienempi kuin polynomin $q$ aste. Oletetaan seuraavassa, että näin on (tee ensin tarvittaessa jakolasku). Polynomi $q$ voidaan jakaa mahdollisimman alhaista astetta oleviin 1. ja 2. asteen reaalikertoimisiin tekijöihin. Nyt

$$\begin{aligned} q(x)&=a(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_j)^{m_j}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}, \end{aligned}$$

missä $a\in\mathbb R$, polynomin $q$ reaaliset erilliset nollakohdat ovat $a_1,\ldots,a_j$, $m_i$ on nollakohdan $a_i$ kertaluku ja polynomeilla $x^2+b_ix+c_i$ ei ole reaalisia nollakohtia. Tällöin rationaalifunktiolle $p(x)/q(x)$ voidaan muodostaa osamurtokehitelmä (partial fraction)

$$\frac{p(x)}{q(x)}=F_1(x)+F_2(x)+\cdots+F_n(x),$$

missä rationaalifunktiot $F_\ell$ (niin sanotut osamurtoluvut) muodostuvat seuraavasti. Jokaista polynomin $q$ muotoa $(ax-b)^m$ olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

$$\frac{A_1}{(ax-b)}+\frac{A_2}{(ax-b)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(ax-b)^m}$$

ja jokaista polynomin $q$ muotoa $(ax^2+bx+c)^n$ olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

$$\frac{B_1x+C_1}{ax^2+bx+c}+\frac{B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(ax^2+bx+c)^n}.$$

Nämä osamurtoluvut ovat sellaista muotoa, jotka osataan integroida ja siten

$$\int\frac{p(x)}{q(x)}\,\mathrm{d}x$$

saadaan laskettua osamurtolukujen integraalien summana.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Nimittäjäpolynomilla $x^2-8x+15$ on kaksi nollakohtaa $x=3$ ja $x=5$, joten $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$. Niinpä

$$\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-5}$$

joillakin vakioilla $A$ ja $B$. Niiden selvittämiseksi lavennetaan oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin

$$\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A(x-5)+B(x-3)}{x^2-8x+15},$$

eli on oltava

$$\begin{split}\begin{cases} 4=A+B,\\ -9=-5A-3B, \end{cases}\end{split}$$

josta $A=-\frac{3}{2}$ ja $B=\frac{11}{2}$. Siis

$$\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\mathrm{d}x &=-\frac{3}{2}\int\frac{\mathrm{d}x}{x-3}+\frac{11}{2}\int\frac{\mathrm{d}x}{x-5}\\ &=-\frac{3}{2}\ln|x-3|+\frac{11}{2}\ln|x-5|+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa, joten voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

$$\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} =\frac{A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx}{x(x-1)^2},$$

josta vastinpotenssien kertoimia tutkimalla saadaan $A=1$, $B=-1$ ja $C=1$. Niinpä

$$\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\mathrm{d}x &=\int\frac1x\,\mathrm{d}x-\int\frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x+\int\frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C\\ &=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Toisen asteen tekijällä $x^2+1$ ei ole reaalisia nollakohtia, joten nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa ja voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

$$\frac{1}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}.$$

Laventamalla saadaan $A=1$, $B=-1$, $C=0$, $D=-1$ ja $E=0$, joten

$$\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x &=\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x-\int\frac{x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x-\int\frac{x}{(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+\frac12\frac{1}{x^2+1}+C\\ &=\ln\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2(x^2+1)}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Muotoa

$$\int\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\,\mathrm{d}x$$

oleva osamurtoluvun integraali palautuu helpommin käsiteltävään muotoon täydentämällä jakaja neliöksi ja tekemällä sopiva sijoitus.

Esimerkki.

Laske $\displaystyle\int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\mathrm{d}x$.

Ratkaisu.

Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten integroitava funktio on valmiiksi osamurtomuodossa. Neliöimällä nimittäjä saadaan

$$x^2-8x+25=x^2-8x+16+9=(x-4)^2+9.$$

Sijoitetaan $u=x-4$, jolloin $(x-4)^2+9=u^2+9$, $x=u+4$ ja $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$. Siis

$$\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\mathrm{d}x &=6\int\frac{u}{u^2+9}\,\mathrm{d}u+13\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+9}\\ &=3\ln\big(u^2+9\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{u}{3}+C\\ &=3\ln\big(x^2-8x+25\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{x-4}{3}+C. \end{aligned}\end{split}$$

Posting submission...