Numeerinen integrointi

Sovelluksissa törmätään usein tilanteisiin, joissa

1. integrointi alkeisfunktioiden avulla ei onnistu (esimerkiksi $f(x)=e^{x^2}$) tai on vaikeaa,
2. funktion $f$ lauseketta ei tunneta, vaan tiedetään vain sen arvoja tietyissä pisteissä esimerkiksi mittaustuloksina.

Tällöin funktion $f$ integraalia voidaa arvioida numeerisella integroinnilla käyttäen funktion $f$ arvoja äärellisen monessa integroimisvälin pisteessä.

Riemannin summa

Jos $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ on välin $[a,b]$ jako, niin mikä tahansa Riemannin summa antaa funktion $f$ integraalille välillä $[a,b]$ arvion

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\approx\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i.$$

Jos valitaan tasavälinen jako, jossa kunkin osavälin pituus on $h$, sievenee arvio muotoon

$$\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\approx h\sum_{i=1}^nf(x_i^*).$$

Jos $f$ on ei-negatiivinen, niin geometrinen tulkinta arviolle on se, että jokaisella välillä $[x_{i-1},x_i]$ funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa arvioidaan suorakulmion pinta-alalla (vertaa kuvaan Riemannin summasta).

Esimerkki.

Arvioi integraalia

$$\int_1^3\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

Riemannin summalla, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $n=6$ ja $x_i^*$ on osavälin keskipiste.

Ratkaisu.

Nyt $h=\frac{b - a}{n}=\frac26=\frac13$ ja välien keskipisteet ovat $\frac76$, $\frac96$,…, $\frac{17}{6}$, joten

$$\int_1^3\frac{\mathrm{d}x}{x} \approx\frac13\Big(f\left(\tfrac76\right)+f\left(\tfrac96\right)+\cdots+f\left(\tfrac{17}{6}\right)\Big)\approx1{,}094~581.$$

Vertaa tarkkaan arvoon $\ln(3)=1{,}098~612~288\cdots$.

Käytännössä Riemannin summaa ei juurikaan käytetä integraalin arvioimiseen, sillä voidaan kehittää huomattavasti tehokkaampia menetelmiä, joissa samalla määrällä jakopisteitä (eli samalla vaivalla tai tietokoneajalla) päästään huomattavasti parempaan tarkkuuteen. Käsitellään seuraavassa kahta yksinkertaista menetelmää.

Puolisuunnikassääntö

Puolisuunnikassäännön (trapezoid rule) ideana on (kun $f$ on ei-negatiivinen) käyttää funktion $f$ kuvaajan ja $x$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan arvioinnissa suorakulmioiden sijasta puolisuunnikkaita. Ne saadaan aikaan korvaamalla funktion $f$ kuvaaja pisteiden $(x_i,f(x_i))$ kautta kulkevalla murtoviivalla. Käytetään tasavälistä jakoa, jossa osavälin pituus on $h$. Tällöin puolisuunnikkaan $i$ pinta-ala on

$$\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h,$$

ja pinta-alojen summa on

$$\begin{split}\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h &=h\sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))\\ &=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+f(x_{n-1})+f(x_{n})\right). \end{aligned}\end{split}$$

Siis funktion $f$ integraalille saadaan arvio

$$\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\approx h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right). \end{aligned}$$

Puolisuunnikassääntö on voimassa myös yleiselle $f$ (eli vaikka $f$ ei olisi ei-negatiivinen). Jos funktion $g(x)$ kuvaaja on pisteiden $(x_i, f(x_i))$ kautta kulkeva murtoviiva, niin välillä $[x_{i-1},x_i]$ on

$$g(x)=f(x_{i-1})+\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}(x-x_{i-1}).$$

Integroimalla saadaan

$$\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(x)\,\mathrm{d}x=\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h$$

ja summaamalla yli kaikkien osavälien

$$\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x=h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right).$$

Esimerkki.

Arvioi puolisuunnikassäännöllä samaa integraalia kuin Riemannin summilla arvioitiin aiemmassa esimerkissä, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $n=6$.

