Taulukoita

Derivointikaavoja

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$x^a$	$ax^{a - 1}$	$\sin x$	$\cos x$	$\sinh x$	$\cosh x$
$x^{\frac{1}{a}}$	$\frac{x^{\frac{1}{a} - 1}}{a}$	$\cos x$	$-\sin x$	$\cosh x$	$\sinh x$
$e^x$	$e^x$	$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tanh x$	$\frac{1}{\cosh^2 x}$
$a^x$	$a^x\ln a$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\operatorname{ar\,sinh}x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\operatorname{ar\,cosh}x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$\operatorname{ar\,tanh}x$	$\frac{1}{1 - x^2}$

Kaava	Nimi
$D(cf(x)) = cf'(x)$	vakion siirto
$D(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$	lineaarisuus
$D(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	tulon derivointi
$D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$	osamäärän derivointi
$D((f \circ g)(x)) = f'(g(x))g'(x)$	ketjusääntö
$D(f^{-1}(y)) = \frac{1}{f'(x)}$, kun $f(x) = y$	käänteisfunktion derivointi

Perusintegraaleja

$f(x)$	$\int f(x)\,\mathrm{d}x$	Huomioita
$x^n$	$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	$n \in \mathbb Z\setminus \{-1\}$, ei voimassa pisteen $0$ yli jos $n < 0$
$x^a$	$\frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$	$a \in \mathbb R\setminus \{-1\}$, voimassa kun $x > 0$
$\frac{1}{x}$	$\ln|x| + C$	ei voimassa pisteen $0$ yli
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$-\ln|\cos x| + C$	ei voimassa pisteiden $\frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\tan x}$	$\ln|\sin x| + C$	ei voimassa pisteiden $n\pi$, $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$	ei voimassa pisteiden $\frac{\pi}{2} + n\pi$, $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\sin^2 x}$	$-\frac{1}{\tan x} + C$	ei voimassa pisteiden $n\pi$, $n \in \mathbb Z$ yli
$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x + C$	voimassa kun $-1 < x < 1$
$\frac{1}{1 + x^2}$	$\arctan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$	$\operatorname{ar\,sinh}x + C$
$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$	$\operatorname{ar\,cosh}x + C$	ei voimassa kun $-1 < x < 1$
$\frac{1}{1 - x^2}$	$\operatorname{ar\,tanh}x + C$	voimassa kun $-1 < x < 1$

Sarjakehitelmiä

Sarjakehitelmä	Suppenemisväli
$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty}x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$	$-1 < x < 1$
$e^x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$	$\mathbb R$
$\sin x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \frac{x^9}{362880} - \cdots$	$\mathbb R$
$\cos x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots$	$\mathbb R$
$\ln(1 + x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{k + 1}}{k + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots$	$-1 < x \leq 1$

Posting submission...