Motivointia¶

Edellä esiteltyjen integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteys toisiinsa analyysin peruslauseen kautta tarjoaa aivan uudenlaisia työkaluja eräiden geometristen ja fysikaalisten ongelmien ratkaisemiseen. Jos tehtävän ratkaisuun liittyy funktio ja jonkinlainen äärettömän tiheästi laskettava summa, niin on mahdollista soveltaa määrättyä integraalia, jonka arvo yritetään laskea integraalifunktion avulla. Aina integraalifunktion etsiminen ei syystä tai toisesta ole kuitenkaan mahdollista, jolloin on nojauduttava numeerisiin menetelmiin ratkaisun löytämiseksi.

Tässä osiossa tutustutaan integraalin tyypillisimpiin geometrisiin sovelluksiin, sekä yksinkertaisiin numeerisen integroinnin menetelmiin. Näiden lisäksi laajennetaan määrätyn integraalin käsitettä kattamaan myös rajoittamattomat integrointivälit ja funktiot samaan tapaan, kuin raja-arvon käsite laajennetaan kattamaan äärettömät tai äärettömyyteen muodostuvat epäoleelliset raja-arvot.

Tärppejä tähän osioon:

Funktioiden kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kuvaajan pituus, pyörähdyskappaleen vaipan ala ja tilavuus
Integrointi numeerisesti Riemannin summilla, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin kaava
Epäoleelliset integraalit rajoittamattomalla välillä, ja rajoittamattomalle funktiolle, sekä yhdistelmät
Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppeneminen ja vertailuperiaate