Ratkaisu.

Nyt $h=\frac13$ ja jakopisteet ovat $1$, $\frac43$, $\frac53$,…, $3$, joten

$$\int_1^3\frac{\mathrm{d}x}{x} \approx\frac13\Big(\frac12f(1)+f\left(\frac43\right)+f\left(\frac53\right)+\cdots+f\left(\frac83\right)+\frac12f(3)\Big)=1{,}106~746.$$

Simpsonin sääntö

Yleensä vielä parempaan arvioon päädytään, jos suorien sijaan korvataan funktion $f$ kuvaaja paraabelin kaarilla. Simpsonin kaavassa käytetään kolmen peräkkäisen pisteen $(x_i, f(x_i))$, $(x_{i + 1}, f(x_{i + 1}))$ ja $(x_{i + 2}, f(x_{i + 2}))$ kautta kulkevaa paraabelia. Jako valitaan tasaväliseksi, jossa osavälin pituus on $h$ ja jossa on parillinen määrä osavälejä.

Oletetaan ensin, että $x_0=-h$, $x_1=0$ ja $x_2=h$. Olkoon $y(x)=Ax^2+Bx+C$ se toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja kulkee pisteiden $(x_0,f(x_0))$, $(x_1,f(x_1))$ ja $(x_2,f(x_2))$ kautta. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_{x_0}^{x_2}y(x)\,\mathrm{d}x &=2\int_0^h(Ax^2+C)\,\mathrm{d}x =2\bigg/_{\mspace{-10mu}\,0}^{\,h}\left(\frac{A}{3}x^3+Cx\right)\\ &=2\left(\frac{A}{3}h^3+Ch\right) =\frac{h}{3}(2Ah^2+6C). \end{aligned}\end{split}$$

Kauttakulkuehdot ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} f(x_0)&=y(x_0)=Ah^2-Bh+C,\\ f(x_1)&=y(x_1)=C,\\ f(x_2)&=y(x_2)=Ah^2+Bh+C, \end{aligned}\end{split}$$

joten $f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)=2Ah^2+6C$. Saatiin siis

$$\int_{x_0}^{x_2}y(x)\,\mathrm{d}x=\frac{h}{3}\left(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right).$$

Tämä kaava on voimassa myös ilman oletusta $x_1=0$. Erityisesti

$$\int_{x_2}^{x_4}y(x)\,\mathrm{d}x=\frac{h}{3}\left(f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right)$$

ja vastaavalla tavoin kaikilla väleillä $[x_{2i},x_{2(i+1)}]$, joten päädytään arvioon

$$\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\approx \frac{h}{3}\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right). \end{aligned}$$

Esimerkki.

Arvioi samaa integraalia Simpsonin säännöllä kuin Riemannin summilla ja puolisuunnikassäännöllä, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $n=6$.

Ratkaisu.

Nyt $h=\frac13$ ja jakopisteet ovat $1$, $\frac43$, $\frac53$,…, $3$, joten

$$\begin{split}\begin{aligned} \int_1^3\frac{\mathrm{d}x}{x} &\approx\frac19\left(f(1)+4f\left(\frac43\right)+2f\left(\frac53\right)+4f\left(\frac63\right)+2f\left(\frac73\right)+4f\left(\frac83\right)+f(3)\right)\\ &\approx1{,}098~942. \end{aligned}\end{split}$$

Huomautus.

Riemannin summaa, jossa on $n$ osaväliä ja $x_i^*$ on osavälin keskipiste, kutsutaan keskipisteapproksimaatioksi $M_n$. Vastaavasti $n$ osavälin puolisuunnikassäännön antamaa arviota merkitään $T_n$. Tällöin Simpsonin kaavan antama arvio yhteensä $2n$ osavälillä on

$$S_{2n}=\frac13(2M_n+T_n).$$

Simpson-arvio saadaan siis keskipiste- ja puolisuunnikasapproksimaatioiden sopivasti painotettuna keskiarvona.

Palautusta lähetetään...